结构力学讲稿十一(课)

1、第十一章 影响线及其应用§11-1概述影响线的定义：当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示某一量值（指某一具体位置的内力或支反力）变化规律的图形，称为该量值的影响线。例如：简支梁支反力的影响线如图影响线的作用：可以知道荷载在任意一个位置引起的该量值的大小，即可以解决移动荷载作用下的内力、支反力的计算问题，尤其是还可用于求解移动荷载引起的该量值的最大值。§11-2用静力法作单跨静定梁的影响线绘制影响线的两种方法：静力法：利用结构的静力平衡分析，求影响线的方法。机动法：利用去掉相应结束的结构的虚位移分析，求影响线的方法。一、 简支梁的影响线(1)支反力的影响线简支梁结构

2、如图：由得：同理，由得：影响线如图：含义：单位力作用在K点时，引起的支反力为注意：正的影响线画在基准线的上方。(2)弯矩影响线例如：画出简支梁上C处的弯矩影响线当时，研究C截面以右部分得：注意：弯矩、剪力均设成正的。同理，当时，研究C截面以左部分得：即：影响线如图：注意对比：问题：处弯矩值的含义是什么? 处影响线值的含义是什么?(3)剪力影响线例如：画出简支梁上C处剪力的影响线当时，研究C截面以右部分得：当时，研究C截面以左部分得：即：影响线如图：注意：1)两条影响线相互平行，斜率均为；2)在截面C处影响线有突变，突变值为1。影响线和内力图的比较：影 响 线内 力 图荷载大小单位荷载F=1实际

3、值荷载性质移动固定横座标荷载的位置截面的位置纵座标表示某一截面内力变化规律表示全部截面内力变化规律二、 外伸梁的影响线注意：坐标原点仍然在支座A处，目的：使跨内的内力和支反力的影响线数学表达式在形式上一样，只是取值范围不一样，为：，因此，可利用已有的影响线外伸得到外伸梁的支反力影响线和跨内的内力影响线(1)支反力影响线由得：同理，由得：影响线如图：即将简支梁的影响线向两端延伸(2)跨内截面内力影响线(3)伸臂部分截面内力影响线 影响线如图：(4)支座截面内力影响线以支座A为例，对于弯矩因为是连续变化，不必分支座左侧截面或支座右侧截面，但对于剪力，必须分支座左侧截面和支座右侧截面。支座左侧截面相

4、当于：支座右侧截面相当于：跨中的C截面趋近于支座处，即，相当于相当于§11-3间接荷载作用下的影响线间接荷载：通过一些结点将外载传到所研究的结构上，这样的外载称为间接荷载。例：绘间接荷载作用下，的影响线解：分三步1) 先将直接荷载作用下影响线绘出；2) 再将荷载作用在结点时的影响线值绘出；3) 最后将各顶点用直线相联，得到间接荷载作用下影响线。例：绘间接荷载作用下，的影响线§11-4用机动法作单跨静定梁的影响线特点：把作影响线的静力问题化为作虚位移图的几何问题。优点：不经过计算就可以确定影响线的形状，因此，直观、速度快。机动法的依据：刚体虚位移原理若刚体所受力系是一个平衡力

5、系，则在任何虚位移中，力系所做的虚功总和为零。虚位移：微小的、约束许可的、假想的位移。微小的：OA绕O转动，转动后A>A，位移；约束许可的：不违背各种支座的约束条件；假想的：不是真实的，和外载无关，因此不是唯一的。例如：简支梁如图，画支反力的影响线1)先将相应约束去掉，将支反力显示出来，目的：使刚体结构能够有位移（成为一个几何可变的机构）；2)给一个微小的虚位移如图：则刚体的位置如图：作用处有虚位移，作用处有虚位移；根据虚功原理，得：（本身为负，和方向一致时为正）以上的结果和的取值无关（或和的取值无关），为了简单取，如图：则注意：从图上看，的位置确定的大小；而从上式看，的大小又决定了的大

