第十二单元 展开图

1、第五模块第五模块 其他图样简介其他图样简介课题一平行线展开法课题一平行线展开法课题二放射线展开法课题二放射线展开法课题三三角形展开法课题三三角形展开法第十二单元第十二单元 展开图展开图 在工业生产中，经常会遇到一些用金属薄板制成的机件，如下图所示。在工业生产中，经常会遇到一些用金属薄板制成的机件，如下图所示。这些机件在制造时需先在金属薄板上作出适用于它们轮廓的全部或部分展开这些机件在制造时需先在金属薄板上作出适用于它们轮廓的全部或部分展开图，然后下料弯制成形，再通过焊接、冲压、铆接等方法加工成机件。图，然后下料弯制成形，再通过焊接、冲压、铆接等方法加工成机件。因此，因此，展开图和焊接图也是机械

2、工业生产中常用的技术图样。展开图和焊接图也是机械工业生产中常用的技术图样。本模块主要介绍展开本模块主要介绍展开图和焊接图的有关知识。图和焊接图的有关知识。 将机件各表面按实际大小和形状依次连续地展开在一个平面上，称为将机件各表面按实际大小和形状依次连续地展开在一个平面上，称为机件的表面展开，机件的表面展开，展开后所得到的图形称为该机件的表面展开图，简称展展开后所得到的图形称为该机件的表面展开图，简称展开图。开图。下图是方圆接头管的展开图。从图中可以看出，画展开图就是根据下图是方圆接头管的展开图。从图中可以看出，画展开图就是根据机件的投影图，用图解或计算的方法画出机件表面的实形机件的投影图，用图

3、解或计算的方法画出机件表面的实形( (在实际生产中在实际生产中还要考虑板厚、余量等因素还要考虑板厚、余量等因素) )。 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 图图c 展开图展开图 课题一课题一平行线展开法平行线展开法 若形体表面是由无数条彼此平行的直线所构成的，那么其相邻的两条线若形体表面是由无数条彼此平行的直线所构成的，那么其相邻的两条线及其上下端口曲线所围的微小面积，就可近似地看成是长方形。及其上下端口曲线所围的微小面积，就可近似地看成是长方形。当分成的面当分成的面积较多，各小平面面积按照原来的分割顺序和上下位置不遗漏、不重叠地铺积较多，各小平面面积按照原来的分割顺序和上下位置不遗漏、不

4、重叠地铺开时，则形体表面就被展开了。由于各线在摊平前是相互平行的，所以铺平开时，则形体表面就被展开了。由于各线在摊平前是相互平行的，所以铺平后仍相互平行。后仍相互平行。作图时可充分利用这一特性，只要找出这些直线之间的距离，作图时可充分利用这一特性，只要找出这些直线之间的距离，以及它们各自的实长，即可得到展开图。以及它们各自的实长，即可得到展开图。一、平行线展开法的原理一、平行线展开法的原理 1.1.斜切直立四棱柱管的展开斜切直立四棱柱管的展开二、平行线展开法的应用二、平行线展开法的应用 b (2) a (d ) 2 (3 ) c (3) b (c ) 1 (4 ) d (4) a (1) 图图

5、a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 分析：分析：图示为斜切四棱柱管的轴测图及斜切四棱柱管的已知视图。图示为斜切四棱柱管的轴测图及斜切四棱柱管的已知视图。从已从已知的主、俯视图可以看出，四条棱线为铅垂线，其正面投影反映棱线的实长；知的主、俯视图可以看出，四条棱线为铅垂线，其正面投影反映棱线的实长；底面底面 为水平面，其水平投影反映实形。为水平面，其水平投影反映实形。因棱线垂直于底面，则棱因棱线垂直于底面，则棱线必然垂直于底面的四条边，棱线之间的距离就是底面四边形的边长，且展线必然垂直于底面的四条边，棱线之间的距离就是底面四边形的边长，且展开后底面的四条边成一直线。开后底面的四条边成一直线。 b

6、(2) a (d ) 2 (3 ) c (3) b (c ) 1 (4 ) d (4) a (1)D A B C 1)1)选棱线选棱线AA为基准棱线，为基准棱线，确定确定AA在展开图中的位置，且取在展开图中的位置，且取AAa1a1。 2)2)过过点作棱线点作棱线AA的垂直线，的垂直线，并在该垂直线上截取线段并在该垂直线上截取线段1212、2323、 3434、4141，得，得、点。点。作图步骤作图步骤: 3)3)过过、点分别作直线平行于棱线点分别作直线平行于棱线AA，并分别截取线段，并分别截取线段B Bb2b2、CCc3c3、DDd4d4、AAa1a1，得，得B B、C C、D D、A A点。

