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文档简介
1、最优控制习题及参考答案习题1求通过x(O) = l, x(l) = 2 ,使下列性能指标为极值的曲线:J = f (x2 + l)dfJ/o解:由己知条件知:r0 = 0, tf = 1由欧拉方程得:4(2%) = 0atx = Cx = C/ + C2将 x(0) = 1, x(l) = 2 代入,有:C2 = L C = 1得极值轨线:xt) = t + l习题2求性能指标:J= fx2+l)dtJo在边界条件x(0) = 0 , x(l)是门由情况下的极值曲线。X。i0i'解:由上题得:xt) = Clt + C2,dL由衣由 x(o)= o 得:g = o=2丘血)=2C=
2、187; = 0 f=/于是:/(/) = 0【分析讨论】对丁任意的x(o)= x0, x(i)n由。有:C2 = xQ, C = 0 ,即:xt) = xQ其儿何意义:x(l)lH由意味着终点在虚线上任意点。习题3 己知系统的状态方程为:x1(r) = x2(r), x2(r)= ;/(r)边界条件为:x1(0) = x2(0) = l, X(3)=兀(3) = 0 ,试求使性能指标丿二f3-ut)dtJo 2取极小值的最优控制llt)以及最优轨线/(/) O解:由己知条件知:f = 21 UHanuton 函数:H = L + A7 f 1> / =丄/ + 入x? + 入“由协态方
3、程:p=0U = -A衛严 IA> - -Cj+C2 TH由控制方程:= u + =05u 得:U = 2 = C2 由状态方程:x2=u = C/-C2得:x>(/) = C广C+ C3 由状态方程: =x2得:不(/)=cFC2t2 4- C3t 4- C4 将 x(0)=,X3) =代入,,联立解得:C=¥,C2 = 2 , C3 = C4 = 1 由、式得:心)=罟,-2X;(F) = 户一尸+F + l兀;話$ 2r+1习题4已知系统状态方程及初始条件为x = w ,x(0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。J = (x2 +u2)e2tdtJo解:
4、 H = x2e2t +u2e2t + Au列方程:人=一2加"2e2,u + 2 = 0由得,”=-丄kq 2代入得,x = e2t A2丘=一丄尸/兄+尸口2将,代入,并考虑到u = xx = -| £ J(_2xe2t) + £ J(_2/q)整理可得:x+2x-x = 0特征方程:52+25-1 = 0$ = -1 + 2, 5-)= 1 2于是得:/(o = Qv + cz:f才(足-2e2'u= -2e2'x2*(f) = -2/(CS"" + C2s2e5-)由x(0) = 1,得:CC2=1由 A(/y) = A
5、(l) = 0得:C$c斥 + C2s2eS2 = 0、联立,可得C、c2代回原方程可得/(略)习题5求使系统:X = x2, x2 = u65#由初始状态x1(O) = x2(O) = O出发,在-=1时转移到目标集1 /J 1x1(l) + x2(l) = l,并使性能指标 J = -j ut)dt为最小值的最优控制/(/)及和应的最优轨线F(/) 0解:本题/(),厶()与习题3同,故/()相同f方程同f通解同入=C,易=-Cj + C2xi =7 c? 一石 °2尸 + G' + C4 oz1 9x2 =_C丁 - C2t 4- C3u = Cj C、兀(0)=,有:
6、C3 = C4 = 0由召(1) +兀2(1)=1,有:由兄(1) = y = 0, / = Xj + 1dx dx有:2(1)= J/ = O=>21(1) = 22(1)丁 是:c严c + q2C = C2、联立,得:C二-二 c7=-17-7丁r3,6于是:u =1 + .1332x =r+-r 11473, 6=r +r 147习题6已知一阶系统:x(r) = -x(r)+ u(t), x(0) = 3(】)试确定最优控制ut).使系统在tf = 2时转移到x(2) = 0 ,并使性能泛函./o(l + u2)dt = min(2)如果使系统转移到x(rr)= 0的终端时间。H由