6、小。即：的位置决定了的大小，因此虚位移图就是的影响线。而且，当向上(即为负时)，为正；当向下(即为正时)，为负。机动法画影响线的步骤：1) 先去掉相应约束（力和线位移对应，弯矩和角位移对应），只将所要的量值显示出来；2) 沿该量值的正方向给一个单位虚位移，得到的单位荷载作用点的虚位移图就是所要的影响线。例如：画简支梁C截面处弯矩和剪力的影响线1、C截面处弯矩的影响线1)去掉相应约束（将梁在C处用铰连接），将弯矩(注意：设为正的)显示出来，如图：2)令刚片AC和BC沿的转向有虚转角和，如图：则虚功方程为，同样可以证明：表达式的取值和的取值无关，为了简单，取，则虚位移如图：2、C截面处剪力的影响线

7、1)去掉相应约束（将梁在C处用两根水平链杆相联），将剪力(注意：设为正的，即使杆件顺时针转动)显示出来，如图：2)令刚片AC和BC沿有虚位移CC1和CC2，如图：则虚功方程为：同样可以证明：表达式的取值和的取值无关，为了简单，取，则有，影响线如图：3)最后再证明：两段剪力影响线相互平行，见两根水平链杆变形图：两个链杆在变形前后都是平行、等长，因此两段红色杆平行，所以同两根红色杆垂直的两段杆件有虚位移后仍然平行。或者,也可以按如下方法绘影响线：在C处将杆件切开，将所有内力显示出来，然后沿力或力矩的方向给虚位移，但此位移只能使所研究的量值做功，其它的量值不做功，或者做功之和为零。如：例如：画悬臂梁

8、C截面处弯矩和剪力的影响线特例：铰两侧的剪力影响线，两段可以不平行例如：画间接荷载作用下，简支梁C截面处弯矩和剪力的影响线C截面处弯矩的影响线：同理，C截面处剪力的影响线：§11-5多跨静定梁的影响线1、静力法将基本部分和附属部分从铰处先分开，求出各铰处的内力和支反力，最后再处理单跨静定梁问题问题比较复杂。2、机动法例：多跨静定梁如图，绘出的影响线注意：支座处不能有虚位移，杆件不能变形§11-6桁架的影响线(略)§11-7利用影响线求量值本节要解决：在已绘出某一量值的影响线时，如何利用影响线，求出多个荷载同时作用或者是分布荷载作用时，该量值的大小。一、多个集中力作

9、用设（固定）对应的影响线上的值分别为，如图：根据影响线的定义，有单独的作用时，量值的值为单独的作用时，量值的值为同理，有：同时作用时，有多个集中力同时作用时，量值的计算方法特例：若干个集中力作用在影响线的同一条直线范围内，如图：其中，是集中力的合力， 是合力对应的影响线值，点是影响线的延长线和基准线的交点，是两条线的夹角，是以点为零点的横坐标。则有，根据合力矩定理，有：所以有，多个集中力作用在影响线的同一条直线范围内时，量值的计算公式。二、分布荷载作用设在范围内有分布荷载如图：则：若，则其中，为范围内影响线所围面积的代数和。例：简支梁受力如图，求C截面的弯矩和剪力例：简支梁受力如图，求C截面的

10、弯矩例 外伸梁受均布荷载作用，求跨中截面C的弯矩。§11-8铁路和公路的标准荷载制本节介绍铁路和公路设计时用到的荷载形式：一、 中华人民共和国铁路标准活载(“中活载”)注意：图中荷载为一线上的荷载。二、 公路桥涵设计使用的汽车荷载公路桥涵设计使用的汽车荷载分为：车道荷载和车辆荷载每种荷载又分为：公路I 级和公路II 级1、车道荷载由均布荷载(可以任意断续分布)和集中荷载组成，如图：对于公路I级，为桥涵计算跨径。对于公路II级，和为对于公路I级的倍2、车辆荷载(I、II级公路一样)§11-9最不利荷载位置一、定义：使某一量值出现最大(或最小)值时，此时荷载所在的位置称为最不利

11、荷载位置。二、简单荷载最不利荷载位置 对于单个集中荷载、可以任意断续分布的均布荷载，最不利荷载位置如图：三、行列荷载(一组间距不变的移动荷载)最不利荷载位置求最不利荷载位置的问题是一个求最大值的问题，所用的方法：依据所研究量值的差商的符号（有可能所研究量值的导数不连续，如形的函数曲线） 设的影响线为一折线，影响线以及荷载分布如图：其中，由水平线逆时针转到影响线为正，否则为负，例如：图中为正，为负；，为每一直线段内各荷载的合力；，为合力对应的影响线的座标值。根据由影响线计算量值的公式，有：当整个合力荷载组有一移动增量时，如图：则有，增量为注意：在上面公式的推导中，有两个假设：1)和在同一直线段，