7、点。 4)4)依次连接依次连接A A、B B、C C、D D、A A各点，各点，即得斜切直立四棱柱管的展开图。即得斜切直立四棱柱管的展开图。 作图步骤：作图步骤：正圆柱管的展开图如图正圆柱管的展开图如图c c所示，展开后的图形为一矩形，所示，展开后的图形为一矩形，矩形底边的边长为正圆柱管底圆的周长矩形底边的边长为正圆柱管底圆的周长DD，高为正圆柱管的高度，高为正圆柱管的高度H H，通过，通过计算，即可进行展开。计算，即可进行展开。 分析：分析：图图a a所示为正圆柱管的轴测图，图所示为正圆柱管的轴测图，图b b为正圆柱管的已知视图，从图为正圆柱管的已知视图，从图中可以看出，正圆柱管的相邻两条素

8、线互相平行。中可以看出，正圆柱管的相邻两条素线互相平行。DD 2.正圆柱管的展开正圆柱管的展开 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 图图c 展开图展开图 分析：分析：正圆柱管斜切后，使得圆柱面上各条素线的长度不相等。正圆柱管斜切后，使得圆柱面上各条素线的长度不相等。作展开图时应作展开图时应根据视图的投影关系求出若干素线的实长，然后光滑连接这些素线的端点，即可得展根据视图的投影关系求出若干素线的实长，然后光滑连接这些素线的端点，即可得展开图。开图。 3.斜切正圆柱管的展开斜切正圆柱管的展开 作图步骤：作图步骤： 1)1)在俯视图上将圆柱管的底圆周长分成在俯视图上将圆柱管的底圆周长分成1212

9、等分，得若干等分点；等分，得若干等分点；求出各等分点的正面求出各等分点的正面投影投影11、2 2 、3 3 、；过各等分点的正面投影作相应的素线，即得素线的实长，如；过各等分点的正面投影作相应的素线，即得素线的实长，如1 1 a a 、2 2 b b 、3 3 c c 。2 1 3 4 5 6 1 c (3) d (4) g (7) f (6) e (5) a (1) d (2)b c d e f g a 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图a b c d e f g a (1) d (2) c (3) d (4) g (7) f (6) e (5)1 2 3 4 5 6 1 2)2)将底圆

10、周长展开成直线，其长度为将底圆周长展开成直线，其长度为DD，并取同样的等分，并取同样的等分( (图中为图中为1212等分等分) )，得各，得各等分点；等分点；过这些等分点作该直线的垂直线，得圆柱面展开后各素线的位置线。过这些等分点作该直线的垂直线，得圆柱面展开后各素线的位置线。 3)3)把斜切正圆柱管正面投影上各素线的实长移至展开图上，得相应素线的端点把斜切正圆柱管正面投影上各素线的实长移至展开图上，得相应素线的端点A A、B B、CC点，点，再依次光滑连接各素线的端点，即得斜切正圆柱管的展开图，如图再依次光滑连接各素线的端点，即得斜切正圆柱管的展开图，如图c c所示。所示。DD 图图a 轴测

11、图轴测图 图图b 视图视图 图图c 展开图展开图 分析：分析：多节圆柱弯管采用多节斜圆柱管拼接而成。多节圆柱弯管采用多节斜圆柱管拼接而成。图图a a为四节等径圆柱弯管，为四节等径圆柱弯管，中间两节是双斜口圆柱管中间两节是双斜口圆柱管( (称为全节称为全节) )，每节所对应的角度为，每节所对应的角度为3030，中间节的长度，中间节的长度和形状都相同，且中间节与各自中部的横截面相对称；两端的节为半节，是中间和形状都相同，且中间节与各自中部的横截面相对称；两端的节为半节，是中间节的一半，为单斜口圆柱管，每节所对应的角度为节的一半，为单斜口圆柱管，每节所对应的角度为1515，该圆柱弯管共有，该圆柱弯管

12、共有6 6个半个半节节( (即即3 3个全节个全节) )。 4.多节等径圆柱弯管的展开多节等径圆柱弯管的展开 图图a 轴测图轴测图半节半节作图步骤作图步骤: 已知四节等径直角圆柱弯管直径为已知四节等径直角圆柱弯管直径为d d，弯头中心半径为，弯头中心半径为R R，其作图步骤如，其作图步骤如下：下： 1)1)作相互垂直的两条直线，其交点为作相互垂直的两条直线，其交点为O O。以以O O为圆心，为圆心，R R为半径画弯管中心为半径画弯管中心圆，再分别以圆，再分别以R+dR+d2 2、R-dR-d2 2为半径画圆弧，并画出弯管各节分界线，作出为半径画圆弧，并画出弯管各节分界线，作出与半径与半径R+d

