为了帮助学生掌握解题金钥匙

1、为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析 与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想： 函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化(化归)思想。最后谈谈解题中的有 关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析， 对方法和问题进行示范。 巩固性题组旨在检查学习的效果，

2、起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。一、数形结合思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于 直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。(90年全国1. 如果实数x、y满足等式(x 2)2 + y 2 = 3，那么-的最大值是xB.1A.2例1.若方程Ig( x2 + 3x m) = lg(3 x)在x (0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题, 再利用二次函数的图像进行解决。即:【解】原方程

3、变形为3-x 0-x2 3x_m = 3_x3-x 0(x -2)2 =1 -my41Oy=1-m【解】原方程变形为3-x 0-x2 3x _m = 3_x3xno即：(x_2)2=1_m设曲线y1 = (x 2) 2 , x (0,3)和直线y2 = 1 m,图像如图所示。由图可知: 当1 m = 0时，有唯一解， m = 1; 当1 < 1 m<4时，有唯一解，即一 3<m < 0,m = 1 或一3<m < 0此题也可设曲线 y1 = （x 2） 2 + 1 , x （0,3）和直线y2 = m后画出图像求解。【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函

4、数的性质等进行讨论时，可以借助于函 数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。1. 已知5x + 12y = 60 ,则丘孑的最小值是 。A. 60 B. I3C. I3D. 1135122. 若方程x2 3ax + 2a 2 = 0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围已知函数y= .（1）2 -1 +（5）29，求函数的最小值及此时x的值【例题一】已知尤+$+1二0,则JdF+a-1）：的最小值是。【分析】在约束条件下求最值，消去一个变量，变成一元二次多项式这是常规思路。解思路一：j = 1 jt+

5、0 -1）： =（x-l）2 +（-x-2）2 二 2/ +2k+§ 二 2（工 + 丄严 +三当时，所求的最小值为 弩。思路二：如果将看成是两点之间的距离，那么我们头脑里就立即造出一个几何模型来。（x,y）和（1,1）两点之间的距离。1+1 + 11 32点（i,i）到直线+1 = 0的距离即为满足题目条件的最小值【例题二】【分析】的最小值是为参数）。用常规思路这道题目不容易解决， 题目可以看成是关于t的一个一元二次多 项式，但又有三角函数作另外的约束条件， 求最值可谓更困难，只能想想有没其 它的解决办法。表达式使我们联想到两点间距离公式， 我们考虑用数形结合法求 解此题。解由于为

6、参数，设有两点:J5 d(4cs03sin 昭、(6-2 ' 20jc + 1 = 6点：的集合图形是直线:42|6-5sin（+a）|1 厲d 72 所以所求的最小值为：近 -观的这两道题抽能看题数形结合法的优越性结合法代数问题几何化,运几好数鎧直 能开阔你的解题思路，也能在考试中节省不少时间 把数量关系的精确到刻画与 集合图形的直观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系恰当地变更问题，使问题化难为易、化繁为间。着就是数形结合”的根本特征。例：大球、小球共 100个，取出大球的 75%，取出小球的一半，还剩 30个球，大球、小球各有几个？一般的学生用方程或假设

7、法来做。还有的学生画以下图形：其中，大正方形 ABCD的面积表示大、小球的总个数，小正方形EFGH的面积表示小球的个数，于是，大、小正方形的面积差则表示大球的个数。用阴影部分的面积表示取出的个数，很显然如果都取75%，应剩下25个，30-25 = 5 （个）是小球的 “7% -50% ”，则小球的个数是 5- （75% -50%）= 20 （个），大球的个数是 100-20 = 80 （个）。例：一个筑路队原计划 20天修完一条公路。实际每天比原计划多修45米，提前5天完成任务。原计划每天修路多少米？这道题的数量关系比较隐蔽，可以借助长方形来帮助分析、理清思路。图中AB表示原计划修路的天数，A

