最新【考前集训】高考数学(江苏专用,文科程序方法策略篇：专题3解题策略第8讲名师精编资料汇编

1、第 8 讲构造法在解题中的应用方法精要 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程 (组 )、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连结条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径构造法就是这样的手段之一构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维其本质

2、特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法题型一例 1构造向量解决不等式的问题xy若直线 1 通过点 M(cos， sin )，则下列正确的有_a b a2 b2 1; a2b2 1；1111 a2 b2 1; a2b2 1.cos sin 破题切入点根据点在直线上可以得到a1，联想向量的数量积的坐标运算法则，b可以构造向量答案解析11设向量 m (cos ， sin )， n ( ， )，cos sin ab由题意知a b 1，由 m·n |m|n|可得 1cos sin 1

3、1a2 2.bab1 1所以 a2 b2 1.题型二构造不等式解决证明问题例 2已知 a， b， c>0 ，证明：a2b2c2a bcb c2.caab破题切入点直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上a b c，即我2们证明不等式a2b2 c2 a b c a b c，这时把 a bc拆成 ab b cc a，bcc a a b22444就可以构造轮换不等式了证明证明2即证abc即证a2 bc222a bca b c，2b cc aab22ab cb c2 a b c，c aa bb cb2c

4、 ac2 a b4 c a 4 a b 4 ab c.2b c2c a2a ba c又因为4 a， b b， c，bcc a4a b4所以所证三式相加，不等式成立题型三构造函数最值、比较大小的问题例3已知 f(x) 34x 2xln 2 ，数列 an 满足1*)<an<0,21an 1 f(an)( nN2(1)求 f(x)在 1， 0上的最大值和最小值；2(2)判断 an 与 an 1(n N *) 的大小，并说明理由破题切入点(1)直接按照导数研究函数的方法解决(2) 根据给出的条件 21 an1 21 anf(an) 21 an，可以构造函数 g(x) f(x) 2x1，通过

5、研究这个函数解决问题解 (1)f (x)(1 4x)ln 4 ，当 12<x<0 时， 0<1 4x<12， f (x)>0 ， f( x) 34x 2xln 2 在 12， 0上是增函数， f( x)maxf(0) 2； f(x)min f( 12) 52 ln 2.(2) 由 21 an121 an f(an) 21 an，记 g(x) f( x) 2x 1 得 g (x) f (x) 2x1ln 2 (1 2x 4x)ln 4 ，当 12<x<0 时， 22<2x<1， 12<4x<1.xx21故 124 <122&

6、lt;0，1所以 g(x)<0 ，得 g(x)在 ( 2， 0)上是减函数，所以 g(x)>g(0) f(0) 2 0， f(an) 21 an>0，即 21an1 21 an>0，得 an 1>an.题型四构造数列解决数列求和的问题例 4已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 a11， an 2Sn·Sn1 (n 2)2(1) 求出通项公式 an.(2) 求证： S21 S22 S2n 1 1 . 2 4n破题切入点(1)首先根据已知条件求出Sn 的通项公式，进而求出通项an.(2) 利用放缩法和拆项法证明(1) 解 因为 an 2Sn

7、3;Sn1(n 2)，所以 Sn Sn1 2Sn n1，·S1 2(n 2)，两边同除 Snn1，得 1 ·SSnSn1111所以数列 Sn是以 S1 a1 2 为首项，以 d 2 为公差的等差数列11所以 (n1) ·d2 2(n 1) 2n，1所以 Sn2n.又因为 an 2Sn·Sn 1(n 2)，所以当n 2 时，an 2Sn·Sn 1111，2··2n2 n 12n 2n21所以 an2 n 1，12 n 2 .2n2n(2) 证明21111121，因为 Sn2< ()， S14n 4n n 14 n 1 n

8、4所以当 n 2 时，222111S1 S2 Sn 4 4× 2× 2 4n·n111111<(1 )4( )442n 1 n1 1 2 4n，2111当 n 1 时， S1 42 4× 1.22211综上 S1 S2 Sn24n.总结提高用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从上面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套但可以尝试从中总结规律，在运用构造法时，一要明确构造的目的，即以什么目的而构造；二要弄清楚问题的

9、特点，以便依据特点确定方案，实现构造1在空间四边形ABCD 中， AB·CD AC·DB AD ·BC的值为 _答案0解析如图，选取不共面的向量AB， AC， AD 为基底，则原式 AB·(AD AC) AC·(AB AD ) AD ·(AC AB) AB·AD AB·AC AC·AB AC·AD AD·AC AD ·AB 0.2已知数列 an 中， a1 1， an 2an1 1，则数列 an 的通项公式为_答案an2n 1解析因为 an 2an1 1，所以 an1 2(a

10、n 1 1)，所以数列 an 1 是以 a11 2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 an 12× 2n 1 2n，所以 an 2n 1.3函数 f(x)x2 4x 13x2 10x 26的值域是 _答案5， )解析f(x) x 2 2 0 32x 5 2 0 1 2其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点 M(2,3)和 N(5， 1)的距离之和 (如图 )，为求其值域只要求其最值即可，易知当M，N，P三点共线 ( 即 P 在线段 MN 上 )时， f(x)取得最小值， f( x)min MN 25 2 312 5，无最大值，故得函数的值域为 5， )4.如图，已知球O 的球

11、面上有四点A， B， C， D， DA平面ABC，AB BC， DA AB BC2，则球O 的体积为_答案6解析如图，以DA ，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O 的直径， 所以 |CD|222222 2R，所以R62，故4R3球O的体积V36.1 1，b ln1 1，c ln11，则 a，b， c 的大小关系为5已知 a ln2 0132 0132 0142 0142 0152 015_答案a>b>c1 1 x 解析 令 f(x) ln x x，则 f (x) x 1 x . 当 0<x<1 时， f (x)>0 ，即函数 f(x)在 (0,1)上是增函数111 1>2 013>2 014>2 015>0， a>b>c.6若 a>b>c>0，则 log 2 a 1，log 2 b 1 ，log 2c 1 的大小关系是 _abc答案log 2 a 1 log2b 1<log 2 c 1a<bc解析构造函数 f(x) log2(x 1)，问题就是函数f( x)图象上的三个点 (a