第十一章影响线及其应用

1、大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位置的改变而改变。置的改变而改变。移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹移动荷载作用下结构的最大响应计算。线弹性条件下，影响线是有效工具之一。性条件下，影响线是有效工具之一。ABlFBy随小车位置变化的情况随小车位置变化的情况aFPFPFPa/lFP(2-a/l)FPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFP设计最关心的是最大值设计最关心的是最大值移动荷载不同，变化规律也不同移动荷载不同，变化规律也不同3/41/21/41单位移动荷载作用下某

2、单位移动荷载作用下某物理量随荷载位置变化规物理量随荷载位置变化规律的图形。律的图形。其一是其一是静力法静力法，另一，另一为为机动法机动法（虚功法）。（虚功法）。-反力反力 的影响线的影响线AFABP=1AFP=11AyFP=1l/43 4AyFP=1l/21 2AyFP=13l/41 4AyFP=10AyF 应注意的问题应注意的问题 由上述定义可知，由上述定义可知，物理量是固定的物理量是固定的， 单位移动单位移动荷载位置是变动的荷载位置是变动的，影响线图，影响线图形的形的竖标竖标是荷载作用于此处时物理量的是荷载作用于此处时物理量的值，值，横标横标是单位移动荷载作用位置是单位移动荷载作用位置。

3、作影响线要注意：作影响线要注意：外形、数值（单位）外形、数值（单位）和符号和符号三要素三要素。+首先利用静力平衡条件建立首先利用静力平衡条件建立影响线方程影响线方程，然后由，然后由函数作图的方法作出影响线函数作图的方法作出影响线-静力法。静力法。ABlAFBF0 AmlxYB/ YB影响线方程影响线方程+0 BmlxYA/1 影响线影响线BF影响线影响线AF特点：反力影响线是直角特点：反力影响线是直角三角线，反力下方最大为三角线，反力下方最大为1单位是无量纲单位是无量纲求求k截面弯矩和剪力影响线截面弯矩和剪力影响线ABAFBFKM1SKFax 取右部分作隔离体取右部分作隔离体0 yF/SKBF

4、Fx lax 单位力在单位力在K点右侧点右侧,取左部分作隔离体取左部分作隔离体0 yF1/SKAFFx l la/lb/11kab+ABlAFBF/BFx l1/AFx l 影响线影响线AF 影响线影响线BF影响线影响线SKF特点：由相距为特点：由相距为1的两根的两根倾斜平行线左右直线组成倾斜平行线左右直线组成下和上三角形下和上三角形单位是无量纲单位是无量纲kab+ABlAFBF/BFx l1/AFx l 影响线影响线AF 影响线影响线BFax 取右部分作隔离体取右部分作隔离体求求k截面弯矩影响线截面弯矩影响线0 KmKBMF blbx/ ax 单位力在单位力在K点右侧点右侧,取左部分作隔离体

5、取左部分作隔离体0 KmKAMF alaxa/ ABAFBFKM1SKFlab/ba特点：斜三角形，顶点在特点：斜三角形，顶点在截面上方大小为截面上方大小为单位是长度单位单位是长度单位ab lxx0 AmxMA MAFA1AF 0 yFxl/2MK= -(x - l/2 )l/2l/2l/2KP=1Al. LIMA1AF I.L.1SkF I.L.l/2. LIMk2/ lx P=1MKSKF0SKF1SKFxl/21pF x/ x l1/ x l11/45/4ba/4a1/ a l1/4/b l1/ab lCl/ 4lABDab0 xa/CMbx l5 /4axl(1/ )CMx l aAy

6、F影响线影响线ByF影响线影响线CM影响线影响线SCF影响线影响线/SCFx l 0 xa1/SCFx l 5 /4axl1pF ABxl/ 4lDCd11411d4lCMx1scF 1RSBFCM影响线影响线scF影响线影响线BM影响线影响线LSBF影响线影响线RSBF影响线影响线 荷载直接加于纵梁，纵梁是简支梁，两端荷载直接加于纵梁，纵梁是简支梁，两端支在横梁上，横梁则由主梁支承；荷载通过纵支在横梁上，横梁则由主梁支承；荷载通过纵梁下面的横梁传到主梁。主梁只在各横梁处受梁下面的横梁传到主梁。主梁只在各横梁处受到集中力的作用。对主梁来说这种荷载称为到集中力的作用。对主梁来说这种荷载称为间间接

