第四章向量组的线性向关性

1、章节4课题向量组的线性相关性计划课时数16授课班级04级计算机系专升本10-13教学目的理解线性组合与线性表示的概念；理解表示矩阵；能对具体的问题求解组合系数；线性相关的定义；初步掌握线性相关与线性无关的概念；最大无关组、秩及其求法；三秩相等定理；齐次线性方程组的解的性质、基础解系；齐次线性方程组的解的结构定理、系数矩阵的秩与解空间维数之间的关系；非齐次线性方程组的解的结构定理。向量空间的概念；生成子空间及其性质；基、维数与坐标；基（坐标）变换公式。教学重点线性相关的概念；最大无关组、秩及其求法；基础解系及其求法；生成子空间、过渡矩阵。教学难点线性相关；最大无关组；基础解系及其求法；过渡矩阵。

2、教学方法和手段 讲授、习题、答疑备注教 学 内 容批注§1向量组及其线性组合在空间解析几何中，我们通过建立坐标系使一个矢量与它的坐标（是一个三元有序数组）一一对应起来，从而把矢量的运算转化为有序数组（即坐标）的代数运算这种思想的推广在线性代数中极为重要在此首先将三元有序数组推广到一般的元有序数组，建立元向量的概念一、维向量的概念定义 个有次序的数所组成的数组称为维向量，其中称为这元向量的第i个分量，常用或等表示元向量通常，一个向量可写成一列也可写成一行并称为元列向量而称为元行向量以后若不加声明，本书中提到的元向量均指元列向量二、维向量的运算设有两个元向量，若它们的各分量都对应相等，即

3、，则称与相等，记作教 学 内 容批注定义 设有两个元向量 k为数，则元向量 分别称为与的和及k与的数量乘积，分别记作及k三、维向量的运算律 为维向量，为实数，0为零向量 四、维向量的实际意义 我们称维向量的全体组成的集合 为维向量空间。维向量空间有着广泛的实际意义。例如为确定飞机的状态，需要6个参数（构成6维向量）。表示飞机重心在空间的位置需要三个参数， 教 学 内 容批注 还有三个参数是：1） 机身的水平转角2） 机身的仰角3） 机翼（以机身为轴）的转角例题 计算五、维向量组定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合叫做向量组例如： 一个矩阵的全体列向量是一个含有个维列向量的向量组，它

4、的全体行向量是一个含有个维行向量的向量组；又如线性方程的全体解当时是一个含有无限多个维列向量的向量组。矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。例如：个维列向量所组成的向量组构成一个矩阵, 个维行向量所组成的向量组，构成一个矩阵 教 学 内 容批注六、线性组合定义：给定向量组，对于任何一组实数，向量：称为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。 线性表示：给定向量组和向量，如果存在一组数使得：则向量是向量组的线性组合，这时称向量能由向量组线性表示。 定理1 向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩。 七、等

5、价向量组定义：设有两个向量组及，若组中的每个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示。若向量组和向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。把向量组和所构成的矩阵依次记作和，组能由线性表示，即对每个向量存在数，使教 学 内 容批注从而 这里，矩阵称为这一线性表示的系数矩阵。 由此可知，若，则矩阵的列向量能由矩阵的列向量线性表示，为这一表示的系数矩阵：同时，的行向量组能由的行向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵： 综合上面的讨论，我们得出矩阵经过初等行变换变成矩阵，则的每个行向量都是的行向量的线性组合，即的行向量组能由的行向量线性表示，由于初等变换可逆，则矩阵亦可经处等行变换变为，

6、从而的行向量组也能由的行向量组线性表示，于是的行向量组与的行向量组等价。 同理可知，若矩阵经过初等列变换变成矩阵，则的列向量组与的列向量组等价。 等价矩阵所对应的线性方程组是同 解方程组。 根据定义，向量组能由向量组线性表示，其含义是存在矩阵，使，也就是矩阵方程有解。 教 学 内 容批注 定理：向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，即 推论 向量组与向量组等价的充分必要条件是 其中和是向量组和所构成的矩阵。 定理 ：设向量组能由向量组线性表示，则 （讲书上的例子）§2向量组的线性相关性一、定义定义：给定向量组，如果存在不全为零的数，使则称向量组是线性相关的，否

7、则称它线性无关。1） 一个向量线性相关的充分必要条件是。2） 两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的分量成比例。3） 三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面。4） 一个向量是线性无关的充分必要条件是。5） 两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的分量不成比例。 例题： 判断下列向量组的线性相关性。 教 学 内 容批注二、线性相关的基本定理 定理：向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的个向量线性表示。 证明：充分性，不妨设可由其余的向量线性表示，即有 从而 必要性，设线性相关，即有不全为零的数，使： 不妨设，从而有 讨论向量组的线性相关性。定理： 设 线性无关，而

