最优控制习题及参考答案

1、最优控制习题及参考答案习题1求通过x(O) = l, x(l) = 2 ,使下列性能指标为极值的曲线:J = f (x2 + l)dfJ/o解：由己知条件知：r0 = 0, tf = 1由欧拉方程得：4(2%) = 0atx = Cx = C/ + C2将 x(0) = 1, x(l) = 2 代入，有：C2 = L C = 1得极值轨线：xt) = t + l习题2求性能指标：J= fx2+l)dtJo在边界条件x(0) = 0 , x(l)是门由情况下的极值曲线。X。i0i'解：由上题得：xt) = Clt + C2,dL由衣由 x(o)= o 得：g = o=2丘血)=2C=&#

2、187; = 0 f=/于是：/(/) = 0【分析讨论】对丁任意的x(o)= x0, x(i)n由。有：C2 = xQ, C = 0 ,即：xt) = xQ其儿何意义：x(l)lH由意味着终点在虚线上任意点。习题3 己知系统的状态方程为：x1(r) = x2(r), x2(r)= ；/(r)边界条件为:x1(0) = x2(0) = l, X(3)=兀(3) = 0 ,试求使性能指标丿二f3-ut)dtJo 2取极小值的最优控制llt)以及最优轨线/(/) O解：由己知条件知：f = 21 UHanuton 函数：H = L + A7 f 1> / =丄/ + 入x? + 入“由协态方

3、程：p=0U = -A衛严 IA> - -Cj+C2 TH由控制方程：= u + =05u 得：U = 2 = C2 由状态方程：x2=u = C/-C2得：x>(/) = C广C+ C3 由状态方程： =x2得：不(/)=cFC2t2 4- C3t 4- C4 将 x(0)=，X3) =代入，,联立解得：C=¥，C2 = 2 , C3 = C4 = 1 由、式得：心）=罟，-2X；（F） = 户一尸+F + l兀;話$ 2r+1习题4已知系统状态方程及初始条件为x = w ,x（0） = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。J = （x2 +u2）e2tdtJo解：

4、 H = x2e2t +u2e2t + Au列方程：人=一2加"2e2,u + 2 = 0由得，”=-丄kq 2代入得，x = e2t A2丘=一丄尸/兄+尸口2将，代入，并考虑到u = xx = -| £ J（_2xe2t） + £ J（_2/q）整理可得：x+2x-x = 0特征方程：52+25-1 = 0$ = -1 + 2, 5-)= 1 2于是得：/(o = Qv + cz：f才(足-2e2'u= -2e2'x2*(f) = -2/(CS"" + C2s2e5-)由x(0) = 1,得：CC2=1由 A(/y) = A

5、(l) = 0得:C$c斥 + C2s2eS2 = 0、联立，可得C、c2代回原方程可得/(略)习题5求使系统：X = x2, x2 = u65#由初始状态x1(O) = x2(O) = O出发，在-=1时转移到目标集1 /J 1x1(l) + x2(l) = l,并使性能指标 J = -j ut)dt为最小值的最优控制/(/)及和应的最优轨线F(/) 0解:本题/(),厶()与习题3同，故/()相同f方程同f通解同入=C,易=-Cj + C2xi =7 c? 一石 °2尸 + G' + C4 oz1 9x2 =_C丁 - C2t 4- C3u = Cj C、兀(0)=,有：

6、C3 = C4 = 0由召(1) +兀2(1)=1,有:由兄(1) = y = 0, / = Xj + 1dx dx有:2(1)= J/ = O=>21(1) = 22(1)丁 是：c严c + q2C = C2、联立，得：C二-二 c7=-17-7丁r3,6于是：u =1 + .1332x =r+-r 11473, 6=r +r 147习题6已知一阶系统：x(r) = -x(r)+ u(t), x(0) = 3(】)试确定最优控制ut).使系统在tf = 2时转移到x(2) = 0 ,并使性能泛函./o(l + u2)dt = min(2)如果使系统转移到x(rr)= 0的终端时间。H由

