北交大激光原理第4章谐振腔部分

1、第三章 光学谐振腔理论一、 学 习要求与重点难点学习要求1 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。4 理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。5 掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。6 了解非稳腔的模式理论。重点1 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2 传播矩阵分析方法；3 光学谐振腔的稳定条件；4 模自再现概念；5 自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方

2、法，及其解；7 谐振腔的横纵模式和光束特性；8 稳定谐振腔的等价共焦腔。难点1 传播矩阵的近似；2 非稳腔；3 模自再现概念；4 自再现模积分本征方程的建立5 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；6 谐振腔的横纵模式和光束特性；、知识点总结分立的本征态（振荡频率，空间分布）f模式的形成J形成驻波T纵模 驻波条件光的频率3tF 形成 衍射筛选_横模 自再现模了光场横向能量分布激光模式模式的表示方法：TEMmnq,m, n-横模指数，q-纵模指数询、人七、+衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分，有限范围的电磁场二谐振腔的作用T腔和模的联系U腔内存在的电磁场 U反映腔内光场的分

3、布理论方法T几何光学+干涉仪理 论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分-粗略但简单明了 光腔的损耗一光子的平均寿命一无源腔的 Q直一无源腔的线宽共轴球面腔的稳定条件：稳定判据适用任何形式的腔，只要列岀往返矩阵就能判断其稳定与否只使用于简单的共轴球面镜腔 （直腔）1.谐振腔衍射积分方程推导菲涅尔基尔霍夫积分公式T推广到谐振腔自再复常数因子T自再现模积分方程求解方法，解析解：特殊腔（对称共焦腔），本征函数一振幅和相位分布（等相位面）'I数值求解（数值迭代法）J I本征值-模的损耗、相移和谐振频率角向长椭球函数；基模：如"亠刖尸：本征函数'振幅和相位

4、高阶横模N不是很小时，厄密高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面-方形镜:对称共共焦腔的自再r单程损耗：& 9*監|=1-4NR0m(C,1)R01n)(C,1)2本征值径向长椭球函数 _鼻单程相移：0加“ mrg 监n =_kL +(m +n 41)兀 2谐振频率：谐振条件2占廟=-q 2兀Txmnq =2 q七m知41)4L(r2._ 4十皿基模：4o(x, y) =Cooe 厂二超椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模N不是很小时，拉盖尔高斯函数心、八左=甘旨小宀坐出,、希相位分布：反射镜构成等相位面圆形镜:单程损耗：只有精确解能够给出。本征值 T单程相移：Zdmn =arg=-kL

5、 4(m+2n比)江2谐振频率：谐振条件2回$n= -q 2兀TVLq =?2 q七m 42n舟)斗FL基模振幅：Eoo(x,y，Z foEo诺e*z'，w冷|守(1埠) ,T腔内行波场模体积等相位面：腔轴线附近近似为球面远场发散角：Q =lim 2w(z)L.沖Z一般稳定球面腔共焦腔与稳定球面腔的等价关系高斯光束三、典型问题的分析思路1 纵模间隔问题根据纵模频率间隔的公式计算L'-q问题还可以变为腔长如何选择,可获得单纵模输出等。2 分析某一谐振腔的稳定性问题这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面的稳 定腔判据公式：0 gig21 or g

6、 =g2 =0gi =12，g2 "第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写出这个 谐振腔的传输矩阵。利用下面的稳定判据公式：1-1< 2（A D） <1 稳定腔1（A+D） >1非稳定腔21-（A D）= _ 1临界腔分析谐振腔各参数所应满足的条件。第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近（傍）轴光R线f。而对于环形腔和折叠腔（非共轴球面腔），由于象散，球面镜在子午面和弧矢2面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面

7、为包含回路一边长，垂直于子R午面的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线,子午COSd。对于在与此2垂直的平面内传输的弧矢光线，f弧矢，二为光轴与球面镜法线的夹角。2cos 日3 谐振腔损耗问题光学谐振腔积分方程的特征值 咐它的实部决定腔损耗，特征值的虚部决定光波的单程相移。将特征值代入 Uq1中得：Uq1二e-Uqe-:。即表示腔内经单程度越后自再现模的振幅衰减。即的实部决定腔损耗，1表示每经一次度越的相位滞后，所以 的虚部决定的单程相移。单程相移：单程损耗：、伽=1 -=1 UmS1:为mn 二argarg；十nmn共焦腔模的谐振条件方形镜共焦腔谐振频率V|2"mn = 7

