2016第二十一章一元二次方程全章导学案(新人教版九年级上)

1、新人教版九年级数学第二十一章 一元二次方程211 一元二次方程（1）（第1课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1理解一元二次方程的概念； 2知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式； 3会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题学习难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程 的概念一、学前准备什么是方程？什么是方程的解？什么是一元一次方程及解？什么是二元一次方程（组）及其解？二、合作探究问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部

2、（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m，则上部高_,得方程_整理得 _ 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为_,宽为_.得方程_整理得 _ 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：

3、全部比赛的场数为_设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_个队各赛1场，所以全部比赛共 _场。列方程_化简整理得 _ 请口答下面问题：(1)方程中未知数的个数各是多少？_(2)它们最高次数分别是几次？_方程的共同特点是： 这些方程的两边都是_，只含有_未知数（一元），并且未知数的最高次数是_的方程.1.一元二次方程:_2. 一元二次方程的一般形式:_一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中ax2是_，_是二次项系数；bx是_，_是一次项系数；_是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符

4、号;二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉。）3.将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项三、随堂练习1.判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？2px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp>0 Cp0 Dp为任意实数3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项： 5x2-1=4x 4x2=81 4x(x+2)=25 (3x-2)(x+1)=8x-34.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方

5、形的边长x; 一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；四、学习体会五、课后学效检测与拓展1.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_2关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？211 一元二次方程（2）(第2课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题2提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根学习重点：判定一个数是否是方程的根； 学习难点：由实际问题列出的一元二次方

6、程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根一、学前准备（阅读教材,完成课前预习）一元二次方程的概念： 一元二次方程的一般形式:_二、合作探究问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？分析：设苗圃的宽为xm，则长为_m 根据题意，得_ 整理，得_1)下面哪些数是上述方程的根？ 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 102)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_，即使一元二次方程等号左右两边相等的_的值。3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？4)虽然上面的方程有两个根（_和_）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_.因此，由实

7、际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解三、随堂练习1.写出下列方程的根：（1） x2 -36 = 0 （2）4x2-9 = 0（3）9x2 = 1 （4）4x2 = 22.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。3. 下列各未知数的值是方程的解的是（ ）A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-24.把化成一般形式是_, 二次项是_一次项系数是_，常数项是_。5.已知方程的一个根是1，则m的值是_6.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=_，x2=_7.一元二

8、次方程的根是_；8. 若，则_。四、学习体会五、课后学效检测与拓展1.方程x（x-1）=2的两根为（ ）Ax1=0，x2=1 Bx1=0，x2=-1 Cx1=1，x2=2 Dx1=-1，x2=22.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）Ax1=b，x2=a Bx1=b，x2= Cx1=a，x2= Dx1=a2，x2=b23. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。 9(x-2) 2=1 x2+2x+1=4 x2-6x+9=04.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？21.2.1 直接开平方法解一元二次方程(第3课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：

9、 1、理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程学习重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想学习难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程一、学前准备（阅读教材,完成课前预习）1、一元二次方程的概念： 2、一元二次方程的一般形式:_3、平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根这就是说，如果，那么 叫做a的

10、平方根，记为= .4、直接写出下列一元二次方程的根。（1） x2 -36 = 0 （2）4x2-9 = 0（3）9x2 = 1 （4）4x2 = 2二、合作探究阅读教材，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 计算：用直接开平方法解下列方程：（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1

11、 （6）3(x-1)2-9=138 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得 三、随堂练习1方程x2-9=0的根为（ ） A3 B-3 C±3 D无实数根2若8x2-16=0，则x的值是_3如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_4用直接开平方法解下列方程：（1）4x2=81 （2）(x+5)2=25 （3）(3x+1)2=7 （4）36x2-1=0 （5）2x2-8=0 （6）x2+2x+1=4 四、学习体会五、课后学效检测与拓展 1若x2-4x+p=（

12、x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 3解关于x的方程（x+m）2=n 4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？21.2.1配方法解一元二次方程（第4课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题 2、通过复习可直接化成x2=p（p0）或

13、（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤学习重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤学习难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、学前准备（阅读教材,完成课前预习）解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9二、合作探究填空： (1)x2+6x+_=（x+_）2； （2）x2-x+_=（x-_）2（3）4x2+4x+_=（2x+_）2（4）x2-x+_=（x-_）2问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地

14、的长和宽应各是多少？思考？1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x的方程（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2 - x-1=0 （4）2x2+2=5总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 三、随堂练习1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）A.（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-31.填空：（1）x2+10x+_=（x+_）2； （2）x2-12x+_=（x-_）2（3）x2+5x+_=（x+_）2 （4）x2

15、- x +_=（x-_）2例1用配方法解下列关于x的方程：（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0 (4)x2+10x+9=0 （5）3x2+6x-4=0 （6）4x2-6x-3=0 （6）x(x+4)=8x+12 （7）2x2+6x-2=0 四、学习体会五、课后学效检测与拓展 1代数式 的值为0，则x的值为_ 2已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长 3如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值21.2.2用公式法解一元二次方程(第5课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1。理解一元二次方程求根公式

16、的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程 2。复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a0）的求根公式的推导公式 并应用公式法解一元二次方程学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式法的推导一、学前准备（阅读教材，完成以下问题） 1、 用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 总结用配方法解一元二次方程的步骤： 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 二、合作探究 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），我们可以利用配

