江苏省2013届高考数学二轮复习专题7三角恒等变换与解三角形

1、江苏省 2013 届高考数学（苏教版）二轮复习专题7三角恒等变换与解三角形回顾 20082012 年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用 . 在解答题中有2008、 2011 年主要考查了三角化简求值，2009 年考查了向量与三角化简的综合问题， 2012 年考查角的恒等变换及正、余弦定理. 在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题., 在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在 2013 年的高考题中：填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不

2、一 .在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点 .sin cos 1(2012 ·南京名校4 月阶段性考试 ) 若sin cos 3，tan( ) 2，则 tan( 2 ) _.tan 1 2.解析：由题意得 3. 所以 tantan 1又 tan( ) 2，所以 tan( ) 2.所以 ( 2 ) tan( ) tan4.1 34答案： 32. 1cos 20 ° sin 10 °(tan 15° tan 5 °) _. 2sin 20 °2cos 210°cos 5 

3、6;sin 5 °解析：原式 4sin 10 °cos 10 ° sin 10 ° sin 5° cos 5 °cos 10 °cos 10 ° 2sin 20 °2sin 10 ° 2cos 10 °2sin 10 °cos 10 °°2sin 10cos 10 ° 2sin 30 ° cos 10 ° 2cos 30 ° sin 10°2sin 10°3 cos 30° 2 .3答案

4、：2AC3在锐角 ABC中，BC1，B 2A，则 cos A的值等于 _，AC的取值范围为 _ACBC解析：设 A ，则 B 2 . 由正弦定理得 sin 2 sin，ACAC 2cos 1? cos 2.由锐角得 0°<2 <90° ? 0°< <45°，ABC23又 0°<180° 3 <90° ? 30°< <60°，故 30°< <45° ? 2 <cos < 2 ，AC 2cos (2， 3)答案：2 (

5、2， 3)4(2012 ·西安名校三检 ) 在中，已知a， ，c分别为 ， ，C所对的边，SABCbAB为 ABC的面积若向量p (4 ， a2 b2c2) ， q (3， S) ，满足 p q，则 C _.2221222解析：由 p q? 4S 3( a b c ) 0，又 4S4× 2absin C3( a b c ) ，可得222 .sin 3× ab c 3cos ，即 tan 3，故C2abCCC3答案： 3445在 ABC中， A 为最小角， C为最大角，已知cos(2 A C) 3， sin B 5，则 cos 2( B C) _.解析： A 为最小

6、角，2A C A A C<A B C180°.43cos(2 AC) 5， sin(2AC) 5.C为最大角，B 为锐角又 sin4B 5，故cos3B 5.即 sin( A C) 4， cos( A C) 3.55 cos( B C) cos A cos(2 A C) ( A C) 24， cos 2( B C) 2cos2( B C) 255271.625527答案： 625典例1已知2 < <<34， cos(12 ) 13，sin(3 ) 5.(1) 用 ， 表示 2； (2) 求 解(1)2 ( ) ( ) sin 2 ，cos 2 的值 3(2)

7、因为 2 < < < 4 ，所以0< < 4 ， < <32.又因为cos( ) 12， sin(13 ) 3，5所以sin( )21cos 5 13， cos( ) 1 sin2 4 5.所以 sin 2 sin( ) ( )sin( )cos( ) cos( )sin( )4356，5× 12× 13513565cos 2 cos( ) ( )cos( )cos( ) sin( )sin( )124533313× 5 13× 5 65.三角函数式的化简、求值，常从角的差异入手，寻求条件与结论之间的关系，通过三

8、角恒等变换消除差异，使问题获解演练1152 11已知 sinx6 4，则 sin6 x sin6 x 的值为 _解 析 ： sin5211 sin22 x x sin x sin x666625sin x 6 sinx6 16.5答案： 16典例2(2012 ·南通第一次调研) 在斜三角形ABC中，角 A， B， C的对边分别为a， b，c.a(1) 若 2sinAcos CsinB，求 c的值；tanA(2) 若 sin(2 A B) 3sinB，求 tanC的值sinA a 解 (1)由正弦定理得 sinBb.从而 2sinAcos C sinB 可化为2acos C b.222