7、荷载。接荷载。 l=4d dFP=1ABCEF横梁（结点）纵梁主梁11-3 间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线FP=1ABCEF 间接荷载作用下主梁反力、内力的影响线间接荷载作用下主梁反力、内力的影响线11 （1）支座反力）支座反力 、 影响线，与受直接荷载作用的影响线，与受直接荷载作用的简支梁完全相同。简支梁完全相同。AyFByF 影响线影响线AyF 影响线影响线ByFFP=1ABCEF （2）结点处截面弯矩）结点处截面弯矩MC、ME 等影响线与受直接荷载等影响线与受直接荷载作用的简支梁完全相同。作用的简支梁完全相同。3d/4MC影响线影响线5ldABCDEG（3）任意截面）任意截

8、面K的弯矩、剪力影响线的弯矩、剪力影响线作荷载直接作用于主作荷载直接作用于主梁时的影响线梁时的影响线; ;将结点投影到影将结点投影到影 响线响线上上;荷载在各结点时相当荷载在各结点时相当于直接荷载作用于直接荷载作用将相邻投影点连以直线将相邻投影点连以直线. ab/lM Mk k影响线影响线kCDdxxyyydd证明：证明：直线直线1 1d dx xdxdxdCD当荷载在相邻结点间时当荷载在相邻结点间时该结论适用于间接荷载该结论适用于间接荷载作用下任何量值的影响线作用下任何量值的影响线 a/lb/l 影响线影响线SKF作作K截面剪力影响线截面剪力影响线（4） 一般性结论：一般性结论： 在结点荷载

9、作用下，结构任何影响线在相邻两在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为一直线。结点之间为一直线。 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。邻两结点的竖标，就得到结点荷载作用下的影响线。作静定结构影响线的作静定结构影响线的机动法机动法的理论基础是刚体虚位移原的理论基础是刚体虚位移原理理.下面以静定梁为例说明。下面以静定梁为例说明。B BF( )0BBP y xF +令令1 B求图示梁支座反力影响线求图示梁支座反力影响线ABP=1lxP=1BF)(xy1( )( )BBF xy x( )( )BF xy

10、 x1机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。 影响线影响线BF求图示梁支座反力影响线求图示梁支座反力影响线AY机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方

11、向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。1B BF+ 影响线影响线ABP=1lxP=1BF)(xy1BF 影响线影响线AF求图示梁求图示梁k截面弯矩和剪力影响线截面弯矩和剪力影响线机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。ABP=1lxkabABMk

12、1 （a+Mk影响线影响线aAB1b/la/l 影响线影响线SKFSKFl/2l/2l/2KP=1AAyFSKF机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。l/2l/2l/2KP=1A11MA影响线影响线MkMA）1lMk影响线影响线）1l/211 影响线影响线AyF 影响线影响线SKFSKFAyF例例F=1ACKalF=

13、1ABCDEFKMk影响线aKF=1EylxFlx+-小结：（1）当F=1在量值本身本身所在的梁上移动时，量值的影响线与相应的单跨静定梁的相同； （2）当F=1在对于量值所在的部分来说是基本部分基本部分的梁上移动时，量值影响线的竖标为零。 （3）当F=1在对于量值所在的部分来说是附属部分附属部分的梁上移动时，量值影响线为直线。alF=1ABCDEFK 影响线LSBF 影响线FF1+l根据在铰处的竖标为已知和在支座处竖标为零等件。Mk11KF=1aABCDEFMK影响线 影响线LSBFa 影响线FF 0YF1 1aaa1 1a2 23 34 4ABCDEFGHI.L.YI.L.YA1 11 1I