8、2；二='圆形镜共焦腔谐振频率VmnqmnqC1,八,27q 2(m n 1) 2CLq 4(m 2n d4 共焦腔问题例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。 对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为灶2,昨=.2niW°sWos而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径wpls2p+l +£w°s。只要求得了镜面上基模光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为OWos方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半 径及光束发散角都完全相同。X2 4

9、y2基模场振幅分布Eoo x,y,z =AooEo如e w(z)基模光斑尺寸2 二2、f2丿；1 f 7 1 fW0-2W0 s镜面上基模的光斑半径,Wo高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。腰斑尺寸：Wo = W° =镜面上光斑尺寸:共w z =w -f =Wos =焦腔基模体积：V。0二1 L二w0s2L2'高阶模体积:vm01L：wmsWn 2m 1 2n 1 ；'（模阶次愈高模体积愈大）等相位面（共焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径:R zo二r . LZo = f2）远场发散角:R zoi；=2f -L 等相位面与共焦腔镜面重合。石=0 Rz-

10、' ;Z）R z0' 等相位面为平面5般稳定球面腔问题可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达出来，此处可参考教科书。6 非稳定谐振腔问题P和P2的位置；计算非稳腔的能量损耗关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点 率、几何放大率等。共轭像点R和P2的位置分别为ll2，由球面镜成像公式'1 1 =_2.L+li 一12 一R21 _1 = 2L l2 l1 R1解得:2L - R| - R2-L( LR2)+Jl( LLR2)>( L RR2) Ii 二I2L( L 一RJ+ i. L( L-R)(L 一R2)( L 一 R 一R221_一尺 一&

11、几何放大率镜Mr的单程放大率mi|=1ai镜M 2的单程放大率 m2 = 2非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率M = mim2对望远镜非稳定腔（实共焦腔和虚共焦腔）m1m2a2a2M = m1m 1平均单程能量损耗单程=什."2 = 1- 丄丄=i -mj m2M往返能量损耗 往返=1-丨仁2=1 A =12mij m2M四、思考题1. 光学谐振腔的作用是什么？2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？3. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？4. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？5. 光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为

12、因素，为什么？6. 光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？7. 所谓 自洽”在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的？8. 谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此,谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？9. 共焦腔是什么腔？稳定性如何？10. 共焦腔是不是稳定腔？为什么？11. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？12. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。13. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？14. 非稳腔的优点是什么？15. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？16. 光学谐振腔的衍射损耗

13、与其什么参数相关？17. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？18. Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？19. 分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别，为什么？20. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的实部决定腔损耗？21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的虚部决定光波的单程相移？22. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/ Y它与单程衍射损耗因子之间有何关系？23. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？24. 为什么说对称共焦腔非常重要？25. 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表

14、示。26. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？27. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？28. 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器， B 激光器的激光束能不能匹配 地射入 A 激光器，为什么？29. 能否得到稳定谐振腔横模的解析表示，为什么？r1 =值和无1, 2的1 021 o折射率分别为5.2dn 。折射率为-1n的棱6. 导出下图中1、2、3光线的传输矩阵。四、练习题1. 光学谐振腔的作用。是什么？2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？3. CO2激光器的腔长 L = 1.5m，增益介质折射率n= 1，腔镜反射系数分别为0.985,2=

15、0.8,忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗、：，光子寿命.r , Q 源腔线宽.，。4. 证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为两介质分界球面半径为 RoR7. 已知两平板的折射系数及厚度分别为ni, di, n2, d?。(1)两平板平行放置，相距I,(2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么？8. 光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？9. 有两个反射镜，镜面曲率半径，Ri= 50cm, R2=100cm，试问：(1) 构成介稳腔的两镜