7、，问“"(/)应如何确定? 解： H = 1 + “2 + 加一 Axx = -x + u列方程： 2 =兄2“ + 几=0由协态方程得：A =由控制方程=代入状态方程：x = -x-C/ n x(f) = C2e'1 一丄C0 / = 2, x(2) = 0解得:G =，5= Je 1e 1代入得：/(/) = $孑e I")= 2,-自由如=0解得：(?=阿一6 = 0.325u (t) = 0.162/习题7设系统状态方程及初始条件为x(r)= u(t), x(0) = 1试确定最优控制/(/),使性能指标为极小，其中终端时间/未定，x(tf) = 0 o 解

8、：H =丄 u2 + Am2由协态方程得：A = 0=由控制方程："+ 2 = 0 > u = C由状态方程：x = u = -Q => x(r) = -C/ + C2 由始端：x(0) = 1 tC?=1由末端：x(/) = 0 Cj/+l = 0考虑到：)= -空一竺7 = -17 6tf dtf有：w2 + Au = -12*即Cl1 =即=2C = ±/2当C严忑时，代入w：当6 = 丁！时，代入有：t/ = y = 了亍，不合题意，故有C =最优控制u = -V2习题8设系统状态方程及初始条件为x1(0 = 2(0> 不(0) = 2性能指标为x

9、2(t) = u(t),兀(0)= 1要求达到x(rz) = O,试求：(1) tf = 5时的最优控制(2) tf门由时的最优控制/(/)；解：本题/(),厶()，/()与前同，故有Aj = Cj + C2< Xj =C/3 -C2r2 + C3t + C4 oz%2 = Cj + C35 = 2C3 = l 2 0 1?s由x(0)= g)= 0 ,得：C2 + 5C3 + C4 = 025尹-5C2+0联立得：C, = 0.432, C2 = 1.28, n / = 0.432/-1.28tf H由C=1G=2<_C2r/ +Q/ +C4 =°込 Cj； - C2t

10、f + C3 = 0H（r） = 0联立有：C-2C2rz +2 = 0,无论C?为何值，/均无实解。习题9 给定二阶系统A（0 = X2（O+» xi（0）=丘2（'） = "（/）'兀2（°） = 丁4控制约束为|w（r）|<y,耍求最优控制/，使系统在/ = /,时转移到x（tf） = 0, 并使J = f ir（t）dt = niinJo其中-自由。. 1解：H = “- +人兀）+ a人+入”-丄入入<12 - -本题属最小能暈问题，因此：«*（/） = <一丄入>1入 <-1入=0 T入=C由协态

11、方程：P1入=-人> 入=-C/ + G易是的H线函数。由始端条件tCj = C严丄4由木端条件TiQ/-i4=°另：H（rz）= o联立解得:C1=|, C2=0, tf = 3= 1 时 9 t <0入=_1 时，/ = 9在/从0->3段,|<1满足条件。习题10设二阶系统班(。=一兀()+ "0)，不(0) = 1E(F) = X(r),x2(O)= O控制约束为w(r)< 1,当系统终端IH由时，求最优控制/()，使性能指标J = 2x1(1) + x2(1)収极小值，并求最优轨线xt)oXi + u解：由题思，f =, (p = x

12、 + x2,厶=0,=> H = u-+ A2xl宙控制方程可得:由协态方程可得:=> 人=C2ef + C=>人=6d(p人=严+1 t在r > 0的范围内人 人=1>1故：宀一1 re0,1若需计算最优轨线，只需把u=-l代入状态方程，可得： x*(t) = 2ef -1x2*(/) = -2e' - r + 2习题11设系统状态方程为A (f) = X2(')' ”1(°) = Xio屯(/) = "()， X2(0) = X2Q性能指标为J = - （ （4彳+ ir）dt2 Jo试用调节器方法确定最优控制llt） O解:由已知条件得：“00AB =可控考虑到'D '2 0_DA0 2:最优解在0 2 0=DTDf 故 D = 2闭环系统渐近稳定0由 Riccati 方程 Al P + PA- P