14、.L.YI.L.YBF F2 2ACEFF F1 1FAF FBBDF F2 2F F1 1 0Fm力在力在G G点右侧点右侧: :1AFF力在力在F F点左侧点左侧: : 0Fm12BFF1 12 2I.L.NI.L.N1 0YF力在力在G G点右侧点右侧: :22AFF力在力在F F点左侧点左侧: :22BFF I.L.NI.L.N2F F2 2F F3 3D322/2FN I.L.NI.L.N311力在力在G G左左: : F F4 4=0=0力在力在H H点点: : F F4 4=-1=-1I.L.NI.L.N41 1221. 1. 影响线影响线N1N1F F2. 2. 影响线影响线N

15、2N2F F3. 3. 影响线影响线N3N3F F4. 4. 影响线影响线N4N4F F机动法步骤机动法步骤:解除与所求量对应的约束解除与所求量对应的约束, ,得到几何可变体系。令其发生虚位移得到几何可变体系。令其发生虚位移, ,并使与该量对应的广义位移为并使与该量对应的广义位移为1,1,方向方向与该量正向相同。虚位移图即为该量与该量正向相同。虚位移图即为该量影响线影响线, ,基线上部为正。基线上部为正。Mi影响线影响线1MA影响线影响线）1l/2Mk影响线影响线）1l/411MAMkl/2Mi）1 影响线影响线AyF练习练习:作作 , MA , MK , Mi , 影响线影响线.l/4l/4

16、kP=1AiBl/4l/4BFSKFSiFAyF 影响线影响线SKFSKF 影响线影响线SiFSiF（1M1例：作例：作FA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 FC 、 FS4 、 FSC左左 、 FSC右右 影响线影响线11ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mM1影响线影响线M2影响线影响线M2（11 影响线影响线AyFAyF（1MB2ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1mMB影响线影响线111 影响线影响线2SF2SF 影响线影响线3SF3SF例：作例：作FA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 F

17、C 、 FS4 、 FSC左左 、 FSC右右 影响线影响线ABCD12342m1m 1m1m1m1m 1m2m1m1m1111在直角坐标系中在直角坐标系中,静定静定结构的影响线是否一定是结构的影响线是否一定是由直线段构成由直线段构成? 影响线影响线CFCF 影响线影响线4SF4SF 影响线影响线LSCFLSCF 影响线影响线RSCFLSCF例：作例：作FA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 FC 、 FS4 、 FSC左左 、 FSC右右 影响线影响线一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等1NiiiF yMk影响线影响

18、线kyky1Mk=F1y1y2+F2y2F1F2FNyN+ + FNyNyRMk=F1y1+F2y2 +F3y3F1kyky1F2y2F3y3Mk影响线影响线1.1.集中荷载的情况集中荷载的情况RFRR= F yqy(x)一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等F1Niii=1=F ykMk影响线影响线yky1Mk=F1y1F2y2+F2y2FNyN+ + FNyN当当q(x)为常数时为常数时dxqdx( )baxkxMqy x dx baxxkdxxyqM)( q ykkabMk影响线影响线( )kdMqdx y x式中式中 为影响线在均布为影

19、响线在均布荷载范围荷载范围ab内的面积。内的面积。若在该范围内影响线有正负若在该范围内影响线有正负则则应为正负面积的代数和应为正负面积的代数和2.2.分布荷载的情况分布荷载的情况例：利用影响线求例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。截面弯矩、剪力。)24221421(4/)4/(2 llllqlqllqlMk112022RskFqlqlqkl/2qqlql2l/2l/2l/2解：解：Mk影响线影响线l/4l/4l/44/2ql 2/3ql 112()022LSKFqlqlq 2/ql 1/21/21/21/2影响线影响线SKF 我国铁路桥涵设计使用的标准荷载，称为中华人民共和国铁路标准活载，简称“