13、R+d2 2、R-dR-d2 2相外切的各节切线，即得弯管的主视图，如图相外切的各节切线，即得弯管的主视图，如图b b所示。所示。ORd 图图a 轴测图轴测图 图图b 主视图主视图a b c d e f g 1234765作图步骤作图步骤: 2)2)按斜切圆柱管展开图的画法画出弯管表面的展开图，如图按斜切圆柱管展开图的画法画出弯管表面的展开图，如图c c所示。所示。 图图c 展开图展开图 分析：分析：图图a a所示为等径直角三通管的轴测图，它是由两个直径相同的圆柱所示为等径直角三通管的轴测图，它是由两个直径相同的圆柱管管A A和和B B垂直相交而成的。垂直相交而成的。两圆柱管表面的相贯线是两圆

14、柱管的共有线，作展开两圆柱管表面的相贯线是两圆柱管的共有线，作展开图时必须先求出相贯线的投影，再分别画出两个圆柱管的展开图。图时必须先求出相贯线的投影，再分别画出两个圆柱管的展开图。为了简化作为了简化作图，可以不画水平投影，而把铅垂圆柱管图，可以不画水平投影，而把铅垂圆柱管A A的水平投影用半个圆周画在正面投的水平投影用半个圆周画在正面投影上，如图影上，如图b b所示，从而作出相贯线的正面投影和两圆柱管的展开图。所示，从而作出相贯线的正面投影和两圆柱管的展开图。 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 5.等径直角三通管的展开等径直角三通管的展开 1)1)作出相贯线的投影，作出相贯线的投影，再

15、将圆柱管再将圆柱管A A的顶端分为的顶端分为1212等分，过各等分点作相等分，过各等分点作相应素线的投影，如图应素线的投影，如图b b所示。所示。作图步骤作图步骤: (1)直立圆柱管直立圆柱管A展开图的作法展开图的作法 2)2)作一水平线作一水平线EFEF，使其等于圆柱管，使其等于圆柱管A A的周长的周长dd1 1，并将其分成，并将其分成1212等分，等分，过过各等分点作垂线，使其长度等于相应素线的长度，得出各相应素线的端点各等分点作垂线，使其长度等于相应素线的长度，得出各相应素线的端点1 1、1 1 、1 1 、1 1 ，再光滑连接各端点，即得圆柱管，再光滑连接各端点，即得圆柱管A A的展开

16、图，如图的展开图，如图c c所示。所示。 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 图图b 视图视图 图图c 圆柱管圆柱管A的展开图的展开图作图步骤作图步骤: (2)水平圆柱管水平圆柱管B展开图的作法展开图的作法 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 1)1)作水平圆柱管作水平圆柱管B B的展开图。的展开图。展开图为矩形，矩形的宽度为圆柱管展开图为矩形，矩形的宽度为圆柱管B B的周的周长长dd2 2，长度为与主视图对应的矩形的长度，图中用断开画法画出，如图，长度为与主视图对应的矩形的长度，图中用断开画法画出，如图d d所所示。示。2 2 2 2 2)

17、2)画出对称中心线，在垂直方向的中心线上取画出对称中心线，在垂直方向的中心线上取0 0 0 01212、0 0 0 0= =2323、 0 00 0=34 (=34 (以弦长代替弧长以弦长代替弧长) )，即得等分点，即得等分点0 0、0 0、0 0、0 0，再过各等分点引水平线，与过主视图各素线上的对应点再过各等分点引水平线，与过主视图各素线上的对应点1 1 、2 2 、3 3 、4 4 向下引向下引的铅垂线相交，得相应素线上的交点的铅垂线相交，得相应素线上的交点2、2、2、2 。 3)3)用作对称点的方法得到相贯线上其他对称点，并依次将各点光滑连接，用作对称点的方法得到相贯线上其他对称点，并

18、依次将各点光滑连接，即得到水平圆柱管即得到水平圆柱管B B的展开图。的展开图。 图图d 圆柱管圆柱管B的展开图的展开图 课题二课题二放射线展开法放射线展开法一、放射线展开法的原理一、放射线展开法的原理 把锥体表面上任意相邻的两条直线把锥体表面上任意相邻的两条直线 ( (素线或棱线素线或棱线) )及其所夹的底边线看及其所夹的底边线看成是一个近似的平面三角形。成是一个近似的平面三角形。当各小三角形的底边足够短的时候，各小三角当各小三角形的底边足够短的时候，各小三角形面积的和就等于原来形体的表面积。形面积的和就等于原来形体的表面积。若把所有小三角形依次铺开成一平面，若把所有小三角形依次铺开成一平面，