8、D表示原计划每天修路的米数，AE表示实际修路的天数，EB就是实际比原计划提前完成的天数，AG表示实际每天修路的米数，DG就是实际每天比原计划多修的米数，因为修路的总米数不变，所以原计划每天修路的米数 X原计划修路的天数=实际每天修路的米数 X实际修路的天数”，即长方形 ABCD的面积等于 AEFG的面积，由此可推出长方形EBCH的面积等于长方形DHFG 的面积，即BCXEB=DHX DG，也就是 ADX EB=AEX DG，AD=AEX DGEB，因此，原计戈U每天修路的米 数是：（20-5） >45廿=135 （米）。中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（

9、组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情 形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图 像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手 段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其 代数意义，

10、又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充 分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛 盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入 微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形 结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特 征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分

11、析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。一、知识整合、例题分析例1一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数 形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：或

12、者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观， 使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合， 寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华

13、罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难 入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于 直角三角形来定义的；任意角的三角

14、函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。I、再现性题组：1.设命题甲：0<x<5;命题乙：|x 2|<3，那么甲是乙的 。（90年全国文）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 若 log a2<log b2<0，则。（92 年全国理）A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>1n3.如果凶w ,那么函数4f(x) = cos 2 x + sinx的最小值是。（89年全国文）迈_1A.2B.D.4.如果奇函数f（x）在区间 o

15、（91年全国）A.增函数且最小值为-C.减函数且最小值为5.设全集 I = (x,y)|x,y那么M U N等于A. $6.7.8.9.3,7上是增函数且最小值是5,那么f(x)的-7,-3 上是B.D.增函数且最大值为-减函数且最大值为- R,集合姑(x,y)|o （90 年全国）B. (2,3) C. (2,3)D. (x,y)|y如果0是第二象限的角，且满足A.第一象限角B.第三象限角二象限角已知集合 E= 0 |cos 0 <sin间是o （93年全国文理）3n4-2 = 1, N= (x,y)|y丰 x+ 1,x 20cos sin2=.1匚sin 0 ,那么2C.可能第一象限

16、角,0W 0 w 2 n , F= 0 |tgC.(也可能第三象限角D.第n , 3； ) D.(<sin 0 ,那么EA F的区3n45 n若复数z的辐角为，实部为一6A. 2 . 3 2 i B. 2,3 + 2如果实数x、y满足等式1A.2B.10.满足方程|z + 32.3 ,i C.(x 2) 2 + y2 = 3,那么C.D.D.y的最大值是xo （90 年全国i | =3的辐角主值最小的复数【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲= 2小题 3小题4小题>乙，选A;由已知画出对数曲线，选B;设sinx = t后借助二次函数的图像求f（x）的最小值，选D由奇

17、函数图像关于原点对称画出图像，选B;5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B;6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B;7小题：利用单位圆，选 A；8小题：将复数表示在复平面上，选B;,答案-+三1。2 29小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D;10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题, 即借助数轴(题)、图像(、题)、单位圆(、题)、复平面(、题) 方程曲线(题)n、示范性题组:例 1.若方程 lg( x 2 + 3x m)= lg(3 x)在 x (0,3) 内有唯一解，求实数 m

18、的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程 在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解 决。3 x>0【解】原方程变形为2-x +3x_m = 3_x3x0即:(x-2)2=m设曲线y1 = (x 2) 2 , x (0,3)和直线y2 = 1 m图像如图所示。由图可知: 当1 m= 0时，有唯一解，m= 1; 当 K 1 m<4时，有唯一解，即一 3<mc 0,m = 1 或一3<m< 0此题也可设曲线 y1 = (x 2) 2 + 1 , x (0,3)和直线y2 = m后画出图像求解。【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数

19、的性质等进行讨论时，可以借助于函 数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求(也注意结合图像分析只一个x值)。例 2.设 |z 11 = 5, |z 2| = 2, |z 1 z2 | = . 13 , 求互的值。Z2【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将 复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z 1 = OA、z 2 = OB后，则Z1=OC、Z2=OD如图所示。z15由图可知，|丄| = ,/ A0=/ BOC由余弦定理得:Z22cos / AOD= 5222 -(13)22 X 5 X 2Z2【另解】设z1 =OA、z2 = OD如