12、即有时，（意为不变）；2)有了移动增量后，合力的大小未变，即：所有的力还在原来的直线范围内。由上面的增量表达式可得若量值取极大值，应有，则有当时（即荷载向右移时），当时（即荷载向左移时），同理，若量值取极小值，应有，则有当时（即荷载向右移时），当时（即荷载向左移时），总之，当变号时，也变号，量值才能是极值（但不一定是最大/小值）。问题：什么情况下，当变号时，也变号？根据上面公式推导时的假设：1)和在同一直线段，即有时，（意为不变）；2)有了移动增量后，合力的大小未变，即：所有的力还在原来的直线范围内。即：有时，并不变。只有：当左移和右移时，合力计算方式不一样，才可能变号，即左移时的，和右移时的

13、就不一样。因此问题变为：什么情况下，当左移和右移时计算方式不一样？显然，只有当某一个集中荷载恰好位于影响线的某一个顶点位置时，左移和右移时合力计算方式不一样(要确保：在移动过程中，所有的集中荷载还在原来的直线段上)。如图：即：有的（注意：并非全部）集中荷载位于顶点时，可使变号，这种集中荷载称为临界荷载，对应的位置称为临界位置。最不利荷载位置是临界位置之一，在此位置上，量值取最大/小值。严格说：若影响线有m个顶点，结构受n个集中荷载作用，则共有m×n种情况下，可能变号。但为了减少计算，先大致估计一下最不利荷载的位置，也就是将行列荷载中数值较大，且荷载比较密集的部分置于影响线最大竖标附近

14、，同时，位于同符号影响线范围内的荷载尽可能多，这样以产生较大的S量值。总结：1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；2）利用判别式，看其是否变号；3）如果变号，说明是一个临界位置，求出这个临界位置对应的S值；否则重复1)；4）如此反复，找出所有的临界位置对应的S值；5）比较各S值，得出最大值。例11-2 间接作用下的简支梁，受中活载作用，求截面K的最大弯矩。解：影响线如图：图中，确定临界荷载的位置1) 列车由右向左行驶先将轮4置于D（仅仅是一种猜想，不会影响最后的计算结果），则，左移（）：右移（）：未变号，说明轮4在D点不是临界位置，但分析：当时，由，即或，当时，由，即，因此S曲线如图：因此，荷载

15、组应继续向左行驶(注意：两种移动，一种指荷载组大范围的移动，目的：将某个荷载定位在某个位置，另一种指荷载组定位后，有微小的左、右移动，目的：判断是否是临界位置)，将轮2置于C点，再判断：左移（）：右移（）：变号，说明轮2在C点是一个临界位置。根据几何关系：可得，各合力作用点对应的影响线值为：轮1：轮2、轮3和轮4的合力：轮5：分布荷载合力：所以，可以验证，只有此一个临界位置（有时临界位置不止一个）。2) 列车由左向右行驶采用同样的方法，可以判断出轮4位于D点为唯一的临界位置左移：右移：变号，所以是一临界位置。相应的可算出：3) 确定最不利荷载位置比较两种情况下的值，可知：最不利荷载位置出现在列

16、车从右向左行驶、轮2位于C点时，最大弯矩值为：注意：两种移动的区别1)移动的目的是使某个集中力位于影响线的顶点（大范围的移动），从一个集中力位于影响线的某一顶点，到另一个集中力位于影响线的某一顶点（集中力和顶点可以不同）。2)移动的目的是判断是否为载荷的临界位置（小范围的移动），一个集中力已经位于影响线的某一顶点。四、两种特殊情况下的最不利荷载位置确定1、非直角三角形影响线(1)集中荷载设临界荷载处于三角形影响线的项点，表示顶点左侧荷载的合力，表示顶点右侧荷载的合力，如图：讨论极大值问题（极小值问题类似），即，由，可知，当左移时，应有即， （）当右移时，应有即， （）将代入上两式，得： 或（左

