三角恒等变换1

1、三角恒等变换就融追枝求源醺翱，猴翱（教师独具）第四课三角恒等变换巩固层知识整合D提升层题型探究(1)已知 sin = ,则 cos = ()【例1】A. B.一C.D.(2)4cos 500Tan 400 等虫 )A.B.C.D. 2-1(3)已知 tan( a B)由nB= ，且 a, p (0 5兀)2 4 B 的值.(1)C (2)C (1)cos=cos= 1-2sin2=1-2X2(2)4cos 50° Tan 40°=-(3)解tan a = tan( a - p ) + p=> 0.而 a W (0,兀),. tan 50<3<%, , &l

2、t; p < 7t , .兀 v a p OiJiTu tan( a B ) =0 一兀 Va B< 一 ? ，- 2 a - 3 = a + ( a - 3 ) 0)(.兀)tan(2 a B ) = tan a + ( a p )三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特 殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊 角的三角函数问题.2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的 三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：a = a + B 2,a + p + a 等.把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注 意角范围的讨

3、论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的 某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角.选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的 确定，例如，若所求角的范围是I ,选择求所求角的正弦或 余弦值均可；若所求角的范围是 0,兀，选择求所求角的余弦 值；若所求角的范围为L二匚；，选择求所求角的正弦值.1.已知一< x<0, sin x + cos x =.(1)求 sin 2x 和 cos x sin x 的值；(2)求的值.解(1)由 sin x + cos x =,平方得 1+sin 2x = ,所以 sin 2x=?因为一< x&l

4、t; 0 5所以 cos x >sin x ?所以 cos x sin x =.Q)=sin 2x ,=x =,例2三角函数式化简化简：(o< e <兀)； .思路点拨：(1)使用倍角公式化简.(2)切化弦.解原式=因为o< e <兀，所以o<<,所以cos >0,所以原式=cos 0 .(2)原式=. 三角函数式的化简要遵循“二看”原则1 一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名 从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.3三看“结构

5、特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方 向，如“遇到分式要通分”等2 .化简：.解原式=求证：tan2x + =.=2.【例3】 证明左边=+=右边.原式得证.1不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式 两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则 采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证 明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法 .3,已知 sin(2 a + B 5sin B ,求证：2tan(认 + B3)an h.证明由条件得 sin( a + B ) + a = 5sin

6、( a + 3 ) a ,两边分别展开得sin( a + B )cos+ cos( a + B )sin =5sin( a + B )cos 5cos( a + B 网n整理得：4sin( a + B )cos= 6cos( a + B )sin两边同除以2C0S( a + B )C0S得:2tan( a + B 3tan 民.三角恒等变换的综合一知识拓展提升思维能力应用【例 4】已知向量 a = (cos x, sin x), b = (3, ), xW0,兀.若a/ b,叔的值；(2)记f(x) = a b,求(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示

7、求值；(2)利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值.解(1)因为 a II b,所以 3sin x = cos x, 若(cos x = 0, 则 sin x=0, 与 sin2x + cos2x = 1 矛盾，故 cos x w 0,所以tan x =一,因为xW0,兀,所以x=.(2)f(x) = 3cos x sin x =2sin.因为xW 0 ,兀,所计W ,所以一w sin w 1,所以一2Wf(x) W3,当x=,即x = 0时，f(x)取得最大值3;当x=,即x =时，f(x)取得最小值一2.利用三角恒等变换研究性质问题的策略，先通过三角恒等变换, 将三角函数的表达

8、式变形化简，然后根据化简后的三角函数， 讨论其图象和性质.1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y=Asin 3 x+()*或y = Acos w x+()4k等形式，让角和三角函数 名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进 行求解.2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数 定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三 角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.3有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、 三角函数知识.4.已知函数 f(x) = 2sin x , cox +2co