20、中活载”。它包括普通荷载和特种荷载两种：5*220KN92KN/m80KN/m5*1.5m30m任意长2*1.5m普通活载特种活载1. 一个移动集中荷载一个移动集中荷载最不利荷载位置最不利荷载位置:结构中某量达到最大值结构中某量达到最大值(或最小值或最小值) 时的荷载位置时的荷载位置.FkabMk影响线影响线yaykybFF使使Mk发生最大值的荷载位置发生最大值的荷载位置使使Mk发生最小值的荷载位置发生最小值的荷载位置,maxKKMFy,minKaMFy2. 可以任意断续布置的均布荷载可以任意断续布置的均布荷载kabq qMk 使使Mk发生最大值的荷载分布发生最大值的荷载分布使使Mk发生最小值

21、的荷载分布发生最小值的荷载分布1. 一个移动集中荷载一个移动集中荷载FkabMk影响线影响线yaykybFF使使Mk发生最大值的荷载位置发生最大值的荷载位置使使Mk发生最小值的荷载位置发生最小值的荷载位置,maxKKMFy,minKaMFy）1）2）n x xy1y2 xyn3. 行列荷载的一般情况行列荷载的一般情况1RF2RFRnF 11122RRRnnSF yF yF y当荷载组向右移动一微小距离 x时，相应的量值S2为 故S的增量为2111222()()()RRRnnnSFyyFyyFyy2111221122tantantantanRRRnnRRRnnRiiSSSFyFyFyFxFxFx

22、xF S影响线y12yny1RF2RFRnF改写为变化率的形式：改写为变化率的形式： 使使S S成为极大值的条件是：成为极大值的条件是：荷载自该位置无论向左或向右移动微小的距离，荷载自该位置无论向左或向右移动微小的距离，S S将将减小，即减小，即S 0 S 0 。故。故S S为极大时应有：为极大时应有： 1tannRiiiSFx荷载左移荷载左移 ( x 0)tan0RiiFtan0RiiF（11-5） 使使S S成为极小值条件是：成为极小值条件是：荷载自该位置无论向左或向右移动微小的距离，荷载自该位置无论向左或向右移动微小的距离，S S将将减小，即减小，即S 0 S 0 。tanRiiSxF

23、1RF2RFRnFS影响线y12ynytan0RiiFtan0RiiF（11-5）荷载左移荷载左移 ( x 0)总之，荷载向左、右移动微小距离时，总之，荷载向左、右移动微小距离时， 必须变号，必须变号，S才有可能是极值才有可能是极值tanRiiF荷载左移，荷载左移，荷载右移荷载右移，tan0RiiFtan0RiiF（11-5）荷载左移，荷载左移，荷载右移荷载右移，tan0RiiFtan0RiiF（11-5）称为临界荷载判别式称为临界荷载判别式讨论：在什么情况下才能使讨论：在什么情况下才能使 变号变号?tanRiiFtanRiiF能使能使 变号的集中荷载称为变号的集中荷载称为临界荷载临界荷载(记

24、为记为 )；此时荷载的位置称为此时荷载的位置称为临界位置临界位置crF(tantanhhab其中和） h A bRaFRbFtan0RiidSFdxtan0RiiRaRbhhFFFabRaRbhhFFab此式表明此式表明:临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。RbRacrRbcrRaFFFabFFFab-临界荷载判别式临界荷载判别式 h a bcrFRbFRaF对常用的三角形影响线，临界位置判别式可进一步间化。则根据对常用的三角形影响线，临界位置判别式可进一步间化。则根据向左、向右移动时向左、向右移动时 应由正变负，可写出如下两个不等式

25、：应由正变负，可写出如下两个不等式：tanRiiF()tantan0tan()tan0RacrRbRaRbcrFFFFFF左移左移右移右移例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面弯矩的最不利荷载位置。截面弯矩的最不利荷载位置。6mCF4=3F3=7F2=2F1=4. 5kN4m4m5m10m解：解：MC影响线影响线F1F2F2F3F124.50610RbRacrFFFab24.5610RbcrRaFFFabF1是临界荷载是临界荷载.F2不是临界荷载不是临界荷载.724.5610RbRacrFFFab724.5610RbcrRaFFFab解：解：6mCF4=3F3=7F2=2F1=4. 5kN4m

