第六章二维随机变量ppt课件

1、第六章第六章 二维随机变量二维随机变量目的与要求：掌握二维离散、延续变量及分布函数的概念、目的与要求：掌握二维离散、延续变量及分布函数的概念、掌握边缘分布与条件分布计算。掌握边缘分布与条件分布计算。教学内容与时间安排教学内容与时间安排2 2学时学时教学方法：讲授与提问结合教学方法：讲授与提问结合教学手段：多媒体教学手段：多媒体PPTPPT软件软件重点：二维离散与延续变量的分布函数及边重点：二维离散与延续变量的分布函数及边缘分布的计算。缘分布的计算。难点：边缘分布难点：边缘分布 由于从二维推行到多维无本质性的困难，由于从二维推行到多维无本质性的困难，本节我们重点讨论二维随机变量。本节我们重点讨论

2、二维随机变量。 到如今为止，我们只讨论了一维随机变量及到如今为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布。但有些随机景象用一个随机变量来描其分布。但有些随机景象用一个随机变量来描画还不够，而需求用几个随机变量来描画。画还不够，而需求用几个随机变量来描画。 定义定义 假设某随机变量要经过假设某随机变量要经过 个随机变个随机变量量 组成的有序数组组成的有序数组nXXX,21),(21nXXXn第一节第一节 二维随机变量及分布函数二维随机变量及分布函数来描画，那么称此有序数组为来描画，那么称此有序数组为 维随机变量。维随机变量。相应地，称相应地，称 元函数元函数nn),(),(221121nnnxXxXx

3、XPxxxF为为 维随机变量维随机变量 的结合分布函数。的结合分布函数。),(21nXXXn特别地，当特别地，当 时，时， 为二维随机变量。为二维随机变量。2n),(YX为二维随机变量为二维随机变量 的结合分布函数。的结合分布函数。( (几几何意义何意义) ) ),(YX该当强调的是，该当强调的是，),(yYxXP是指是指xX 与与yY 同时成立的概率。同时成立的概率。),(),(),(yxyYxXPyxF称称 二维随机变量二维随机变量 的结合分布函数有以的结合分布函数有以下性质：下性质： ),(YX),(. 1yxF分别对分别对 和和 单调不减，即单调不减，即xy当当 时，时，21xx ;)

4、,(),(21yxFyxF当当 时，时，21yy ;),(),(21yxFyxF),(. 2yxF对对 和和 都是右延续的，即都是右延续的，即xy; ),() 0,(, ),(), 0(yxFyxFyxFyxF,1),(0. 3yxF且，且，;0),(),(xFyF;1),(;0),(FF. 4对恣意实数对恣意实数 ，成立，成立，2121,yyxx121222122111(,)( ,)( ,)( ,)( ,)0P xXx yYyF x yF x yF x yF x y 对于二维随机变量我们仍分别散型与延续对于二维随机变量我们仍分别散型与延续型两种情况来讨论。型两种情况来讨论。 第二节第二节 二

5、维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 对于二维随机变量对于二维随机变量 ，假设，假设 和和 都是离都是离散型随机变量，那么称散型随机变量，那么称 是二维离散型随机是二维离散型随机变量。变量。 ),(YX),(YXXY几何意义几何意义为为 的结合分布列或分布列。的结合分布列或分布列。),(YX，那么，那么称称ijp, 2 , 1,),(jipyYxXPijji的分布列也可由以下矩阵表格表示。的分布列也可由以下矩阵表格表示。),(YX1211ppXY2221pp21yy21xx ()(,)( ,1, 2 , 3 .),ijXYxyij 定 义二 维 离 散 型 随 机 变 量，可 能

