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文档简介

1、组合数的两个性质作者：万连飞 教学目的：1 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力；2 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。教学过程：一、 复习提问：1 组合数公式的两种形式是什么：2 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： (n,mN,且mN)二、新课讲授：1 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。（1） 利用组合数的公式，考察： 与， 与， 与的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书），又，=；又；又=。由不完全归纳可得：从n个不同的元素中取出m 个元素的组

2、合数，等于从n个不同的元素中取出n-m个元素的组合数。即 定理1：=，(n,mN,且mN)(2)定理1的证明。要证明这个等式成立，即证明两个量相等。那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答）方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。我们知道，显然，等于。于是可得下面的证明。证明：，又，=。（3）性质1的另一种解释：从n个不同的元素中取出m个元素，并成一组，那么，剩下的n-m个元素也成一组；反之，从n个不同的元素中取出n-m个元素并组成一组，那么剩下的m个元素也成一组。所以，它们的组合是一一对应的，故有从n个不同的元素中取出m个的组合数是等于从 n个不同的元素中取出n-m个元

3、素的组合数，即=。（4）当 时，利用这个公式，可是的计算简化。如：，。（5） 注意：当m=n时，公式=变形为 ，又=1，所以规定：=1即 0！=1（6）在这样的一组组合数：，中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。如：=，=，=，。2 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。（1） （1）用计算的方法考察组合数：与， 与的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）=规律：若n、,m是自然数，mn，则，（或 ）定理2 (n,mN,且mN)（2） 定理2的证明。要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。证明： （3）对于定理2，还可以这样解释：从， ，.，这n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，这些组合可以分成两类：一类含，一类不含。含的组合是从，.，这n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为，不含的组合是从，.，这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为。再由加法原理，得：。（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m个元素的组合数，等于从n个不同的元素中取出m个元素的组合数与从n个不同的元素中取出m-1个元素的组合数的和。这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。二、 课堂练习：1 计算与；2 求；3 利用定理2证明：证明： 又证：将原式左边的各项写成：， ， ， ，将上述的等式两边相加，得：四、

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