16、间距多大 ？(2) 构成稳定腔的两镜间距在什么范围？(3) 构成非稳腔的两镜间距在什么范围？10. 共焦腔是不是稳定腔，为什么？11. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为ABCD腔镜曲率半径为 R,、R2，证明：稳定性条件为0 ： g1g2 1，其中= D - B / R,； g2 = A - B / R2。12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。13激光器谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。14. 如下图所示三镜环形腔，已知I，试画出其等效透镜序列图，

17、并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f = Rdosv/2，对于在于此垂直的平面内传输的弧矢光线，f = R/(2cos * ,二为光轴与球面镜法线的夹角。15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？16. 试分析ABCD定律在光学谐振腔分析中的作用。17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？18. 非稳腔的优点是什么？19. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？20. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的模决定腔损耗？22. 为什

18、么说光学谐振腔积分方程的特征值的幅角决定光波的单程相移？23. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？24. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再现模？采用衍射积分方程方法研 究激光器的模式和采用几何光学的办法研究各有什么优缺点？25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？26. 谐振腔腔长L = 1m,介质折射率n = 1,两腔镜反射系数分别为 门=1, r2= 0.99, 求1500MHz线宽内包含的纵模个数。27. R = 100cm , L =40cm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？28. 若法卜里一珀罗平面干涉仪的腔长为

19、4.5 cm，它的自由谱宽为多少，能否分辨 = 6 10°mm，匚=0.01 nm 的 HeNe激光谱线？29. Fox-Li的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/Y，它与单程衍射损耗因子之间有何关系？31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？33. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？34. 分别由方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么？35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.能否得到稳定腔

20、横模的解析表示，为什么?为什么说对称共焦腔非常重要？如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？腔长L=1m的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为Ri= 1.5m, R2= 3m,求其等效共焦腔的腔长，并画出等效共焦腔的位置。方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30cm,腔镜反射率分别为ri= 1, r2= 0.96,方形孔边长d=2a=0.12cm,其它损耗以每程 0.003计，工作波长 =632.8 nm。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择0|4 lTEM00模，小孔的边长应为多大？试根据公式eg 1 = 1 3 10鼻估算氦氖增d益，l为增

21、益介质放电管长度。腔长L的对称双凹腔，反射镜曲率半径为R=2.5L,工作波长为求镜面上的基模高斯光束的光斑半径。今有一平面反射镜和一曲率半径为R=1m的凹面反射镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数。L=0.3mR=1m试求出方形镜共焦腔面上 TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗?求圆形镜共焦腔T EM20和T EM。?模在镜面上光斑的节线位置。腔长L=0.8m的球面腔，腔镜曲率半径分别为R1=1.5m和R2=1m。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体

22、位置。某二氧化碳激光器米用平、凹腔，L=50cm, R=2m, 2a=1cm, ，=10.6 口口。试计算-'s1、匕2、0、二0、： 0°、： 00各为多少。试证明，在所有a2/L，相同而R不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损 耗最低。L表示腔长，r = r = r2为腔镜的曲率半径，a为镜面半径。48. 推导出平-凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式，做出：（1 ）当R=100cm时,si、 a随L而变化的曲线；（2）当L=100cm时，si、亠2随R而变化的曲 线。49. 平凹腔中凹面镜曲率半径为R,腔长L=0.2R,光波长为，求此平凹腔产生的基模高斯光束的束腰半径

23、。50. 试证明经过焦距为 F的薄透镜，高斯光束的q参数传播满足 ABCD定律。51. 若A激光器的激光束经透镜变换匹配地射入B激光器，B激光器的激光束能不能匹配地射入 A激光器，为什么？52. 已知一高斯光束束腰半径为-.0，束腰与焦距为f的薄透镜相距为I，经透镜变换后 传输距离ii,又经一折射率为 n长l的透明介质后输出（如下图所示），求：1）高斯光束在介质出射面处的q参数和光斑半径；2）若将介质移到薄透镜处，即l1= 0 （不考虑可能存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角v53. 两支He-Ne激光器都采用平凹腔，尺寸如图所示，请问在何处插入焦距为多少的 透镜可以实现而者的模式匹配。R