20、图所示。则|二| =Z2y - - A'52cos / AOD=2 / 22 -( 13)2X 5X45，Sin Z AOD=±i，即 卩 m = 2 士 - ioZ22本题设三角形式后转化为三角冋题的求解过程是:设 z1 = 5(cos 0 1 +i sin 0 1) , z2+ i sin 0 2)，则 |z 1 z21 = |(5cos 0 1 2cos 02) + (5sin 0 1 + 2sin 0 2) i | =.29 -20cosG 匕)=13，所以 cos( 0 1 +4)=,si n(5Zi妙1isin(d! = %os( 01 +0z22(cosr2i

21、sin 2)22)+ i sin(0 1 + 0 2 )所以 Z- = ( 士 i ) = 2 士z2255【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算 的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。3=2 士 io2本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z 1 z2 | =叫 13 得:Z2 = 25+ 4 z 1z 2 Z, z2 = 13,(z 1 Z2 ) ( Z1 z2)= Z1 Z1 + z2 Z2 z 1 z 2 Z1所以z

22、 1z 2 + Z| z2 = 16,再同除以z2z2得+ 1 = 4，设三=z,解得z= 2 士 ioZ2Z2Z22几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一 般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。例3.直线L的方程为：x=- - (p>0),椭圆中心D(2 + - ,0)，焦点在x轴上，长半2 2轴为2，短半轴为 1它的左顶点为 A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点， 它们中每一个点到点 A的距离等于该点

23、到直线 L的距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。【解】 由已知得：a= 2, b = 1, A( 2 ,o)，设椭圆与双曲线方程并联立有：2y =2pxx-(2+R)2，消 y得:2+ y2 = 142x 2 (4 7p)x + (2p + ) = 041 p< 或 p>1。32 2所以= 16 64p + 48p >0,即 6p 8p+ 2>0,解得:2pp2p结合范围(，4+)内两根，设 f(x) = x (4 7p)x + (2p +),2 2 4

24、p 4 7 p p 1 所以：<才<4+；即 p<?，且 f( p )>0、f(4+ p)>0 即 p> 4 + 3.2。2 21结合以上，所以4+ 3、2<p<。3【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了 “判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本 题进行了综合运用。例 4.设 a、b 是两个实数，A= (x,y)|x= n, y = na+ b (n Z) , B= (x,y)|x =

25、m y=3m2 + 15 (m Z), C= (x,y)|x2 + y 2 < 144，讨论是否，使得An Bm $ 与(a,b) C同时成立。(85年高考)【分析】集合 A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得An Bm $ ”的含意就是“存 在a、b使得na+ b = 3n2 + 15(n Z)有解(An B时x = n= m)。再抓住主参数 a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L： nx + y = 3n2 + 15 上,且直线与圆x2 + y 2 = 144有公 共点，但原点到直线 L的距离12。2【解】 由 An Bm $ 得：na+ b= 3n + 15 ;设

26、动点(a,b)在直线L: nx + y= 3n2 + 15上，且直线与圆x 2 + y 2 = 144有公共点,所以圆心到直线距离 d= 3n +15 = 3(打 +1 +4 ) > 12J冇J行tn为整数 上式不能取等号，故 a、b不存在。【注】 集合转化为点集(即曲线)，而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是：2 2由 An得：na+ b= 3n + 15 ,即 b = 3n + 15- an (式)；由(a,b) C得，a 2 -8. sin 20°