8、线性相关，则能由线性表示，且表示法是唯一的。三、 线性相关性的判定1、方程组矩阵向量组的关系教 学 内 容批注 即： （2）将按列分块，由（2）得到 显然由（3）式知道，若能由线性表示，则线性方程组（1）有解，若不能由线性表示，则线性方程组（1）无解。 当时，（3）式变为 显然由（4）可知，若线性相关，则它所对应的齐次线性方程组有非零解，若线性无关，则仅有零解。 综上所述，向量能不能由线性表示，则说明它所对应的非齐次线性方程组有没有解的问题；向量组 线性相关性，则说明它所对应的齐次线性方程组有什么样的解的问题。 例如：向量组 教 学 内 容批注 显然，所以线性方程组 向量组 由于线性无关，所以

9、不能由线性表示，即线性方程组 2、线性相关性的判定定理：向量组，线性相关的充要条件是矩阵的秩小于向量的个数向量组线性无关的充要条件是证 由定义可知，元向量组是线性相关还是线性无关，取决于向量方程教 学 内 容批注有非零解还是只有零解记，即有 这是一个齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解的充要条件是，只有零解的充要条件是从而结论成立 特别当时，为阶方阵，因此元向量组线性相关的充要条件是0 （讲书上的例子） 定理：（1）向量组线性相关，则向量组也线性相关。反言之，若向量组线性无关，则向量组也线性无关。（2）个维向量组成的向量组，当维数小于向量组个数时一定线性相关，特别地个维向量一定线性相关。

10、67;3向量组的秩一、向量组的秩的概念定义： 设有向量组，如果中能选出个向量，满足（1） 向量组线性无关（2） 向量组中任意个向量（如果中有 个向量教 学 内 容批注的话）都线性相关。那么称向量组是向量组的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组），最大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作.1、 零向量组的秩为02、 一个向量组的秩通常不唯一定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组秩。 例如 设向量组 把向量组拼成矩阵，即 显然，知线性无关；由知道线性相关。因此是向量组的一个最大无关组。 此外， 及可知和都是向量组的一个最大无关组。 性质1 向量组是线性无关的充分必要条件是向量组

11、的秩数等于向量组的个数。 性质2 向量组与其最大无关组等价。 例题：全体维向量组构成的向量组记作，求的一个最大无教 学 内 容批注关组和的秩。 例题 设矩阵 求矩阵的列向量的一个最大无关组，并把不是最大无关组用最大无关组线性表示。定理 设向量组能由向量组线性表示，则向量组的秩不大于向量组。§4线性方程组的解结构一、 齐次线性方程组 称为齐次线性方程组。 若为方程的解，则称为 方程组的解向量。 性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：教 学 内 容批注性质2： 把方程组的全体解组成的集合记作。如果能求得的一个最大无关组：则方程组的全部解就是这称为方程组的通解。 定义：若齐次方

12、程组的有限个解满足： 线性无关 方程组的任意解都可由线性表示；则称是齐次方程组的一个基础解系。也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时通解就是基础解系的线性组合，即为： 二、齐次线性方程组基础解系的求法 1、行最简形 ，设 ，,且不妨设 中最左上角的 r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵 A 化为：显然：，教 学 内 容批注 真未知量，自由未知量构成一向量空间，其中含有个向量，最简单的一组为：教 学 内 容批注线性无关 方程组的任意解都可由线性表示；是解空间的一组基，也就是一组基础解系。从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A). 定理：若齐次

13、线性方程组的系数矩阵的秩则它有基础解系，且基础解系所含解向量的个数为。注意：基础解系所含向量的个数为：未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 若则方程组有唯一零解； 若，则方程组有无数多解，其通解为：是解空间的一组基础解系。例1：求方程组的通解 例2：求方程组的例题证明推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。教 学 内 容批注三、非齐次线性方程组（方程组的矩阵形式）（非齐次方程组的导出组）非齐次线性方程组的有解判定定理：方程组有解线性表示 非齐次线性方程组的解法1、 非齐次线性方程组解的性质性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解性质

14、2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。2.非齐次线性方程组的通解定理：设为非齐次线性方程组的一个特解，是其导出教 学 内 容批注组的解，则非齐次线性方程组的通解为：为任意常数， 推论：，方程组有唯一解。 ，方程组有无穷多个解，方程组无解例1：求解方程组例2：求方程组的通解非齐次方程组的求解步骤（1） 写出，将化为阶梯形阵；从而求出以判断是否有解；（2） 在有解时，进一步将化为行最简形，确定真未知量与自由未知量，并写出同解方程组；（3） 先令自由未知量为零，求出真未知量的值，从而求出特解，再给自由未知量取值，以求基础解系；并写出通解。§5 向量空间1、 定义设是维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法以及数乘两种运算封闭，那么称集合为向量空间。（举书上的例子 2.子空间 设有向量空间及，若，就称为的子空间。教 学 内 容批注3.基、维数和坐标 设为向量空间，如果个向量且满足： （i）线性无关 （ii）中任意一个向量都可由线性表示那么，向量组就称为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，并称为维向量空间。 如果在向量空间中取定一个基，那么中任意一