24、l=lmR2=qORH1=50cn54. 采用方形共焦腔 He-Ne激光器的腔长L=30cm，反射镜尺寸为2a=0.2cm，如果一 个模式的光斑大小超过镜面尺寸，则认为该模式不可能存在，求此激光器的最高横模阶次。55. 已知高斯光束的束腰半径为-.0，求：1) A点与束腰相距为z,求光斑半径，(z);12) 如果测量到 A点光斑光强下降到最大值的处的半径为p，求p和(z)的关系。六、部分答案1. 光学谐振腔的作用。是什么？解题思考：关键概念：光学谐振腔答：一是提供正反馈，二是控制振荡模式特性。2. 光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？解题思考：关键概念：光学谐振腔，构成要素，作用答：光

25、学谐振腔的构成要素有：是否有边界、是否有反射镜以外的反射面、反射镜外形、反射镜面形状、镜曲率半径与腔长关系。是否有边界，决定光学谐振腔是否是封闭腔、波导腔或开式腔；是否有反射镜以外的反射面，决定光学谐振腔是复合腔还是简单腔；反射镜面形状，决定光学谐振腔是球面腔、非球面腔，以及是否是双凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、双凸腔；镜曲率半 径与腔长关系，决定光学谐振腔是稳定腔、临界腔或非稳腔。3. C02激光器的腔长L = 1.5m，增益介质折射率 n= 1，腔镜反射系数分别为 r1 = 0.985,r2 = 0.8,解题思考:忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗-,光子寿命R , Q值和无源腔线宽 宀。关键

26、概念：谐振腔单程损耗因子、光子寿命 R、Q值和无源腔纵模线宽 ,腔镜反射系数，CO2激光器的波长关键公式：1 1 in2期L'Mr 一R 2Q 二 2: R片ct1:Rin4兀 L'r1r2解: Jin2=亠0.119心 20.985 0.8L'1.5、c 0.119 3 108 皿 10卞）3迖108Q =2二 R =2二 4.2 10=7.410610.6 10R C In3 10 In -3.8 106(Hz)4二 L'r24二 1.5 0.985 0.84.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为质分界球面半径为 R。折射率分别为的两介解题思考:关键概念：折

27、射，传播矩阵关键公式:sin q _ 口2sin *1证:两介质分界球面光线出射处：i = rz(1)n sine日由折射定律和旁轴光线近似：二二竺丄2!(2)3sin日2日2f rI P = =日2 + 日以及入射、反射和折射光线间的几何关系：R2 z 卜=£式(1)联立解得：1R 22上式写成矩阵形式：1n n *1 门 iH_1 dM2证毕5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为。折射率为的棱镜高do解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵:'I L1：0 1 一，平面镜反射传播矩阵：'00 1_1 0 1平面界面透射传播矩阵:一

28、0十关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为211 O-1 O -1JO1 O-1 O - -n JO 16.导出下图中1、2、3光线的传输矩阵。解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式： 各向同性自由空间传播传输矩阵:1_0球面界面反射传播矩阵:-1011I01 -10121，平面镜反射传播矩阵：，球面界面透射传播矩阵：门2 nniR01一1n2R关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。解:设图中透镜材料的折射率为 n-12光线1：光线2：光线3：nIL-r10011 d 1£ 1o01 d仃 nR0 1

29、+1 =n_n -12dnR甲2dR22d2d nR011nRI n T一 Rdl7.已知两平板的折射系数及厚度分别为n1, d1, n2, d2。(1)两平板平行放置，相距I, (2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么解题思考：关键概念：传播矩阵关键公式：长方体传播传输矩阵:n,各向同性自由空间传播传输矩阵:11 0-1平面界面透射传播矩阵：0 H-°2关键点：以光线传播顺序对相应光学兀件的传播矩阵进行逆序乘积。解：(1)101 - n1° 1BdJ虫1 压口 =另法解:10.1 d2【o屯01 一0n_1 =.0di .生11 j