6、 的取 值 为相 应 的 概 率 为), 3 , 2 , 1,(),(jiyxii由于由于普及一切普及一切的能够取值，从而成立的能够取值，从而成立.1, 01,jiijijpp反之，假设某非负数列反之，假设某非负数列 ), 3 , 2 , 1,(jipij满足满足 ，那么它定可作为某二维离散，那么它定可作为某二维离散型随机变量的分布列。型随机变量的分布列。.11,jiijp 例例1 1 一口袋中装有四个球，上面依次标一口袋中装有四个球，上面依次标有数字有数字1 1，2 2，2 2，3 3。从袋中任取一球后不放回。从袋中任取一球后不放回的再取一球，假设每次取球时袋中各球被取到的再取一球，假设每次

7、取球时袋中各球被取到的能够性一样，以的能够性一样，以 和和 表示第一次和第二表示第一次和第二次取出的球上标有的数字，求次取出的球上标有的数字，求 的结合分布。的结合分布。),(YXXY解解 能够取值为能够取值为),(YX),2 , 2(),1 , 2(),3 , 1 (),2 , 1 (. )2 , 3)(1 , 3(),3 , 2(由乘法原理，得：由乘法原理，得：,613241)2, 1(),(12pYXP,1213141)3 , 1(),(13pYXP类似可得：类似可得：613121)1 ,2(),(21pYXP613121)2,2(),(22pYXP613121)3 ,2(),(23pY

8、XP1213141)1 , 3(),(31pYXP.613241)2, 3(),(32pYXP从而所求的分布列为：从而所求的分布列为：121610XY321161616106112123第三节第三节 二维延续型随机变量及其分布二维延续型随机变量及其分布dxdyyxfyxFxy ),(),( 定义定义 设二维随机变量设二维随机变量 的结合分布函的结合分布函数为数为 ，假设存在一非负二元函数，假设存在一非负二元函数 , ,使使对恣意实数对恣意实数 有有),(YX),(yxF),(yxf, yx那么称那么称 是二维延续型随机变量，相应的是二维延续型随机变量，相应的二元函数二元函数 称为称为 的结合密

9、度。它满足：的结合密度。它满足：),(YX),(yxf),(YX 1),(dxdyyxf,0),(yxf 反之，假设二元函数满足以上条件，那么反之，假设二元函数满足以上条件，那么它定可作为某二维延续型随机变量的结合密它定可作为某二维延续型随机变量的结合密度。度。,),(),(2yxyxFyxf不难得出，在不难得出，在 的延续点：的延续点：),(yxf且对平面上的恣意区域且对平面上的恣意区域D证明如下证明如下),(DyxPdxdyyxfD),(其其它它,),()(0002yxkeyxfyx试求试求(1) (1) 常数常数 的值；的值；k例例2 2 二维随机变量二维随机变量 的结合密度为的结合密度

10、为),(YX),(YX3 3 的结合分布函数。的结合分布函数。),(YX 取值落入区间取值落入区间中的概率；中的概率；1),(yxyxD解解 1 1由结合概率密度的性质：由结合概率密度的性质： 1),(dxdyyxf(2)001x ykedxdy 2001xykedxe dy2k从而从而其其它它,00, 0,2),()2(yxeyxfyx2 2DdxdyyxfDYXP),(),(;3996.0)1 (22110)2(10edyedxxyx1yxxyo11D3 3由结合分布的定义，由结合分布的定义，dxdyyxfyxFxy ),(),(当当 或或 时，时， 从而从而0 x; 0),(yxF0y0

11、),(yxf当当 且且 时，时， 从而从而0 x0y)2(2),(yxeyxf)1)(1 (2),(200)2(yxxyyxeedxdyeyxF 其其它它, 00, 0),1 ()1 (),(2yxeeyxFyx从而所求的结合分布函数为：从而所求的结合分布函数为：下面我们引见两个常见的二维分布。下面我们引见两个常见的二维分布。 设设 是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 。假设二维随机变量假设二维随机变量 具有概率密度具有概率密度GS),(YX其其它它, 0),(,1),(GyxSyxf那么称那么称 在在 上服从均匀分上服从均匀分布。布。),(YXGDdxdyyxfDYXP