17、移时） 或（右移时）上两式就是三角形影响线临界位置的判别式。解释：，分别为顶点两侧的平均荷载，如果将归入哪一侧，则那一侧的平均荷载就大，则的位置就是临界位置。(2)均布荷载设均布荷载跨过三角形影响线的顶点，顶点左侧的合力为，顶点右侧的合力为，如图：因当均布荷载移动时，量值S是连续变化的（即均布荷载范围内，影响线所围面积是连续变化的），所以可由 来确定临界位置，即， =>顶点两侧平均荷载相等时，量值取极值。2、直角三角形影响线，或竖标有突变的影响线如图： 无法用公式判断临界位置、临界荷载，只能安排几种荷载位置，直接算出量值S的结果，再比较，选大者。原因：是常量，不变号例11-3 简支梁受移

18、动荷载，作用如图，求C截面的最大弯矩。解：肯定不是临界荷载，有可能是。先将置于C点，根据三角形影响线的临界位置判别式，有，左移： 右移：因此，是临界位置。再将置于C点，但注意：此时已经不在梁上。根据三角形影响线的临界位置判别式，有，左移： 右移：因此，也是临界位置。比较可知，位于C点是最不利荷载位置，C截面最大弯矩为§11-10换算荷载为了简化计算，预先编制一些表换算荷载表，利用换算荷载表可以求某一量值的最大/小值。注意：1、换算荷载表和荷载形式、影响线的形状有关，即换算荷载表是针对具体形式的影响线、具体荷载编制的；2、只能用换算荷载表确定某一量值的最大/小值，不能确定最不利荷载的位

19、置。定义：换算荷载是一种均布荷载K，它使下式成立：或， 其中，是量值S影响线的正面积，是量值S影响线的负面积。表11-2 中活载的换算荷载(每线)加载长度l/m影响线最大纵坐标位置端部1/8处1/4处3/8处1/2处1500.0500.0500.0500.0500.02312.5285.7250.0250.0250.010159.8146.2143.6140.0141.312150.4137.5136.0133.9131.214143.3130.8129.4127.6125.0注：表11-2是中活载的换算荷载，要求：同符号的影响线是三角形。使用表时注意：1、加载长度（荷载长度）指同符号影响线的

20、长度，如图，有两个加载长度；2、是顶点至较近零点的水平距离，所以，表中K的下标表示的值；3、对于表中没有的数值(或)，用线性插值法得到。例11-4 用换算荷载表计算中活载作用下，简支梁C截面的最大和最小剪力，以及最大弯矩。解：C截面的剪力和弯矩影响线如图1) 计算，查表：所以，含义：中活载作用下，简支梁C截面的最小剪力值相当于简支梁在作用下，C处的剪力值。2) 计算，查表：，线性插值：得：所以，含义：简支梁在作用下，C处的剪力值为1117 kN3) 计算，都没有，插值求解。可以采两种方式一种是：查表得：、时，、时，插值得：、时，再查表得：、时，、时，插值得：、时，最后再利用：时，及 时，插值得

21、：另一种是：弯矩最大值为：含义：简支梁在均布荷载作用下，C处的弯矩值为19190 kN·m。§11-11简支梁的绝对最大弯矩绝对最大弯矩：在荷载移动过程中，每一截面都会有一个最大弯矩，各个截面最大弯矩中的最大者称为绝对最大弯矩。可以断定：绝对最大弯矩发生在某一集中力所作用的截面处：首先，看集中荷载作用处的截面应满足什么条件，截面上的弯矩能取极值。如图，设是一个集中力，是梁上力系的合力，两者间的距离为则A支座的支力为：作用点的弯矩为：（上拉下压为正，或者逆时针为正）其中，是以左各集中荷载对截面的弯矩(因各个集中荷载间的距离保持不变，所以和无关，只要选定，为常量)。根据极值条件

22、：得：即：当与合力对称于梁的中点时，作用处截面弯矩达到最大，如图：其最大值为：然后，按上述条件，将所有这样的截面找出来，选择其中的最大者，就是绝对最大弯矩，同时，也可确定绝对最大弯矩发生的位置。例11-5 简支梁受荷载作用如图，求绝对最大弯矩。解：1)先求合力的相对位置合力根据合力矩定理，对100kN力作用点取矩，得：2)求弯矩取极值的截面共有四个：(1)50kN的力和合力对称于梁中点时，50kN力作用处的截面，如图：相应的极值弯矩：(2)100kN的力和合力对称于梁中点时，100kN力作用处的截面，如图：(3)30kN的力和合力对称于梁中点时，30kN力作用处的截面，如图：（注意：所研究的力