30、L0 1 J .08.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么?解题思考:关键概念：关键公式：光学谐振腔，光学谐振腔稳定条件；rn+ A CTJI D.An Cn 1 r1_Bn Dn . |占答：光学谐振腔稳定条件是0：g1g2 <1o这是一个要求很高的条件，没有例外。这是因为，在导出这一稳定条件时，尽管只是要求光线相对于光轴的偏折角小于90度，并没有限定光线的往还次数，因此这是一个严苛的条件。9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R仁50cm , R2=100cm，试问

31、：(1) 构成介稳腔的两镜间距多大 ？(2) 构成稳定腔的两镜间距在什么范围？(3) 构成非稳腔的两镜间距在什么范围？解题思考:关键概念：光学谐振稳定条件：0 ： g1 g2 ： 1 g v L g2 = 1 LR1R2关键公式：稳定腔：o ： g1g2 : 1，介稳腔：gg2 =0或 g© =1，非稳腔：gg2 ： 0或 glg21解:由gig 0,有（1 -丄刃 -卜“，解得：L =1°°或L = -50 （无物理意义，舍弃） 由g-i g2 =1，有（1 _ -）（1） = 1,解得：L = 50或L = 0 （无物理意义，舍弃）50100（2）由 0 g1

32、g2 ： 1，有 0 ：1构成介稳腔的两镜间距：L =50或100，解得：50 ： L : 100 或 _50 ： L . 0 （无物理意义，舍弃）构成稳定腔的两镜间距：50 : L <100由g1g2 : 0，有（1 -L-）（1 -L） 0 ，解得：L . 100或L ： -50 （无物理意义，舍弃）由 g1g21，有（1 一 丄）（1 一丄）1,解得：0 ： L ：: 50-50100构成非稳腔的两镜间距：L 100或0 ： L ： 5010.共焦腔是不是稳定腔，为什么?解题思考：关键概念：共焦腔、对称共焦腔、稳定腔关键公式：11光学谐振稳定条件：0 ： 942 : 1，共焦腔：L

33、R1R222关键点：腔镜曲率半径的正负、 1 1 解：共焦腔：L - R，1 R?R2g1g(1 -RR22 2 -)二(1 -_)(1二1(2R22R2R24R1=0R R,对称共焦腔1R2R=1R1 -R24R1R?< 0RR?L<0R -R2若该共焦腔为双凹腔，令:由:(ab)2 =0l0a2 b2有:、碍中普半厂0 RR2所以：4R-i R2 0 R - R2若该共焦腔为凹凸腔:-驰2 V2+R2R-R-R2有:-g»4(2+)!=1R =-R2（非共焦腔舍弃）R-& (a -综上所述，由光学谐振稳定条件：0 :： g1g2 : 1判定，共焦腔不是稳定腔；

34、只有对称共焦腔是介稳腔，其它结构类型的共焦腔均是非稳腔。11.腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为ABCD，腔镜曲率半径为R、尺，证明：稳定性条件为0 g1g2 ：1，其中g1 = D - B/ R ；g2 = A - B / R2解题思考：关键概念：光学谐振腔、稳定腔、传播矩阵-101关键公式：球面界面反射传播矩阵：12 1 1.R J关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积，并考虑光线在谐振腔中的多次往返。解：光线在谐振腔中的一次往返:R101'A Bl1 rc d c L = R201"A B = E1匕 D _ _

35、63;G其中:由:可得:E 二 A2 一空 BCR2F=A2B1 BDR22A2 “ 2B “ 2A GAC (D)( C)Rif2AB rBC (R2B可D）（R22BD)glR2D - g1R1BE =2Ag2 _A2 +BC则：F = 2Bg2 - AB BDG =?© A2 +2g； A_2g2 A2 _g2 AD)+2g2C + AC _DC BH =2Dg-2Ag1+4g1g2-2Dg2-D2 BC光线在腔内往返谐振n次，由Sylvester定理可得lEnFn IGHGnH1 E sinn -sin(n1) sin 匚 | G sin nF sin nIH sin n -