12、),(),(DdxdyS1SD 的 面 积 向平面上有界区域向平面上有界区域 上任投一质点，假设上任投一质点，假设质点落在质点落在 内任一小区域内任一小区域 的概率与小区域的概率与小区域GGD的面积成正比，而且与的面积成正比，而且与 的外形及位置无关。的外形及位置无关。D 例例3 3 甲乙两人各自在甲乙两人各自在0,10,1区间上随机区间上随机取数取数, ,求甲所取数超越乙所取数两倍的概率。求甲所取数超越乙所取数两倍的概率。上的均匀分布上的均匀分布, ,从而所求概从而所求概率为率为: : 12.4P XY阴影部分面积D的面积 O12y2xyx1 解解 用用 表示甲所取的数表示甲所取的数, ,

13、表示乙所表示乙所取的数取的数, ,那么那么X X，Y Y服从正方形区域服从正方形区域XY10 , 10|,yxyxD2112221121121)()(exp),(xyxf)()(22222211yyx其中其中均为常数均为常数, ,且且,2121假设二维随机变量假设二维随机变量 具有概率密度：具有概率密度：),(YX,2121那么称那么称 服从参数服从参数为为),(YX的二维正态分布。的二维正态分布。, 0, 0211|记作：记作：。),(),(2121NYX密度函数图形密度函数图形体积为体积为1第四节第四节 随机变量的边缘分布随机变量的边缘分布即是指即是指。YxX,称这种由称这种由 的结合的结

14、合),(YX对于二维随机变量对于二维随机变量 ，随机事件，随机事件),(YXxX ),(YXX分布函数确定出的一维随机变量分布函数确定出的一维随机变量 的分布函数的分布函数为为 关于关于 的边缘分布。的边缘分布。X又称边沿分布。假设又称边沿分布。假设 的结合分布函数的结合分布函数为为),(YXX, ),(yxF那么关于那么关于 的边缘分布函数记为的边缘分布函数记为, )(xFX),(),()(YxXPxFxFX类似可得类似可得 关于关于 的边缘分布函数为的边缘分布函数为),(YXY。),(),()(yYXPyFyFY 由结合分布可以确定边缘分布由结合分布可以确定边缘分布; ;但由边缘但由边缘分

15、布普通不能确定结合分布。分布普通不能确定结合分布。 普通地，对二维离散型随机变量普通地，对二维离散型随机变量 ，结合分布列为结合分布列为),(YX,)(21ippxXPjijii(),1,2,jjijiP Yyppj, 2 , 1,),(jipyYxXPijji那么那么 关于关于 的边缘分布列为的边缘分布列为),(YXX关于关于 的边缘分布列为的边缘分布列为),(YXY 我们常将边缘概率函数写在结合概率函数表我们常将边缘概率函数写在结合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词。例例4 4 设设 的结合分布列为的结合分布列为),(YX410121XY2

16、1101211216101214113求关于求关于 及及 的边缘分布列。的边缘分布列。 XY解解 由边缘分布列的定义，由边缘分布列的定义， 111()(0)(0,1)(0,1)111(0,2)01243jjP XxP XppP XYP XYP XY 31121121612111111),(),(),()(YXPYXPYXPXP310121412313133),(),(),()(YXPYXPYXPXPY同理可计算出同理可计算出 的边缘分布。的边缘分布。X21031 ip3131Y21121jp6131从而关于从而关于 及及 的边缘分布列为：的边缘分布列为：XY 对二维延续型随机变量对二维延续型随

17、机变量 ，假设结合概，假设结合概率密度为率密度为 ，那么关于，那么关于 的边缘分布的边缘分布),(yxf),(YXX313131410121XY21101211216101214113 ipjp316121也可表示为：也可表示为：。dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(其边缘密度函数为：其边缘密度函数为：同理可知关于同理可知关于 的边缘分布函数和密度函数的边缘分布函数和密度函数为：为：YyYdydxyxfyF,),()(xXdxdyyxfxF,),()(函数为：函数为：其其它它,),()(00022yxeyxfyx例例5 5 设二维随机变量设二维随机变量 的结合密度为的结合密度为