7、,问“"(/)应如何确定? 解: H = 1 + “2 + 加一 Axx = -x + u列方程: 2 =兄2“ + 几=0由协态方程得:A =由控制方程=代入状态方程:x = -x-C/ n x(f) = C2e'1 一丄C0 / = 2, x(2) = 0解得:G =,5= Je 1e 1代入得:/(/) = $孑e I")= 2,-自由如=0解得:(?=阿一6 = 0.325u (t) = 0.162/习题7设系统状态方程及初始条件为x(r)= u(t), x(0) = 1试确定最优控制/(/),使性能指标为极小,其中终端时间/未定,x(tf) = 0 o 解
8、:H =丄 u2 + Am2由协态方程得:A = 0=由控制方程:"+ 2 = 0 > u = C由状态方程:x = u = -Q => x(r) = -C/ + C2 由始端:x(0) = 1 tC?=1由末端:x(/) = 0 Cj/+l = 0考虑到:)= -空一竺7 = -17 6tf dtf有:w2 + Au = -12*即Cl1 =即=2C = ±/2当C严忑时,代入w:当6 = 丁!时,代入有:t/ = y = 了亍,不合题意,故有C =最优控制u = -V2习题8设系统状态方程及初始条件为x1(0 = 2(0> 不(0) = 2性能指标为x
9、2(t) = u(t),兀(0)= 1要求达到x(rz) = O,试求:(1) tf = 5时的最优控制(2) tf门由时的最优控制/(/);解:本题/(),厶(),/()与前同,故有Aj = Cj + C2< Xj =C/3 -C2r2 + C3t + C4 oz%2 = Cj + C35 = 2C3 = l 2 0 1?s由x(0)= g)= 0 ,得:C2 + 5C3 + C4 = 025尹-5C2+0联立得:C, = 0.432, C2 = 1.28, n / = 0.432/-1.28tf H由C=1G=2<_C2r/ +Q/ +C4 =°込 Cj; - C2t
10、f + C3 = 0H(r) = 0联立有:C-2C2rz +2 = 0,无论C?为何值,/均无实解。习题9 给定二阶系统A(0 = X2(O+» xi(0)=丘2(') = "(/)'兀2(°) = 丁4控制约束为|w(r)|<y,耍求最优控制/,使系统在/ = /,时转移到x(tf) = 0, 并使J = f ir(t)dt = niinJo其中-自由。. 1解:H = “- +人兀)+ a人+入”-丄入入<12 - -本题属最小能暈问题,因此:«*(/) = <一丄入>1入 <-1入=0 T入=C由协态
11、方程:P1入=-人> 入=-C/ + G易是的H线函数。由始端条件tCj = C严丄4由木端条件TiQ/-i4=°另:H(rz)= o联立解得:C1=|, C2=0, tf = 3= 1 时 9 t <0入=_1 时,/ = 9在/从0->3段,|<1满足条件。习题10设二阶系统班(。=一兀()+ "0),不(0) = 1E(F) = X(r),x2(O)= O控制约束为w(r)< 1,当系统终端IH由时,求最优控制/(),使性能指标J = 2x1(1) + x2(1)収极小值,并求最优轨线xt)oXi + u解:由题思,f =, (p = x
12、 + x2,厶=0,=> H = u-+ A2xl宙控制方程可得:由协态方程可得:=> 人=C2ef + C=>人=6d(p人=严+1 t在r > 0的范围内人 人=1>1故:宀一1 re0,1若需计算最优轨线,只需把u=-l代入状态方程,可得: x*(t) = 2ef -1x2*(/) = -2e' - r + 2习题11设系统状态方程为A (f) = X2(')' ”1(°) = Xio屯(/) = "(), X2(0) = X2Q性能指标为J = - ( (4彳+ ir)dt2 Jo试用调节器方法确定最优控制llt) O解:由已知条件得:“00AB =可控考虑到'D '2 0_DA0 2:最优解在0 2 0=DTDf 故 D = 2闭环系统渐近稳定0由 Riccati 方程 Al P + PA- P
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