36、sin(n -1)1 其中，cos （E H）。2若希望旁轴光线不横向逸出腔外，应要求这四个矩阵元值不能无限大，即要求:cos匚卜1也就是要求:1一（E +H） <12对于题目所述球面镜谐振腔：11 2 2-E H =2gQ2-Ag1 DgAg? -Dg? BC -（A2 D2） 22对于光学谐振腔来说，光线传输矩阵元须满足：detT二EH -FG =1即: Ag1-Dg1-Ag2 Dg2-BC 丄（A2 D2） =12所以:光学谐振腔稳定性条件为：0 ： g1 g2 : 112试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解题思考：关键概念：平凹、双凹、凹凸共轴球面镜光学谐振腔、镜腔曲

37、率半径正负取值规定、稳定性判据关键公式：0 ： g1g2 : 1解：(1)平凹腔平面镜曲率半径为无穷大：g1 = 1，假设凹面镜腔对应正曲率半径R2: g2 = 1丄R2由稳定性条件：0 ： ga : 1可得：R2 L可见，凹面镜腔正曲率半径超过腔长的平凹腔，为稳定腔。双凹腔假设凹面镜腔正曲率半径R和R2，且R2HR : 9广1 -丄 g2=1-丄&，R2由稳定性条件：0 ： gv? : 1可得：L - R,或L : R1可见，双凹镜腔的腔长取值，或者超过两凹面腔镜中曲率半径较大的曲率半径，或者小于两者之中曲率半径较小的曲率半径，即为稳定腔。(3)凹凸腔假设凹面镜腔正曲率半径R，凸面镜

38、腔的负曲率半径 & :=1-丄 g2 =1 +丄R1，-R2由稳定性条件：0 ： g1g2 : 1L ： -尺进一步分析不等式解中对腔长取值要求可见，若凹面腔镜曲率半径值等于凸面腔镜曲率半径值的二倍：Ri= -2R2，腔长取值：L = -R2时为稳定腔；若凹面腔镜曲率半径值小于凸面腔镜曲率半径值的二倍：R ： -2R2，腔长取值：-R2 L R R,时也为稳定腔;若凹面腔镜曲率半径值大于凸面腔镜曲率半径值的二倍：-2R,，则两镜无法组成稳定腔，即凹面腔镜曲率半径值须低于凸面腔镜曲率半径值二倍是凹凸镜组成稳定腔的前提。13.激光器谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为 2m的凹面

39、镜组成，工作物L'=L 一1L'g1花，R2质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。关键概念：凹凸面镜谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、等效腔长、稳定性判据关键公式：0 :： g1g2 : 1L' =L -1-n解：R=1，R2 =2，丨=0.5，n -1.52解题思考:丄由稳定性条件：0 ： 922 : 1-)(10 ：（10 ：(L 0.829)(2.17 - L) : 2 可得：2.17(m) L 1.17(m) 或0 : L ：0.17（m）（腔长小于工作物质长度，不合理，舍弃 ）腔长L取值在1.17m, 2.17m范围内是稳定腔。14.

40、如下图所示三镜环形腔，已知I，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f = Rcos/2，对于在于此垂直的平面内传输的弧矢光线，f = R/(2cos二)，二为光轴与球面镜法线的夹角。15什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？解题思考：关键概念：稳定腔、介稳腔、非稳腔，谐振腔腔内行波、束腰、焦点IL(R2-L)Lg2©-1)乙(L-R2) +(L -RJg1 +g2 -2g42关键公式：*z2=LRL)= -©©1)(L - R2)* (L - R1 )

41、g1*g2-2g1g2l2 l(R2 -l)(R1 -l)(r +R2 -L)g42(1-gdL2F =、(L-R2)+ (L-R)2© +g2-2g42)2解：焦点即谐振腔腔内行波束最细之处，即束腰之处。腔内存在行波束，即存在稳定模式,是光学谐振腔内存在焦点的前提。光学谐振腔又分为非稳腔、介稳腔和稳定腔，完整的解答本题需要针对非稳腔、介稳腔和稳定腔三种情形分别予以讨论。但是，本课程对非稳腔和介稳腔腔内行波束性质涉及 的较少，所以针对非稳腔和介稳腔腔内是否存在焦点，也只能根据本课程已介绍的内容来 回答。针对稳定腔则可以通过与等价的对称共焦腔作细致的讨论。对于非稳腔情形，双凹镜组成的不

