常见分布的数学期望和方差实用教案

1、1一、常见离散型分布的数学一、常见离散型分布的数学(shxu)(shxu)期期望和方差望和方差XP01p 1p.1)1(0)(EpppX 1. 0-1分布(fnb)，pppX 2221)1(0)(E22)(E)(E)(DXXX . )1(2pppp 第1页/共23页第一页，共24页。2)1(pq 2. 2. 二项分布二项分布 nkknkknqpkX0C)(E nkknkqpknknk1)!( ! nkknkqpknknnp1)1(11)!()!1()!1(1 ki令令 101)!1( !)!1(niiniqpininnp1)( nqpnp.np 第2页/共23页第二页，共24页。3 nkknk

2、knqpkX022C)(E nkknkqpknknknp11)!()!1()!1( nkknknkknkqpknknqpknknknp1111)!()!1()!1()!()!1()!1() 1(， 1)1( pnnp所以(suy). )1()()1()(D2pnpnppnpnpX )1(pq 2. 2. 二项分布二项分布第3页/共23页第三页，共24页。4 下面利用期望和方差的性质(xngzh)重新求二项分布的数学期望和方差.设 X B ( n, p )，X表示n重伯努利试验(shyn)中的成功次数.iXP10pp 1设而 X= X1+X2+Xn ，i=1,2,n则,)(EpXi 所以(suy

3、)(E)(E1 niiXX niiX1)(E.np , )1()(DppXi Xi 相互独立，)(D)(D1 niiXX niiX1)(D. )1(pnp 第4页/共23页第四页，共24页。5)0( 0e!)(EkkkkX 1e)!1(kkk 0!eiii . ee 由无穷(wqing)级数知识知， ,!0e kkxkx),( x3. 3. 泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)第5页/共23页第五页，共24页。6)0( 3. 3. 泊松分布泊松分布(fnb)(fnb) 022e!)(kkkkXE 1e)!1(kkkk 12e)!1(e)!1()1(kkkkkkk ， 2所以(suy).)(22

4、 XD第6页/共23页第六页，共24页。7由无穷级数(j sh)知识知， ，xxkk 1101 x逐项求导， ，211)1(1xkxkk 1 x，令令pqx 1)10( q，有有22111)1(1pqkqkk 所以(suy) 11)(EkkpkqX 11kkkqp21pp .1p 4. 4. 几何几何(j h)(j h)分布分布第7页/共23页第七页，共24页。84. 4. 几何几何(j h)(j h)分布分布 1122)(EkkpqkX 1121)1(kkkkpkqpqkkppqq1)1(23 22ppq ，21pq 所以(suy)2pq .12pp 2211)(DppqX 第8页/共23页

5、第八页，共24页。9，xxkk 1101 x逐项求导， ，211)1(1xkxkk 1 x再逐项求导， ，322)1(2)1(xxkkkk .)1(2)1(322qqkkkk ，令令qx 1 x第9页/共23页第九页，共24页。10例1A A. . npX2)12(E B B. . 14)12(E npX C C. . 1)1(4)12(D pnpX D D. . )1(4)12(DpnpX 解选(D).设X服从(fcng)二项分布B(n,p),则有 ( ).设设随随机机变变量量YX,相相互互独独立立且且分分布布相相同同，则则YX 与与X2的的关关系系是是则则( ( ) ). . 解选(B).

6、A.有相同的分布B.数学期望(qwng)相等 C.方差相等D.以上均不成立 例2第10页/共23页第十页，共24页。11解例3 设事件A在每次试验中出现(chxin)的概率为0.5，试利用切比雪夫不等式估计1000次独立试验中，事件A出现(chxin)450到550之间的概率 设X表示(biosh)事件表示(biosh)在1000次独立试验中出现的次数，则, )5 . 0,1000( BX，500501000E .X25050501000D .X由切比雪夫不等式， 550450P X50|500|P X250D1X .90. 025002501 第11页/共23页第十一页，共24页。12二、常

7、见二、常见(chn jin)(chn jin)连续型分布的数连续型分布的数学期望和方差学期望和方差1. 均匀分布 其其它它 , 0 , 1)(bxaabxf xxxfXd)()(E baxabxd12122abab .2ba 第12页/共23页第十二页，共24页。13二、常见连续型分布二、常见连续型分布(fnb)(fnb)的数学期望的数学期望和方差和方差1. 均匀分布xxfxXd)()(E22 3133abab ，322aabb 22)(E)(E)(DXXX .12)(2ab xabxbad12 第13页/共23页第十三页，共24页。142. 2. 指数分指数分布布 xxxfXd)()(E 0

8、 ,00,e)(xxxfx 0dexxx 0dexx 0e1x 00deexxxx .1 第14页/共23页第十四页，共24页。152. 2. 指数分指数分布布 xxfxXd)()(E22 02dexxx 02dexx 002de2exxxxx .22 22)(E)(E)(DXXX .12 第15页/共23页第十五页，共24页。163. 3. 正态分正态分布布 xxxfXd)()(E xxfx e21)(222)(， xxxde21222)( tttde) (2122 tttttde21de22222 . tx 令令)0( 奇函数第16页/共23页第十六页，共24页。173. 3. 正态分布正

9、态分布2)(EE)(DXXX xxxde)(21222)(2 tx 令令 tttde22222 222de2tt ttttde2e2222222 .2 第17页/共23页第十七页，共24页。分布概率分布或概率密度 数学期望 方差 0-1分布，kkqpkXP 11 , 0 k)1, 10(pqp ppq二项分布knkknqpCkXP nk, 2 , 1 , 0 )1, 10(pqp npnpq均匀分布 else , 0 ,1)(bxaabxf2ba 12)(2ab 指数分布 else , 0 0 ,e)(xxfx )0( 121 正态分布，222)(e21)( xxf x)0( 2 泊松分布，

10、e!kkXPk, 2 , 1 , 0 k)0( 几几种种(j (j zhzhn)n)常常见见分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差第18页/共23页第十八页，共24页。19设设),(211 NX，),(222 NY，且且YX,相相互互独独立立，则则 )(E XY ， )(D XY . . 例1解,)(E21 XY22)(E)(E)(DXYXYXY .)(222122222121 22122)()E()(D)E()(D YYXX第19页/共23页第十九页，共24页。20设设随随机机变变量量 X在在区区间间,ba上上均均匀匀分分布布，1E X，4E2 X，试试求求 a 和和 b（ba ） 例2解

11、；3)E(ED22 XXX ；， 3D12)(1E22XabXba ；，62 abba .42 ba，因因此此 X 在在区区间间4 , 2 上上均均匀匀分分布布 第20页/共23页第二十页，共24页。21假设随机变量假设随机变量 X和和 Y 相互独立， 且都在区间相互独立， 且都在区间)1 , 0(上上均匀分布，试求随机变量均匀分布，试求随机变量YXZ 的数学期望的数学期望 例3解易见X和Y的联合(linh)概率密度为 其其它它， 01010 , 1),(yxyxf11xyO yxyxfyxgYXgZdd),(),(),(E)(E|EYX yxxyxyyyxx010010d)(dd)(d31 1010dd|yxyx第21页/共23页第二十一页，共24页。22练习(linx)：P131 习题(xt)四第22页/共23页第二十二页，共24页。23感谢您的观看(gunkn)！第23页/共23页第二十三页，共24页。NoImage内容(nirng)总结1。1. 0-1分布。第1页/共23页。下面利用期望和方差的性质重