27、;+ cos 80°+ J3sin20 ° cos80 ° =。 + b2< 144(式);把式代入式，得关于a的不等式：(1 + n 2)a 2 2n(3n 2 + 15)a + (3n 2 + 15) 2 144 < 0(式),它的判别式= 4n 2(3n 2 + 15) 2 4(1 + n2)(3n 2 + 15) 2 144 = 36(n 2 3)因为n是整数，所以n2 3工0,因而 <0,又因为1 + n 2 >0,故式不可能有实数解。所以不存在a、b,使得An Bm $与(a,b) C同时成立 川、巩固性题组：1. 已知5x +

28、 12y = 60,则血F2的最小值是 。A. 60B. I9. 解不等式：x2-2x>b x10. 设A=x|<1x<3，又设B是关于x的不等式组.x2_2x+aw °的解集，试确定a、bx22bx+5W 0C. I3D. 1135122. 已知集合P=(x,y)|y= 9_x2、Q=(x,y)|y= x+ b，若 PnQm$ ,则 b 的取值范围是。A. |b|<3 B. |b|w 3:$2C. 3w bw 3/2D. 3<b<3*；：23. 方程2x = x2 + 2x + 1的实数解的个数是 。A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对4

29、. 方程x = 10sinx的实根的个数是 。5. 若不等式m>|x 1| + |x + 1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是 <6. 设z = cos a + 1 i且|z| w 1,那么argz的取值范围是 。27. 若方程x2 3ax + 2a2 = 0的一个根小于1,而另一根大于1,则实数a的取值范围是11. 定义域内不等式.2 _x > x + a恒成立，求实数 a的取值范围。12. 已知函数y = （x_i）2 1 + （x_5）2 9，求函数的最小值及此时x的值。13. 已知 z C,且 |z| = 1,求 |（z + 1）（z i ）| 的最大值。14

30、. 若方程lg（kx） = 2lg（x + 1）只有一个实数解，求常数 k的取值范围。一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数 形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲

31、线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观， 使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合， 寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难 入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化

32、，几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于 直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。I、再现性题组：II. 设命题甲：0<x<5 ;命题乙：|x 2|<3，那么甲是乙的 。（ 90年全国文）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C

33、.充要条件 D.既不充分也不必要条件12. 若 log a 2<log b2<0,则。（92 年全国理）A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. a>b>1 D. b>a>113.如果 |x| <n,那么函数f（x） cos2x+ sinx的最小值是4。（89年全国文）血-1.211 - . 2A.B.一C. 1D.22214.如果奇函数f（x）在区间3,7上是增函数且最小值是5，那么f(x)的-7,-3 上是。（91年全国）A.增函数且最小值为-5B.增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为5D.减函数且最

34、大值为-5V 315. 设全集 I =(x,y)|x,y R,集合 Ml= (x,y)|= 1 , N= (x,y)|y 丰x + 1,x 2那么M U N等于。(90年全国)A. 0 B. (2,3) C. (2,3) D. (x,y)|y16.如果0是第二象限的角，且满足9cos sin2=.1sin 0 ,那么OA.第一象限角 B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角17. 已知集合 E= 9 |cos 9 <sin 9 , 0< 9 < 2n , F= 9 |tg 9 <sin 9 ，那么 EQ F 的区间是。(93年全国文理)nn3n3

35、n3n 5 nA.(, n ) B.(,)c.(n,)D.(, )24424418.若复数z的辐角为5 n，实部为一2 3 ,则z=。6A. 2 .3 2 1 B.2 3 + 2 1C.2 吋 3 + 23 1D. 2 3 2 . 3119.如果实数x、y满足等式(x 2) 2 + y2 = 3,那么-的最大值是 。(90年全x国理)1 A.B.、3C.3QD. 323220.满足方程 |z + 3 j/ 3 1 | =、3的辐角主值最小的复数 z是【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲=>乙，选A;2小题：由已知画出对数曲线，选B;3小题：设sinx = t后借助二次函数

36、的图像求 f(x)的最小值，选 D4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B;5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B;6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B;7小题：利用单位圆，选 A;8小题：将复数表示在复平面上，选B;9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D;3<310小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解，答案-一+1°2 2【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题, 即借助数轴（题）、图像（、题）、单位圆（、 方程曲线（题）。n、示范性题组：题）、复平面（、题）、例 1.若方程 lg( x2 +