42、对称实共焦腔腔内存在焦点。对于介稳腔情形，双凹镜组成的对称共焦腔腔内存在束腰，存在焦点。对于稳定腔情形，其有等价的对称共焦腔腔内存在束腰，若该束腰位于稳定腔两腔镜之间:L(R2 -L)Zi2 0(L -&) (L -Ri)L(RiL)0(L-RJ (L-R)2 L(R2-L)(Ri -L)(Ri R2 -L) c(L-R2)(L-Ri)2F0则对应稳定腔腔内存在焦点。由上述方程组解得:R LR L或者R ： L* R2 vLR + R2 > L分别对应由曲率半径超过腔长的双凹面镜组成的稳定腔，以及由曲率半径不超过腔长但两镜曲率半径之和超过腔长的两镜组成的稳定腔。16. 试分析AB

43、CD定律在光学谐振腔分析中的作用。解题思考：关键概念：传播矩阵、ABCD定律、谐振腔稳定性解：在光学谐振腔分析中，光学谐振腔中光线n次往返反射传播所对应的传播矩阵为:A Bl0:AnBn _1As inn ©si n(n 1)©Bsinn©1c D-；CnDn_sin © C sin n©D sin n© -sin(n - 1沖 _按照ABCD定律，光学谐振腔中光线的最终坐标通过传播矩阵中的矩阵元素ABCD与初始坐标联系起来。在初始坐标为近轴光线的情况下，通过要求传播矩阵中的矩阵元素 ABCD为有限量，得到了光学谐振腔的稳定性条件。可

44、见，ABCD定律在在光学谐振腔的稳定性分析中发挥了重要作用。17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？解题思考：关键概念：对称共焦腔、稳定腔、等价对称共焦腔、腔内行波场、等相位面答：与稳定腔等价的对称共焦腔，是通过以对称共焦腔行波等相位面相同曲率半径反射镜 的插入而获得这种等价关系的，根据是光线可逆原理。因此，这种等价关系是建立在几何 光学的基础之上的，而不是建立在波动衍射光学的基础之上的。稳定球面镜谐振腔与其等 价对称共焦谐振腔真正相同的是腔行波的等相位面，即便是等相位面上的光电场大小分布也不一定相同。所以，稳定球面镜谐振腔与其等价对称共焦谐振腔，在谐振腔结构上

45、相同 的只有均为球面镜，不一定相同的有菲涅尔数，腔镜的曲率半径、反射率和尺寸，以及腔 长；在腔内行波上相同的有等相位面分布、双曲线形状、束腰位置及大小、远程发散角， 不一定相同的有纵模间距、衍射损耗、模体积、镜面光斑大小，以及输出激光束的束腰位 置及大小、远程发散角等输出激光参数。18. 非稳腔的优点是什么？解题思考：关键概念：非稳腔、非稳腔模式答：非稳腔的主要优点有：(1) 几何损耗高，容易鉴别和控制横模，适用于高功率激光器；(2) 模式体积大，对增益介质的体积利用率高；(3) 有平行光输出模式，易于得到单端输出和准直的平行光束，应用方便。19. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？解题思考：

46、关键概念：几何损耗、衍射损耗，稳定腔、介稳腔、非稳腔答：谐振腔中的损耗主要是指旁轴光线或称近轴光线的损耗，其中几何损耗存在于介稳腔 和非稳腔中，稳定腔中的旁轴光线不存在几何损耗。20. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？解题思考：关键概念：稳定腔、衍射损耗、菲涅尔数、横模2Ca2关键公式：=1 -()2R0m(C,1)R0n)(C,1)2, C = 2 U- =2 n nL扎答：光学谐振腔中的衍射损耗，主要由其菲涅尔数和横模模阶数决定。21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的模决定腔损耗？解题思考：关键概念：光学谐振腔、特征值、衍射损耗、自再现模关键公式：Uq 1二丄Uq答：在光学谐振