19、原来的形体表面也就展开了。原来的形体表面也就展开了。 如果形体表面是由一组交汇于一点的直线构成的，则该形体称为锥体，如果形体表面是由一组交汇于一点的直线构成的，则该形体称为锥体，该形体表面称为锥面，如棱锥、圆锥。该形体表面称为锥面，如棱锥、圆锥。所有锥体表面的直线在展开前都交于所有锥体表面的直线在展开前都交于一点，称为锥顶。展开后的直线仍交于一点，呈放射状，所以这种展开方法一点，称为锥顶。展开后的直线仍交于一点，呈放射状，所以这种展开方法称放射线展开法。称放射线展开法。作图步骤：作图步骤：如图如图b b所示。所示。二、用旋转法求棱线和素线的实长二、用旋转法求棱线和素线的实长 分析：分析：根据正

20、投影规律，当一直线段平行于投影面时，则线段在该投影根据正投影规律，当一直线段平行于投影面时，则线段在该投影面上的投影反映实长。面上的投影反映实长。因此，求一般位置线段的实长时，可将该线段绕垂直因此，求一般位置线段的实长时，可将该线段绕垂直于某一投影面的直线旋转到与另一投影面平行的位置，其投影即反映实长。于某一投影面的直线旋转到与另一投影面平行的位置，其投影即反映实长。 如图如图a a所示，线段所示，线段ABAB为一般位置直线，过端点为一般位置直线，过端点A A取垂直于取垂直于H H面的直线面的直线OOOO为为轴，将线段轴，将线段ABAB绕轴绕轴OOOO旋转到正平线的位置旋转到正平线的位置ABA

21、B1 1，其新的正面投影，其新的正面投影a a b b 1 1即为实即为实长。长。 1)1)以以a a为圆心，把为圆心，把abab旋转到与投影轴平行的位置旋转到与投影轴平行的位置abab1 1。 2)2)过过bb作投影轴的平行线。与过作投影轴的平行线。与过b b1 1作的投影轴的垂直线相交得作的投影轴的垂直线相交得bb1 1。 3)3)连连abab1 1即得线段即得线段ABAB的实长。的实长。圆圆 三、放射线展开法的应用三、放射线展开法的应用 放射线展开法主要用于锥体、锥台的表面展开。放射线展开法主要用于锥体、锥台的表面展开。 1.1.四棱台管表面的展开四棱台管表面的展开 分析：分析：图图a

22、a所示为四棱台管的轴测图，图所示为四棱台管的轴测图，图b b所示为四棱台的主、俯视图。所示为四棱台的主、俯视图。从图中可以看出，四棱台的四个棱面都是等腰梯形，但在主视图和俯视图上从图中可以看出，四棱台的四个棱面都是等腰梯形，但在主视图和俯视图上都不反映其实形，所以必须先求出四个等腰梯形的实形。都不反映其实形，所以必须先求出四个等腰梯形的实形。 要求出等腰梯形的实形，必须先求出四条棱线的实长，并以它为半径要求出等腰梯形的实形，必须先求出四条棱线的实长，并以它为半径画出扇形，再在扇形内作出四个等腰梯形，就得到四棱台的展开图。画出扇形，再在扇形内作出四个等腰梯形，就得到四棱台的展开图。 图图a 轴测

23、图轴测图 图图b 视图视图 1)1)将主视图中的各棱线延长得交点将主视图中的各棱线延长得交点s s ，如图如图b b所示。所示。作图步骤作图步骤: 1 1 1 11 a a 1 S B C D A 2)2)用旋转法求棱线用旋转法求棱线SS、SASA的实长的实长s s 1 1 1 1、s s a a 1 1。 3)3)以以S S为圆心，为圆心，s s 1 1 1 1 半径画圆弧，半径画圆弧，在圆弧上依次截取在圆弧上依次截取=12=12、=23=23、 =34 =34、=41=41，并通过，并通过、各点向各点向S S连线，在连线，在SS上截上截SA= sSA= s a a 1 1,再过再过A A点