37、3x m)= lg(3 x)在 x (0,3)内有唯一解，求实数 m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程 在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解 决。【解】原方程变形为3-x 02即：丿3x aO(x _2)2 =1 _m-x 3x-m = 3-x2设曲线y1 = （x 2）, x （0,3）和直线y2 = 1 m图像如图所示。由图可知: 当1 m= 0时，有唯一解，m= 1; 当 K 1 m<4时，有唯一解，即一 3<mc 0,m = 1 或一3<m< 0此题也可设曲线 y1 = （x 2） 2 + 1 , x （0,3）和直线

38、y2 = m后画出图像求解。方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参【注】一般地，数的图像直观解决，数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。例 2.设 |z 1 I = 5 , |z 2 1 = 2, |z 1 Z2 1 =13 ,求Zl的值。Z2y - A DOB【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将 复数问题用几何图形帮助求解。【解】如图，设z1 = OA、z2 = OB 后，贝 y = Oc、2 = OD 如图所示。z1由图可知，| |Z25，/ AOD=Z BOC由余弦定理得:2cos / AOD

39、=-(.13)2Z15=一(Z22则Isin所以鱼Z25432(5 ± 5 i) = 2±【另解】设z1 = 0A、Z2 = OD如图所示。2X 5X 2cos / AOD= 522 2 一( 一13)2，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算 般地，复数问题可以利 也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质本题设三角形式后转化为三角冋题的求解过程是:设 z, = 5(cos 0 , + i sin 0 J , z2 =+ i sin 0 2)，则 |z , Z21 = |(5cos 0 , 2cos 02) + (5sin 0 , + 2sin 0 2) i |

40、=；29 20cos(k 二2) =13，所以 cos( 0 1 +0 2) = - ,sin(0 , + 0 2) = ±5Z2恥os(F 5切=仏 0 1 +02(cos2 i sin 乙)22) +i sin( 0 i + 0 2)=4(5【注】本题运用“数形结合法”的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 用复数的几何意义而将问题变成几何问题， 求解。3io2本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z 1 z2 I = J13 得:(Z1 Z2)(Z1 Z2 ) = Z1 Z1 + z2 Z2 Z 1 Z 2 Z1Z2 = 25+ 4 z 1z 2 Z,

41、 Z2=13,Z1所以z 1z 2 +召z2 = 16,再同除以z 2 z2得1 +Z21 = 4，设Z2互Z2=z,解得 z= 2± i2几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一 般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解； 设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。pp例3.直线L的方程为：x= 2（P>0）椭圆中心D（2 + 2，0），焦点在x轴上，长半 轴为2，短半轴为1,它的左顶点为问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点

42、 A的距离等于该点到直线L的距离？【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。【解】 由已知得：a= 2, b = 1, A( P ,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有：2y2 =2pxSx(2 +2，消y得:一 y2 =12x 2 (4 7p)x + (2p + ) = 042 2 1所以= 16 64p + 48p2>0,即 6p2 8p+ 2>0,解得：p< 或 p>1。32pp2p结合范围(工,4+)内两根，设 f(x) = x2 (4 7p)x + (2p +

43、),224p4-7p p 1pf(4+ -)>0 即 p> 4 + 3、2。 2所以上<<4+ 即p< ，且f( )>0、2 2 2 2 21结合以上，所以一4+ 3 ：，2 <p<。3【注】本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了 “判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本 题进行了综合运用。例 4.设 a、b 是两个实数，A= (x,y)|x = n, y = na+ b (n Z) , B= (x,y)|x = m y222=3m + 15 (m Z), C= (x,y)|x+ y < 144，讨论是否，使得An Bm $ 与(a,b) C同时成立。(85年高考)【分析】集合 A B都是不连续的点集，“存在a、b