47、腔中，自再现模单程传播所经受的光电场衰减由u+=u式中谐振腔q 1q积分方程的特征值脅'描述。将光电场换成光强，即对上式两边取平方：lq 1 二与谐振腔单程损耗因子:I二占比较可得：可见，腔损耗由特征值的模决定。V 一22. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的幅角决定光波的单程相移？23. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？解题思考：关键概念：稳定腔、非稳腔、模式答：稳定腔的主要形式有：（1）双凹腔；（2）平凹腔；（3）凸凹腔。与非稳定谐振腔相比， 稳定腔的主要缺点有：（1）损耗小，选模能力差；（2）模式体积小, 对增益介质的体积利用率低。24. 光学谐振腔有

48、哪些常用研究方法？如何理解自再现模？采用衍射积分方程方法研究激光器的模式和采用几何光学的办法研究各有什么优缺点？解题思考：关键概念：光学谐振腔、自再现模、模式、衍射积分方程方法、几何光学办法答：研究光学谐振腔常用的方法有两种，一是几何光学办法， 一是衍射积分方程方法。在光学谐振腔研究中，一般以几何光学办法探讨近轴光线在光学谐振腔中的传播行为，研究光学谐振腔的稳定性问题；近轴光线在光学谐振腔中的衍射行为，则采用 衍射积分方程方法研究。自再现模则是在考虑了衍射行为的近轴光线，在光学谐振腔中反复反射往还后，所形成的有相对稳定函数分布的光电场分布，即光学谐振腔模式。几何光学处理方法，具有简洁易懂的优势

49、，但只能讨论光学谐振腔的稳定性；衍射积分方程方法相对深奥复杂，但可以提供光学谐振腔中自再现模的形成、模式光电场的强度和相位分布、腔内行波场、衍射损耗等光学谐振腔模式的所有性质。25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？解题思考：关键概念：稳定腔、纵模、横模答：电磁场理论表明，在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分立的 本征状态之中，场的每种本征状态将具有一定的振荡频率和空间分布。通常谐振腔内 可能存在的电磁场本征态称为腔的模式。光学谐振腔的模式，即是这种能够自再现的稳定的电磁场分布，对应着光学谐振腔的一系列本征态。其中包含着模式自再现物理思想。

50、不同的纵模相应于不同的q值，对应不同的频率。不同的横模，对应于不同的横向稳定的光场分布和频率。对纵模要求电磁场在频域上满足由驻波条件所要求的谐 振条件，对横模要求损耗小，主要是衍射损耗。26. 谐振腔腔长 L = 1m，介质折射率 n = 1,两腔镜反射系数分别为r1 = 1, r2 = 0.99，求1500MHz线宽内包含的纵模个数。27. R=100cm , L= 40cm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？28. 若法卜里一珀罗平面干涉仪的腔长为4.5cm，它的自由谱宽为多少，能否分辨=6 10 mm ,1=0.01 nm 的 HeNe 激光谱线？29. Fox-Li的数值迭代法解平行平面

51、镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？解题思考：关键概念：平行平面镜谐振腔、Fox-Li的数值迭代法答：主要结论有：(1) .镜面上的振幅分布为中央强边缘弱，偶对称；(2) .镜面上的相位不是等相位面分布；(3) .单程相移由几何相移和与横模相关的附加相移构成；(4) .谐振频率不只由腔长决定，还与横模相关。主要意义有：(1) .首次得到模式，证明模式自再现思想的正确性；它逐次近似计算直接求出了一系列自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在性，并从数学上论证了开腔自再现模积分方程解的存在性；(2) .迭代一次，光在腔内传播一次，是个针对光传输的精确计算方法；数学运算过程与模在腔中往返传播而形成自再现模的物理过程相对应，能加强理解自再现模形成的物理过程；(3) .原则上可应用于任何腔型的自再现模计算，利用标准化计算机程序可以求得任意精确度的数值解，具有普遍适用性。30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗1-1/丫 2,它与单程衍射损耗因子之间有何关系？31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？解题思考：关键概念：横模、谐振腔积分本征方程答：同一个光学谐振腔中不同横模的相同点有，都是谐振腔积分本征