单摆测量重力加速度实验的误差分析

1、单摆测量重力加速度实验的误差分析吉恒（云南省通海县第二中学，云南，玉溪652701 ）单摆实验是普通物理的基本实验之一，同时也是必做实验之一。其原理简 单、易懂，原则上只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作 过程中一些不可避免的因素会影响实验结果的精确度。为提高实验的精确度，减小各种不可避免因素给实验结果带来的影响，本文从以下几方面着手对此实验进 行分析和研究。首先，对摆角进行分析，因为随摆角大小的变化，摆遵循的运动规律是不一 样的。在实验原理中，一般是把它理想化地当作简谐运动来处理， 让其满足简谐 运动的运动方程，然后来求解其周期公式，事实上这是有条件限制的。因此本文 采用了

2、增维精细积分的方法来讨论单摆在什么样的摆角情况下才能够做线性动 力学分析，也就是单摆满足简谐运动运动规律的摆角范围。其次，单摆摆长的测量也是引起实验误差的原因之一。 本文就单摆摆长的不 同测量方法带来的B类标准不确定度（由实验仪器的精确度引进）进行计算、分 析、比较，以选取最佳测量方法。1.单摆测量重力加速度的实验原理如图1所示，单摆就是用一根不可伸长的轻线悬挂一个小球，使其可绕摆的 支点O做摆动，当小球作摆角很小的摆动时就是一个单摆。设小球的质量为m,其质心到支点o的距离为1（摆长）。建立自然坐标系， 根据受力分析，作用在小球上的切向力的大小为 mg sin ,方向总指向平衡点o,当 很小时

3、，有sin,此时切向力的大小近似为mg法向，绳的张力和重力的分力相平衡。根据牛顿第二运动定律,质点动力学方程为：ma t mg因at£dt2，代入上式得dtg_i上式即为单摆的运动微分方程。对上式移项得到若令则有其解为d2dt2A cos 0t式中A与 是待定常数。由于单摆运动的周期性，应有A cos 0 t TA cos 0t0T又因余弦函数的周期为2 ，故0T 2(2)(3)将式（2）代入得t 2 . g（4） g或g 4 2片（5）T2实验时，若只测量一个时间周期，则测量误差相对较大，因此一般采用测量 连续摆动n个周期的时间t,此时（5）式变为：(6)以上为基本实验原理，理想情

4、况（即忽略复摆，空气阻力，空气浮力等因素 对实验的影响）下只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作 过程中一些不可避免的因素会影响实验结果的精度。(8)根据增维思想.通过一维变量 式的齐次状态方程：1和x 0的引入,可将式（8）写成矩阵形于是式（8）简写为V HV0g . sinl00g .sinl0(9)根据矩阵分析理论其解为2.实验改进2.1摆角范围讨论在上述实验原理中，谈到当摆角很小时，可将sin近似为处理，但未确切 说明到底要多小；同时对 角增大了又是怎样的情况也没有考虑进来。因此，若 要建立单摆模型，让单摆摆动起来，摆角范围的大小就是首要解决的问题。记则单摆非线性动力学

5、方程变为：g .p sin l(10)eHtVg其中，V。为初始状态向量，V为任意时刻的状态向量为得解的递推表达式，将时间轴等分为N段,即to.ti.t2,.tj,tj 1. tN时间步长为t tj 1tj则由tj时刻的状态向量Vj .可求tj 1时刻的状态向量Vj 1。即H t .Vj i e Vj（ 11）其中指数矩阵eHt采用高精度、高效率的精细积分法。以上是采用高精度、高效率的增维精细积分推导出的求解单摆非线性动力摆 角和摆速（取摆角初始速度都为零）的迭推公式。通过单摆线性动力响应与非线 性动力响应的对比分析，得出了能简化为线性动力问题的最大摆角值及最大摆角 和摆长对非线性动力问题摆角

6、相位、摆速相位的变化规律，即当初始摆角小于010o时，采用非线性动力方程求解的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线分别与同一问题线性动力方程求得的摆角时程曲线、 摆角速度时程曲线几乎完全重合 达到同一周期两者间的相位差很小，可以忽略不计。但是当初始摆角超过010°后，随着初始摆角的增大，采用非线性动力方程求得的摆角、摆角速度达到某一平衡位置所需的时间分别比采用线性动力方程所得的摆角、摆角速度达到同一周期平衡位置所需的时间越来越长。因此，当初始摆角大于0 10°后， 不能采用简化的线性动力方程来求解单摆动力响应 ，否则所得结果与实际存在 较大的差距，而应采用非线性动力方程求解。所以

7、，若要采用简谐运动方程来求 解单摆周期公式，实验中单摆的摆角应该小于 10°，误差也才能因此而减小。换言之，只有在单摆摆动的角度小于10°的情况下，单摆的微分方程才可表 示为式（1）的形式，才可求解得|'1T 2 J（Ng相应地，重力加速度的表达式为g 4 2 l2。此即为实验原理中介绍的周期公式T和重力加速度公式的来由。2.2摆长的测量方法选择在测量摆长的过程中，方法选择的不同，误差的来源以及传递就不同，引起 的误差大也就不一样。在选用的长度测量工具都为米尺和游标卡尺的情况下（即仪器的精确度等级相同，其极限误差值相同），测量方法对由实验仪器引入的 B类标准不确定度U（b）的影响是不同的。实验中用毫米刻度的米尺测量摆线长度， 用游标卡尺测量摆球直径，其中米 尺的极限误差为厶=0.1mm，游标卡尺的极限误差为 = 0.02mn摆长的测量方法般如下二种如图2所示，h为支点到摆球上端的距离，12为支点到摆球下端的距离，D为摆球的直径方法1：1 11 12 12其B类标准不确定度为：方法2：1 11 %B类标准不确定度为：图2单摆摆长U B(0.1)2 (0.02)20.0954mm32 . 3方法3：1 12 %U B0.0954 mmB类标准不确定度为：显然， 选择第