24、依次作底点依次作底边的平行线，得边的平行线，得ABAB、BCBC、CDCD、DADA，连接各点，即完成四棱台管的表面展开图。连接各点，即完成四棱台管的表面展开图。 S a1S= s 1 1 1 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 图图c 展开图展开图 ASA= s a 1 1 2.2.圆锥管表面的展开圆锥管表面的展开 分析：分析：正圆锥面的展开图是扇形。正圆锥面的展开图是扇形。 1)1)将水平投影圆周将水平投影圆周1212等分，等分，在正面投影图上作出相应的投影在正面投影图上作出相应的投影s s 1 1 、s s 2 2 、s3 s3 。 作图步骤：作图步骤： 2)2)以以ss为圆心，素线

25、的实长为圆心，素线的实长s1s1为半径画弧，在圆弧上量取为半径画弧，在圆弧上量取1212段等距离，段等距离，此此时以底圆上分段弦长近似代替分段弧长，即时以底圆上分段弦长近似代替分段弧长，即1212、2323，将首尾两点与圆，将首尾两点与圆心相连，得正圆锥面的展开图。心相连，得正圆锥面的展开图。3214567 3 5 6 1 7 2 4 S 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 图图c 展开图展开图 3.3.斜切口圆锥管表面展开斜切口圆锥管表面展开 图图a 轴测图轴测图 图图b 视图视图 图图c 展开图展开图 分析：分析：图图a a为斜切口正圆锥管的轴测为斜切口正圆锥管的轴测图，它的近似展开图

26、如图图，它的近似展开图如图c c所示。所示。 斜切口正圆锥管的展开图为正圆锥斜切口正圆锥管的展开图为正圆锥展开图的一部分。展开图的一部分。因此，应首先作出正因此，应首先作出正圆锥的展开图，然后求出斜切口平面与圆锥的展开图，然后求出斜切口平面与圆锥面各素线的交点，再确定这些交点圆锥面各素线的交点，再确定这些交点在相应素线实长上的真实位置，得到被在相应素线实长上的真实位置，得到被截素线的实长，最后依次连接这些素线截素线的实长，最后依次连接这些素线的端点，即可得所要求作的展开图。的端点，即可得所要求作的展开图。 S 作图步骤：作图步骤： 1)1)将正面投影的素线延长，求出锥顶的正面投影将正面投影的素

27、线延长，求出锥顶的正面投影s s ，并作出正圆锥面的并作出正圆锥面的展开图。展开图。 2)2)用旋转法求出被切去各素线的实长。用旋转法求出被切去各素线的实长。 3 4 1 5 2 21345 c e d b a 3)3)以以s s为圆心，被切去各素线的实长为半径画圆弧与相应的正圆锥素线相为圆心，被切去各素线的实长为半径画圆弧与相应的正圆锥素线相交可得到若干交点，交可得到若干交点，例如例如A A、B B、C C、DD。 4)4)依次光滑连接上述各交点依次光滑连接上述各交点A A、B B、C C、DD，即可得到斜切正圆锥管的展即可得到斜切正圆锥管的展开图。开图。S= s 1 = 12展开图展开图

28、课题三课题三三角形展开法三角形展开法 在生产中，有些机件的表面是由平面、柱面和锥面的全体或部分曲面组在生产中，有些机件的表面是由平面、柱面和锥面的全体或部分曲面组合而成的任意形状的表面。合而成的任意形状的表面。下图为变形管接头的轴测图，变形管接头可以看下图为变形管接头的轴测图，变形管接头可以看成是由四个斜圆锥的部分表面和四个三角形平面组合而成的。成是由四个斜圆锥的部分表面和四个三角形平面组合而成的。 若形体的表面是由若干个平面与曲面、曲面与曲面或平面与平面构成的，若形体的表面是由若干个平面与曲面、曲面与曲面或平面与平面构成的，就可以把表面划分成若干个小三角形，再把这些小三角形按原来的相互位置就

29、可以把表面划分成若干个小三角形，再把这些小三角形按原来的相互位置和顺序不遗漏的铺开，则形体的表面就被展开了。和顺序不遗漏的铺开，则形体的表面就被展开了。 一、三角形展开法的原理一、三角形展开法的原理 变形管接头变形管接头部分斜圆锥部分斜圆锥三角形三角形 二、三角形展开法的应用二、三角形展开法的应用 作图示吸尘罩下部变形管接头的展开图。作图示吸尘罩下部变形管接头的展开图。 变形管接头的结构如下图所示。从图中可以看出该接头的表面由四个全变形管接头的结构如下图所示。从图中可以看出该接头的表面由四个全等的等腰三角形和四个相同的局部斜圆锥面组成。等的等腰三角形和四个相同的局部斜圆锥面组成。变形管接头的顶面和底面变形管接头的顶面和底面的水平投影反映实形和实长；三角形的两腰的水平投影反映实形和实长；三角形的