向量视野下的三线共点

1、.中学生习作中学生数学-2 0 1年4月上第5 3期高中）向量视野下的三线共点上海市久隆模范中学20O071）姚瑾王乃宏指导教师李林林向量身份的独特性，对现代数学具有划时 代意义对解析几何的发展意义重大一、问题由来在初中，我们学习过三角形的重心、内心、 外心及垂心，其中涉及证明三线 高、中线、角平分线、中垂线）交于一点的问题.现在，笔者 试图通过向量在平面几何中的应用，来简化证 明过程，为读者打开向量的新思路，增强对向 量的了解和基础应用.垂心1.如图ABB EL AC所示，在，且CF ABC中，已知: 与BE交于点O.=3t F是BC中点， 1AF=ab+ac) 与共线，二AF经过点O,即问

2、题得证.综上所述：三角形三条中线交于一点. 结论上述对于垂心及重心的两种证明所示，延长求证:图12/ BC=OC-OB ca=oa-ocba=oa-Ob 又t OBLCA于点D/. OBOA- OC =0t OCLBAoc OA0b=0得 OBOA=OCOAOA "OB OC =0OAC B=0'/. AOLBC.综上所述：三角形三条高交于一点重心如图3 所示，在 ABC中，已知：是EAB中占1八、是中点，且与交于点O .，DACCEBD求证平分AOBC.证明如图/所示:连结，取中占1八、4aoBCF，连结AF.设珗AB=，2a A(Z=2 b .2.网址：zxss.4 6k

3、ifjct方式很好地体现了向量证明方法的优越性，可 见向量对于平面几何的一些证明，能更加方便快捷且结论完整.因此我们更坚定接下来的内 心、外心证明将全部采用向量法证明.内心3.如图分别是所示，已知 ABC5 6则要证CF过点P,交于一点/C即证CP平分/ C，即证存在设 | AB |= c | BC| = t AP 平分存在ZABP，使中，、ADBECFCACB+| CA| = b 平分1Z BABCAl I CB I )ACC +b )电子邮箱：zxss中学生数学-2 0 1年4月上第5 3期高中）BABC)珗AB+BP= ?2c壬軒h/ A 坯 BP= APDU AB DF b =0BAB

4、C )ABAB+ /2:<ib BC由平面向量基本定理ICA+=CA+a+ b+ ca+ b+ cBC=(+1珗珗2 瑋 h b=o 1EF AC=0 b+ h c珒=0，得bca+ b+ cbcABa+ b+ cAC，b)CICA+APbca+ b + cba+ b + cAC +ACaba+ b+ c (b存在厦b)a+ b+ cba )abCACBCP= X+.=P+pB（PA_pB +综上所述，三角形三条角平分线交于一点PC+ PD外心4.求证：三角形三条边的垂直平分线交于一点已知：如图所示,7=BA在ABCde中，、分ABACBC别为、占八、于点F.、的中ABAC、的中垂线交

5、与 垂直，求证：证明如图7 珗GF=hAB= bAC=c珒珗 E= E +CG+ G =11 珗珗()221珗2CB= AB- AC= t c珒BC c隼 bDF=DB+BG+GF1 1珗珗=b +()2 2J.珗- he珒-b =0即一GF BC=0 GRLbC.综上所述，三角形三条中垂线交于一点 三、题后反思上文利用向量证明了三角形的四心，相比 初中方法向量方法更具完整性和简便性通过四心证明可以初步体验到向量的便捷也能熟悉向量的各类性质，为之后的深入研究做 好铺垫 但是否所有题目用向量做都能更加便捷？向量的特殊性体现在何处？我们又该如何使用好这一工具”这些问题都有待之后的深入研究和学习四、引申拓展（口）矩形性质已知矩形点 为矩形ABCD , P所在平面上任意一点或在平面之外）贝恒有2 2 2 2I PA| + |PC| = |PB|+|PD|. 2证明 | PA| | B-BA-.(-BA=2 BADAPB| + |PC| |PD|)-)'BA+ PC+ PDDC-)(-)PC PD-PABPC P-)CA+ DBCB+亢+DA+A )2DA+0BAD*0.2 2 2| PA| + |PC | = |PB | + |PD|经过一系列的探索和研究 不难发现向量的巧妙之处 如果可以在日常学习中多一些观察和思考，将会更多的体会到向量的用途向量的作用很好的体现了数学解决问题的