23、在合力的右侧时，换为）或者，是以右各集中荷载对所研究力截面的弯矩（上拉下压为正，或者顺时针为正）(4)70kN的力和合力对称于梁中点时，70kN力作用处的截面，如图：或者，从中选最大者作为绝对最大弯矩，所以，3)跨中截面的最大弯矩最不利荷载位置以及相应的影响线值如图：和绝对最大弯矩的相对误差。所以，一般用跨中的最大弯矩代替绝对最大弯矩。或者，先判断载荷的位置是否是临界位置，然后再计算绝对最大弯矩，如(1)50kN的力和合力对称于梁中点时左移：右移：没变号，不是临界位置(2)100kN的力和合力对称于梁中点时左移：右移：变号，是临界位置，相应的弯矩为，(3)30kN的力和合力对称于梁中点时左移：

24、右移：没变号，不是临界位置(4)70kN的力和合力对称于梁中点时左移：右移：没变号，不是临界位置§11-12简支梁的包络图包络图：联结各截面最大、最小内力的图形。例如，简支梁受集中力作用，弯矩的包络图如图实际中：选择有限个截面，将这些截面的最大、最小内力求出，再用光滑的曲线联结各点得到包络图。例11-6 简支梁有两片梁，所受恒载为，活载为中活载，冲击系数，绘制一片梁的弯矩和剪力包络图。解：将梁分成8等分，计算各分点截面的最大和最小弯矩、剪力。由于对称性，弯矩包络图是对称的，剪力的包络图是反对称的，只分析半跨。各分点的弯矩和剪力影响线如图弯矩计算均布荷载引起的弯矩值(作为各截面的最小弯

25、矩值)分别为0、8点， 01、7点，2、6点，3、5点，4点，活载引起的弯矩值分别为0、8点，01、7点，查时的换算荷载为，活载引起的弯矩值为，1、7点的最小弯矩为,最大弯矩值为，其他各点同样处理，计算过程见表11-4。最大弯矩:恒载引起的弯矩加活载引起的最大弯矩；最小弯矩:恒载引起的弯矩(活载引起的最小弯矩为零)。剪力计算均布荷载引起的剪力值分别为0、8点，1点、7点，2、6点，3、5点，4点，0查换算荷载表，计算活载引起的正剪力和负的剪力，0点，查时的换算荷载为，活载引起的最大剪力值为，即，8点活载引起的最小剪力值0点的最大剪力为，0点的最小剪力为，8点的最大剪力为，8点的最小剪力为， 1

26、点，查时的换算荷载为，活载引起的正剪力值为，7点的负剪力值为，1点，查时的换算荷载为，活载引起的负剪力值为，7点的正剪力值为，1点的最大剪力为，1点的最小剪力为，7点的最大剪力为，7点的最小剪力为，最大剪力：恒载引起的剪力和活载引起的正剪力相加；最小剪力：恒载引起的剪力和活载引起的负剪力相加。计算过程见表11-5。计算出各截面弯矩和剪力的最大和最小值后，光滑连线，剪力的包络图近似为直线。§11-13超静定结构影响线作法概述特点：超静定结构的影响线不再是折线图形，用机动法绘影响线时，杆件是弹性体，而不是刚体。绘影响线的方法：静力法和机动法。1、静力法：通过求解超静定问题，找出单位移动荷

27、载的位置和所研究量值间的函数关系，通过函数关系绘影响线。2、机动法：根据所研究的量值，去掉相应的约束，给单位虚位移，再根据约束情况，大致画出影响线的形状。例如：画支座K处支反力的影响线。注意：影响线要光滑。例如：画支座K处弯矩和支座K右侧处剪力的影响线。例如：画跨中K处弯矩和剪力的影响线。§11-14连续梁的均布活载最不利位置及包络图连续梁的均布活载：可以在任意跨内分布的均布活载，但跨内若有均布活载，必须布满整跨。(导致跨中截面的剪力包络图是近似的)一、 三弯矩方程连续梁如图：缺点：系数均不为零()只和，有重叠部分，因此，每个方程中最多只有三个系数不为零(不为零)，典型方程：二、连续梁各截面内力影响线如：图11-44，特点：除跨中