17、方法来解决这个问题。 ax2+bx+c=0 解：移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 a0，4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况： （1）b2-4ac0，则0 直接开平方，得： 即 x1= ，x2= （2）b2-4ac=0，则=0此时方程的根为 即一元二次程ax2+bx+c=0（a0）有两个 的实根。 （3）b2-4ac0，则0，此时（x+）2 0， 而x取任何实数都不能使（x+）2 0，因此方程 实数根。由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，

18、当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子就得到方程的根，当b2-4ac0，方程没有实数根。（2） 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式，通常用希腊字表示它，即= b2-4ac 三、随堂练习1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根2.在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数

19、根？有两个相等的实数根？ 。3.利用判别式判定下列方程的根的情况：（1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0 （3)x2-x+9=0 4.用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）2x2-x+1=0 （4）（x-2）（3x-5）=0 （5）4x2-3x+1=0 （6）x2-x-=0 四、学习体会五、课后学效检测与拓展 1。用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2.某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题 （1）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程为一元二次

20、方程m是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？21.2.3因式分解法（第6课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。学习重点：应用分解因式法解一元二次方程学习难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.一、学前准备1.将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 2.因式分解的方法： 3.我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 、 、 。二、合作探究1.解下列方程 x2+2x=0（用配方法）

21、 x2+2x=0（用公式法）你还有其他的方法吗? 解法3: 由x2+2x=0，得x（ ）=0 , 则  =0或  =0   ，    2.仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_ _的形式，再使_，从而实现_ _，这种解法叫做_。（2）如果 ，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_，即或_。练习1、说出下列方程的根：（1） （2）练习2、用因式分解法解下列方程：(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-20x

22、+20=0 归纳：因式分解法解一元二次方程的一般步骤(1)将方程右边化为 (2)将方程左边分解成两个一次因式的 (3)令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解三、随堂练习1方程的根是 2方程的根是_3方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_ 4.用因式分解法解下列方程（1） (2) (3) (4) （5）4x2-144=0 (6) (7) （8）3x2-12x=-12 （9） 四、学习体会五、课后学效检测与拓展1已知y=x2-6x+9，当x=_时，y的值为0；当x=_时，y的值等于92方程x（x+1）（x-2）=0的根是（ ）A-1，2 B1，-

23、2 C0，-1，2 D0，1，23若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A（x+5）（x-7）=0 B（x-5）（x+7）=0 C（x+5）（x+7）=0 D（x-5）（x-7）=021.2 解一元二次方程学习目标：1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、选择合适的方法解一元二次方程学习重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程学习难点：选择合适的方法解一元二次方程【课前预习】一、梳理知识1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如

24、下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法二、解下列方程：1用直接开方法解方程： （3） （4） （5） （6）（7） （8）2用配方法解方程： （5） （6） （7） （8） （9） 3用公式法解方程： （7） （8） （9） (10) (11) (12)4用因式分解法解方程： (5) (6) (7) (8)5、用适当方法

25、解下列方程：（1） （2） （3）X（x-2）+X-2=0 （4）（5）5x2-2X- =x2-2X+ （6）21.2.4一元二次方程根与系数的关系（第7课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1理解并掌握根与系数关系：，；2会用根的判别式及根与系数关系解题.学习重点：理解并掌握根的判别式及根与系数关系.学习难点：会用根的判别式及根与系数关系解题；一、学前准备( 1 ) 一元二次方程的一般式： （2）一元二次方程的解法： （3）一元二次方程的求根公式： 二、合作探究 探究1：完成下列表格方 程25x2+3x-10=0-3问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根,用式

26、子表示你发现的规律。 探究2：完成下列表格方 程2x2-3x-2=02-13x2-4x+1=01问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律； 。 ax2+bx+c=0的两根,用式子表示你发现的规律。3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）ax2+bx+c=0的两根= , = = = = = = = = =三、随堂练习1方程 则= ，= _2若方程的一个根2，则它的另一个根为_ p=_ 3已知方程的一个根1，则它的另一根是_ m= _ 4两根均为负数的一元二次方程是 （ ）A BC D1。不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1） （2） （3）（4）x2-6x-

27、15=0 （5）3x2+7x-9=0 （6）5x-1=4x2四、学习体会五、课后学效检测与拓展 1.已知关于x的方程3x2-5x-2=0,且关于y的方程的两根是x方程的两根的平方,则关于y的方程是_ 2.已知方程的一个根是 -3 ，求另一根及k的值。 3。已知a、b是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）（第8课时） 学生信息班级 姓名 学习目标：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的

28、数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用学习重点：列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题学习难点：发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系一、学前准备（阅读教材P19P20 ,完成课前预习）二、合作探究问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染

29、了 人，第一轮后共有 人患了流感；2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 人，第二轮后共有 人患了流感。则：列方程 ，解得 即平均一个人传染了 个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=120

30、0元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元 依题意，得 解得：x1 ，x2 。根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。设乙种药品成本的平均下降率为y则，列方程： 解得： 答：两种药品成本的年平均下降率 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？归纳小结1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“

31、设”，即设_，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中_ 关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_；(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。2.增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。三、随堂练习1、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ） Ax（x+1）=182 Bx（x-1）=182 C2x（x+1）=182 Dx（1-x）=182

32、15;22一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ） A12人 B18人 C9人 D10人3.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？4.某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？5.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01）四、学习体会五、课后学效检测与拓展 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg. （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润 （2）商品想