高等数学课件：4-4有理函数的积分

1、2021-12-151一一 问题的提出问题的提出二二 有理函数的积分有理函数的积分三三 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分四四 简单无理函数的积分简单无理函数的积分五五 小结小结六六 思考与判断题思考与判断题第四节 有理函数的积分(Integration of several kinds of Functions)2021-12-152一一 问题的提出问题的提出(Introduction).11)1(112 xxx2)1(1 xx即即dxxx 2111)()(怎么计算？怎么计算？关键是被积函数的裂项关键是被积函数的裂项？（2 2）.cossin1sin dxxxx很显然不能用很显然不能用

2、凑微分和分部积分凑微分和分部积分怎么办？怎么办？（3 3） dxxxx11去掉根号才能计算，怎样去掉去掉根号才能计算，怎样去掉根号根号？2021-12-153两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.二二 有理函数的积分有理函数的积分(Integration of Rational Function)有理函数的定义：有理函数的定义：2021-12-154假定分子与分母之间没有公因式假定分子

3、与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式；这有理函数是假分式； 有理函数有以下性质：有理函数有以下性质：1 1）利用多项式除法）利用多项式除法, , 假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和. .例如，我们可将例如，我们可将1123 xxx.112 xx化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和2021-12-155kaxA)( 2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和其其中中qpaBA,都都是是待待定定的的常常数数. 最简分式是下面

4、两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式;)(kqpxxBAx 2042 qpk为正整数，2021-12-156（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：）有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是待定的常数都是待定的常数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA 2021-12-157（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 212222

5、11)()(其其中中iiNM ,都都是是待待定定的的常常数数), 2 , 1(ki .特殊地特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 2021-12-158便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同便于求积分必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1)3)(2()2()3( xxxBxA)3)(2()23()( xxBAxBA2021-12-1592)1(1 x

6、x,1)1(2 xCxBxA)1()2()(12AxCABxCA .11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2通分以后比较分子得：通分以后比较分子得： 1020ACABCA1, 1, 1 CBA2021-12-1510)()(1112 xCxBxxA.11)1(112 xxx2)1(1 xx我们也可以用代值确定法来得到最简分式，我们也可以用代值确定法来得到最简分式，比如前面的例比如前面的例2 2，两端去分母后得到，两端去分母后得到;1,1 Bxx值值，令令代代入入特特殊殊的的;1,0 Ax令令;1,2 Cx令令2021-12-1511例例3 3.1515221542xxx )1)(21

7、(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得2021-12-1512例例4 4 求积分求积分 .2123dxxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解 dxxxx2321由前面的裂项由前面的裂项2021-12-1513例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxx

8、x 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 由前面的裂项得由前面的裂项得.1515221542 dxxxx2021-12-1514注意：注意：有理函数的积分就是对下列三类函数的有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：积分：)1(多项式多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 主要讨论（主要讨论（3 3）积分）积分, 1)1 n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 2021-12-1515,422pqa ,2MpNb 其中其中,222atqpxx , bMtNMx 并记并记令令tpx

9、 2,42222pqpxqpxx , 1)2( n dxqpxxNMxn)(22021-12-1516122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn结论结论有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. . dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(222021-12-1517三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为构成的函数一般记为)cos,(sinxxR1 1 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 dxxxR)cos,(sin称为三角函数有理式的积分，称为三

10、角函数有理式的积分，它经过所谓的它经过所谓的“万能代换万能代换”化成有理函数的积分。化成有理函数的积分。三三 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分2021-12-15182cos2sin2sin xxx 这这是是因因为为2tan12tan22xx xcos2tan12tan122xx 2tan12tan2 tan22xxx 2122tanuuxu 22112tanuuxu 2122tanuuxu 2021-12-1519令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 2021-12-1520例例6 6 求积分求积

11、分.)cos1(sinsin1 dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式duuuu 12212 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan22021-12-1521例例7 7 求积分求积分.sin1cos dxxx解解 )121(12112222uuuduuu dxxxsin1cosduuuu )1)(1()1(22 一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。一直做下去，一定积出来，只是太麻烦。 dxxxsin1cos xxdsin1)sin1(Cx )sin1ln(

12、由此可以看出，万能代换法不是最简方法，由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。能不用尽量不用。2021-12-1522讨论类型讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例8 8 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 2 2 简单无理函数的积分简单无理函数的积分解决方法解决方法关键去掉根号关键去掉根号2021-12-1523,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 2021-12-15

13、24例例9 9 求积分求积分.2113 dxx解解 令令23 xt,32dxdtt dttt 132dttt 11132Cttt |)1|ln2(32.)12ln(3)2(3)2(233332Cxxx dxx32112021-12-1525说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时, , 取根指数的最小公倍数取根指数的最小公倍数. .例例1010 求积分求积分.13 dxxx解解 令令xt 6,65dxdtt dxxx31 dtttt)1(6235 dttt2216Ctt )arctan(6 dtt)111(62Cxx )arctan(6662021-12-1526简单无理式的积分去掉根式简单无理式的积分去掉根式.有理式分解成部分分式之和的积分有理式分解成部分