9、s2x 1.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.解(1)函数 f(x) = 2sin x cox + 2cos2x 1 = sin 2x + cos 2x = sin,令 2k；t w 2x + w 2k；t+, kWZ,解得一< x<k% +? kWZ,可 得函数的单调增区间为，kGZ.由 f(x) = sin,可得当 2x+= 2k；t+, kWZ,取=卜兀+, kWZ 时，函数f(x)取得最大值为，此时，x取值的集合为.三角恒等变换醺教枷獭翱(教师独具)第四课三角包等变换巩固层知识整句提升层题型探别三角函数式求值【例

10、11(1)已知 sin = ,贝U cos = ()A. 一B . 一C. D.(2)4cos 50°Han40°等五)A. B.C. D.2-1冗）2我B的值.(3)已知 tan(a B)4anB=,且 a, 0C (0,(1)C (2)C(1)cos=cos=1 2sin2=12X2 =.(2)4cos 500 Han 40°=.解tan a = tan( a B ) + 0 => 0.而a e (0 ,兀)，敖e . tan 0 = ,0<0<九,< p < tt , it < a 30.W tan( a 0 )=03 2

11、a - 0 = a+ (a 0 ) 0)( 一 九， tan(2 a 0 ) = tan a + ( a 0 )=1, 2 a - 0 .-三角函数的求值有三种类型：1给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题2给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变 角"，如：a = a + B B, 2a = a +御甘电斯邳角用含已知角的式子表示，求解时要注意 角范围的讨论3给值求角：实质上是“给值求值”，一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定 所求角的范围，最

12、后求出角,选择三角函数时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是9,选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是0,冗，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为选择求所求角的正弦值.1.已知一< x<0, sin x + cos x =.(1)求 sin 2x 和 cos x sin x 的值;求的化 解(1)由 sin x+cos x =,平方得 1+sin 2x =,所以 sin 2x = 一,因为一< x<0,所以 cos x >sin x ,所以 cos x sin x =.;=sin 2x ,=一 x = .【例2】化简

13、：(1)(0 < 9 < .思路点拨：(1)使用倍角公式化简.(2)切化弦.解(1)原式=因为0< 8 <兀，所以0<< ,所以cos >0,所以原式=cos 0 .(2)原式=,三角函数式的化简要遵循“三看”原则1 一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正 确使用公式；2二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名从而确定使用的公式，常见的 有“切化弦”.3三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.2.化简：.解原式= = 2.【例3】求证：tan2x +

14、 =.证明左边=+一:右边.原式得证.三角恒等式的证明问题的类型及策略1不附加条件的恒等式证明.,通过三角包等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是 由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.2条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.3 .已知 sin(2 a + B 5通 B ,求证：2tan( a + 03%n a .证明由条件得 sin( a + B ) + a = 5sin( a + B ) a ,两边分别展开得sin( a + B )cqs+ cos( a + B )sin

15、=5sin( a + B )cos 5cos( a + 0 )sin整理得：4sin( a + B )cos= 6cos( a + 0 )sin两边同除以2cos( a + B )cos得：2tan( a + B 3tan a .工 知识拓展 提升一维能力三角恒等变换的综合应用【例 4】已知向量 a= (cos x , sin x) , b = (3, ), x 0 ,兀.(1)若a / b,求x的值；(2)记f(x) = a b,求(x)的最大值和最小值以及对应的x的化思路点拨：(1)利用向量共线的坐标表示求值；利用向量数量积的坐标表示列出三角函数关系式再求最值.解(1)因为 a/b,所以

16、3sin x = cos x , 若(cos x=0,贝U sin x=0, 与 sin2x+ cos2x = 1 矛盾， 所以tan x =一,因为x 0 ,兀, 所以x=.f(x) = 3cos x sin x =2sin.因为xC 0 ,冗,所如 ,所以一& sin 0 1,所以一2&f(x) <3,当x =,即x = 0时，f(x)取得最大值3;当x =,即x=时，f(x)取得最小值一2.利用三角包等变换研究性质问题的策略，先通过三角包等变换，将三角函数的表达式变形化 简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质 .1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等 变换将函数表达式变形为y = Asin乂+(|)*或丫= Acosx +小4k等形式，让角和三角函数名 称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.2要注意三角包等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所 以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.3有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.4 .已知函数 f(x) = 2sin x -