26、4m5m10mMC影响线影响线F1F2F2P3F1F3F4F2F1F4P2F3F1是临界力；是临界力；F2不是临界力不是临界力.F3是临界荷载是临界荷载F4不是临界荷载不是临界荷载1123.751.2519.375kN.mCMFF1.251.883.750.38312340.381.883.751.2535.47kN.mCMFFFF,max35.47kN.mCM 若荷载可以掉头，若荷载可以掉头，如何处理？如何处理？3724.5610RbRacrFFFab3724.5610RbcrRaFFFab0372610RbRacrFFFab 实际计算时，一般并不需验证所有实际计算时，一般并不需验证所有荷载

27、是否为临界力，只考虑那些数值较荷载是否为临界力，只考虑那些数值较大、排列密集的荷载。大、排列密集的荷载。F1F21m2mC6m若某量若某量S的影响线为直角三角形或竖标有突变，不能用前述方法。的影响线为直角三角形或竖标有突变，不能用前述方法。F1位于位于C点：点：1,max335102044620SCFkN例：例：求图示简支梁求图示简支梁C截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。截面剪力的最大值和最小值。荷载运行方向不变。已知：已知：F1=10kN， F2 =20kNF1F2F2F13/4FSC影响线影响线1/4解：解：1,min13510()2044610SCFkN 2,max312010

28、()4813.75SCFkN F2位于位于C点：点：2,min1110()20()846.25SCFkN ,max20SCFkN,min6.25SCFkN 一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等一、利用影响线求固定荷载作用下的内力、反力等二、利用影响线确定最不利荷载位置二、利用影响线确定最不利荷载位置绝对最大弯矩绝对最大弯矩:所有截面最大弯矩中的最大弯矩。所有截面最大弯矩中的最大弯矩。R三、简支梁的绝对最大弯矩三、简支梁的绝对最大弯矩kP1PNlPkABxal -x-aYAYAP1PkMkLkAkMxYxM )(RlaxlYA LkkMRxlaxxM )1()(0)21( Rlaxdxd

29、Mk2/2/alx LkkMallRM 2max,)22(), 2 , 1(Nk 2/2/alx LkkMallRM 2max,)22(), 2 , 1(Nk RF1FNl/2FkABxal -x-al/2kMk,max(k=1,2N)中的最大者即是绝对最大弯矩。中的最大者即是绝对最大弯矩。a/2 a/2实际做法：实际做法：1、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载Fcr；2、计算梁上合力、计算梁上合力R及与临界力距离及与临界力距离a ；3、移动荷载组，使、移动荷载组，使R与与Fcr位于梁中点两侧位于梁中点两侧a/2处。处。若没有荷载移出或移入梁，由上式

30、计算绝对最大弯矩若没有荷载移出或移入梁，由上式计算绝对最大弯矩 ；若有荷载移出或移入梁，从第若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。步重新计算。F2和和F3是是MC发生最大值发生最大值时的临界力时的临界力(计算过程略计算过程略).例：例：求图示简支梁的绝对最大弯矩。荷载运行方向不变。求图示简支梁的绝对最大弯矩。荷载运行方向不变。已知：已知：F1= F2 = F3= F4 = 324.5kN解：解：3mABC3mF1F24.8mF3P44.8m1.45F2F323649RFFFkNma725. 0 64)725. 06(6492max,2 MF2F3a/21、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷

31、载、求出使跨中截面弯矩发生最大值的临界荷载Pcr；2、计算梁上合力、计算梁上合力R及与临界力距离及与临界力距离a ；3、移动荷载组，使、移动荷载组，使R与与Pcr位于梁中点两侧位于梁中点两侧a/2处。处。若没有荷载移出或移入梁，由右式计算绝对最大弯矩若没有荷载移出或移入梁，由右式计算绝对最大弯矩 ；若有荷载移出或移入梁，从第若有荷载移出或移入梁，从第2步重新计算。步重新计算。2/2/alx LkkMallRM )22(2max,F3为临界力为临界力23649RFFFkNma725. 0 23,max649 6( 0.725)470.54 6M mkN.5 .752 mkN.5 .752 F3a/2F2对于等截面梁对于等截面梁,发生绝对最大弯发生绝对最大弯矩的截面是最危险