9、由余弦定理得2 × a b c .a2abba整理得 a c，即 c 1.(2) 在斜三角形 ABC中， A B C ，所以 sin(2 A B) 3sinB 可化为 sin ( A C) 3sin ( AC) ，即 sin( ) 3sin( ) A CA C故 sinAcosC cosAsin C3(sin Acos C cos AsinC) 整理得 4sin Acos C 2cosAsinC，因为 ABC是斜三角形，所以cosAcos C0，tanA1所以 tanC2.解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它们的使用的条件，合理选用解三角形常与三角恒等变换、三角求值综合考

10、查，要注意三角形中角的限制条件演练2tanA 2c在 ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1tanB b ，则角 A的大小为 _tan2B2sinC1tanA cAB sin解析：由B b ，得 cos AsinB，1 即 cos A ，故 A .23答案：3典例3(2012 ·安徽高考) 设 ABC的内角A， B，C所对的边为a， b， c；则下列命题正确的是_2若 ab>c ，则 C<；若 a b>2c，则 C< 3 ；若333，则abc<；C2若 ( a b) c<2ab，则 C> 2 ；22222若 ( a b ) c

11、 <2ab ，则C>3. 解析2cosa2 b2 c22ab ab 1?；ab>c?C2ab>2abC<32a b>2c? cosC2b2222b21ac>ab8aba? <；2ab2C 3当 时，c222c322>3b3与a3b3c3 矛盾；C2ab ?a cb c a取 a b2， c 1 满足 ( a b) c<2ab 得 C<2 ；取 2，c1满足(a2b2c2<222得)< .aba bC3 答案利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：化边为角结合内角和定理求解；化角为边结合勾股定理、三边关系

12、求解演练3sinB sinC在 ABC中， sinAcos B cos C，判断这个三角形的形状bc222解：应用正弦定理、余弦定理，可得ac2a2 b2a2 b2 c2，所以 b( a b ) c( a 2ca2ab2) ( ) cbc b c所以 ( b c) a2 ( b3 c3) bc( b c) 所以 a2 b2 bc c2 bc. 所以 a2 b2 c2.所以 ABC是直角三角形 专题技法归纳 (1) 在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解如角的变形：30°15&

13、#176; 45° 30° 60° 45°2， ( ) 2 2 ， 2 ( ) ( ) 4 4 .特别地， 4 与 4 为互余角， 它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高(2) 两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例 另外， 利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解1(2012 ·连云港调研 ) 在 ABC中，内角 A， B，C的对边分别是 a，b，

14、c，若 a2 b2bc， sin C2sin B，则 A _.解析：由 sin C 2sin12，所以 A 3 .答案： 332设 4 ， 4 ) _.22b2 c2 a2c2 bc 4b2 2b2B，得 c 2b. 又 ab bc，所以 cos A2bc2bc 4b2， 0，3354， cos 4 5， sin4 13，则 sin( 3解析： 4， 4， 4 0，2 ， 3又 cos 4 5，40， 3335 sin， ， sin 4 5 . 4，4 44 13，312cos4 13.sin( ) sin3 44 2 cos3 44 333124 5 cos 4·cos4 sin

15、4 ·sin4 5× 13 5× 135665.56即 sin( ) 65.56答案：65313已知 sin 5， 2， ， tan( ) 2，则 tan( 2 ) _.解析： sin3 ，4 5， 2， cos 5.311则 tan 4. 由 tan( ) 2，可得 tan 2，2× 12tan24tan 2 1 tan2 1 2 3.1 234tan tan 2 437tan( 2) 1 tan ·tan 2 34 24.14×37答案： 244. 如图， l 1、 l 2、 l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1与 l2间的