18、),(YX),(YX求求 关于关于 和和 的边缘概率密度。的边缘概率密度。XY解解 由定义由定义,)(,00 xfxX022220 xyxXedyexfx)()(,所以所以。00022xxexfxX,)(同理同理。000yyeyfyY,)(解解 由二元正态分布函数定义可知由二元正态分布函数定义可知,X Y的结合概率密度为的结合概率密度为X和和 的边缘概率密度。的边缘概率密度。Y 例例6 6 设设, , 试计算关于试计算关于,222121YX2122211221222122()11( , )exp2(1)212 ()()()xuf x yxuyuyu ,.Xfxf x y dy从而从而 记记11

19、,xu且对积分引入变量代换且对积分引入变量代换22,yvv再对被积函数中的指数部分里的再对被积函数中的指数部分里的配方配方, ,可得可得 22222222222222222222122 1212 12212 122122()(1)12112111221uuvvXvuuvuuuuvvvuvuuuvuufxedveedveedv 22121221111.22xuXfxee同理可得同理可得 2222221.2yYfye留意到积分中函数恰好为一正态分布留意到积分中函数恰好为一正态分布 的概率密度的概率密度, ,积分值应为积分值应为1,1,从而从而21 ,uN例例7 7 设随机变量设随机变量(X, Y)

20、(X, Y)的概率密度是的概率密度是其其它它,),(),(00102xyxxcyyxf求求 (1) c (1) c的值；的值； 2 2两个边缘密度。两个边缘密度。1 dxdyyxf),(解：解：(1)(1)由由12100 xdxdyxcy)(dxxxc10222/ )(1245 c84.c),2(5122xx(2)(2)xXdyxyxf02524)()(, 10 x1xyoyx 所以所以其其它它,),()(01025122xxxxfX1)2(524)(yYdxxyyf),2223(5242yyy, 10 y其它其它,),()(01022235242yyyyyfY第五节第五节 随机变量的相互独立

21、性随机变量的相互独立性 随机变量的相互独立性，是事件相互独立随机变量的相互独立性，是事件相互独立性的推行，在概率论与数理统计的实践运用中性的推行，在概率论与数理统计的实践运用中是一个重要的概念。是一个重要的概念。 定义定义 设设 是两个随机变量，假设对是两个随机变量，假设对恣意实数恣意实数 有有YX，yx,(,)()() ,P Xx YyP Xx P Yy那么称设那么称设 与与 是相互独立是相互独立的。的。XY 假设用假设用 表示表示 的结合分布函数，的结合分布函数，),(YX),(yxF和和 分别表示分别表示 和和 的边缘分布函的边缘分布函)(xFX)(yFYXY数，那么对于相互独立的随机变

22、量数，那么对于相互独立的随机变量 和和 有：有：XY. )()(),(yFxFyxFYX(,)()() ,ijijP Xx YyP XxP Yy即对一切的即对一切的),(ji 设设 是二维离散型随机变量，那么是二维离散型随机变量，那么 与与 ),(YX),(YX相互独立的充分必要条件是：对相互独立的充分必要条件是：对 一切能一切能够的取值够的取值 有有),(jiyxYXjiijppp例例8 8 设设 的结合分布列为的结合分布列为),(YX121611211XY10124112124128141814XY证明证明 与与 分布相互独立。分布相互独立。X42131 ip6121Y10141jp2141容易算得证明容易算得证明 与与 的边缘分布列为：的边缘分布列为：XY容易验证：容易验证：11114131121ppp2112213161ppp类似可以验证：类似可以验证：对一切的对一切的),(jijiijppp成立，所以成立，所以XY 与与 分布相互独立。分布相互独立。Y),(YXX 对二维延续型随机变量对二维延续型随机变量 ，假设结合概率，假设结合概率密度为密度为 ，假设，假设 与与 相互独立，那么：相互独立，那么：),(yxf. )()(),(yFxFyxFYX等式两边对等式两边对 求二阶混合偏导数可得：求二阶混合偏导数可得：yx,)()(),(yfxfyxfYX反之也成立。