16、距离是1，l2与 l3间的距离是2，正三角形 ABC的三顶点分别在l、 l、l3上，则 ABC的12边长是 _解析：因为 l 1、l2、l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1 与 l2 间的距离是1，l2与 l3间的距离是2，所以过 A 作 l2的垂线，交 l 、 l3分别于点 D、E，如图，2则 BAD BACCAE，即 BAD60° CAE，记正三角形ABC的边长为a，两边取余弦得1cos 60 °· cossin 60 °sin ，即11×33×a232整理得，aCAECAEa2a2aa2 1，解之得， a221.3答案：2

17、213115已知 0， 4， (0 ， ) ，且 tan( ) 2，tan 7，则 2 的值是 _解析： tan tan( ) 1 tan1 3 ， tan(2 ) tan1 1.tan13， ， 7， 42 ， 4.32 4 .3答案：46在 ABC中， a，b， c 分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c 成等差数列， B30°，3 ABC的面积为 2，那么 b _.解析： 2b a c， a2 c2 ( a c) 22ac 4b2 2ac. 在 ABC中， B30°， ABC的313222cos Ba2c2 b2面积 2，所以 2acsinB 2，即 ac 6，于是

18、 a c 4b 12，由余弦定理得2ac34b2 12 b2324 2 3，于是 b1 3.，即12，解得 b22答案： 1 37中，C所对的边分别为，tansinA sinB ) cos，sin(ABCABabcCcos A cosBBAC则 B _.sinA sinBsinCsinA sinB解析：因为 tanC cos A cosB，即 cos C cosA cosB，所以 sinCcosA sinCcos B cosCsin A cosCsinB，即 sincos cossin cos sin sincos，CACACBCB得 sin( C A) sin( B C) ，所以 或 ( )

19、( 不成立 )CABCCAB C即 2，得 ，所以 2.C A BC3BA31又因为 sin( B A) cos C 2，则 B A 或 B A5 ( 舍去 ) ，66得 A ， B5 .4125答案：128已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB 2， BC 6， CD DA 4，则四边形ABCD的面积为 _解析：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积SS S 2· AB· ADsinA 2· BC· CD·sin C. ABDCDB11 180°， sin sin .ACAC故1· ·)sin116sin (

20、 (2 ×46×4) ·sinS 2AB AD BC CDA2AA.由余弦定理，在中，222 2· ·cos 20 16cos，ABDBD ABADAB ADAA222C 52 48cosC，在 CDB中， BD CB CD 2CB· CD·cos20 16cos A 5248cos C cos C cos A，64cos 32， cos1 .AA2又 0°<A<180°， A120°，故 S16sin 120 ° 8 3.答案：839在正三角形 ABC的边 AB、 AC上

21、分别取 D、 E 两点，使沿线段 DE折叠三角形时，顶点A正好落在边 BC上，在这种情况下，若要使 AD最小，则 AD AB_.解析：按题意，设折叠后A 点落在边 BC上改称 P点，显然 A、 P 两点关于折线DE对称，又设 BAP ， DPA ， BDP 2 ，再设 AB a，AD x， DP x. 在 ABC中，APB180° ABP BAP120° ，由正弦定理知：BPAB.sinBAPsin APBBPasin. 在 PBD中，DPBP，sin DBP sin BDPx·sin 2 sinxsin 2a所以 BP sin 60 ° ，从而 sin

22、 60 ° ，sin ·sin 60 °3aax sin 2 2 3.0° 60°， 60° 60° 2 180°.当 60° 2 90°，即 15°时， sin(60 °2 ) 1，此时x取得最小值3a (2 3 3)a，即最小，2 3AD 2 33.AD DB答案： 2 3310(2012 ·江苏高考 ) 设 为锐角，若 cos 4，则 sin2 的值为 _6512解析：因为 为锐角， cos 4，所以 sin 3，sin2 24，cos656562572171722 6 25，所以 sin2 12 sin2 642 ×2550.172答案：5011已知 ABC的三个内角A、 B、 C满足 A C 2B.112CA cosC cosB，求 cosAcos2的值解：由题设条件知B60°， A C120°A C设 2，则 A C 2 ，可得 A60° ，C60° ，11C11所以 cosAcos 1133112cos 2 sin2