数理方程习题综合

1、例1.1.1 设 v=v( 线 x,y), 二阶性偏微分方程 vxy =xy的通解。解原方程可以写成e ex （ ev ey ） =xy两边对 x 积分，得vy =（y） +1/2 x2Y,其中（y）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v（ x,y ）= vy dy+f （ x） =（y） dy+f （ x） +1/4 x2y222=f （ x） +g（ y）+1/4 x y其中 f （ x） ,g （ y）是任意两个二阶可微函数。例即 u( , ) = F( ) + G( ),其中 F( ),G( )是任意两个可微函数。例设有一根长为 L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平

2、衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。取定弦的运动平面坐标系是OXU ,弦的平衡位置为 x 轴，弦的长度为 L ，两端固定在 O,L两点。用 u(x,t) 表示弦上横坐标为x 点在时刻 t 的位移。由于弦做微小横振动，故ux0.因此0， cos 1,sin tan =u x0,其中 表示在 x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立 u 所满足的偏微分方程。在弦上任取一段弧MM ' ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置 x 和时间 t 的变化无关。事实上，因为弧振动微小，则弧段MM &

3、#39; 的弧长xx1 ux2 dx x 。sx这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，张力 T 与时间 t 无关。因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即精选文库T(x+x )cos -T(x)cos =0.由于 co's 1， cos 1,所以 T(X+x)=T(x), 故张力 T 与 x 无关。于是，张力是一个与位置 x 和时间 t 无关的常数，仍记为T.作用于小弧段MM ' 的张力沿 u 轴方向的分量为Tsin -Tsin T(u x(x+x ,t)-u x(x,t).设作用在该段弧上的外力密度函数为F（

4、x,t ）那么弧段MM ' 在时刻 t 所受沿 u 轴方向的外力近似的等于 F(x,t)x . 由牛顿第二定律得T（ ux(x+ x ,t)-u x(x,t)+F(x,t)x = u tt x ,其中是线密度，由于弦是均匀的，故为常数。这里utt 是加速度 utt在弧段 MM '上的平均值。设 u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得Tu zz （ x+ x ， t)x +F(x,t)x = uttx , 0<<1.消去 x ，并取极限x 0得Tu xx （ x,t ） +F(x,t)= u tt ,即20<x<L,t>0,u tt = u

5、xx +?(x,t),其中常数 2 =T/ ，函数 ?（ x,t ） =F(x,t)/ 表示在 x 处单位质量上所受的外力。上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程 ，又称 一维非齐次波动方程 。当外力作用为零时，即?=0 时，方程称为弦的自由横振动方程 。类似地，有 二维波动方程2(x,y),t>0,u tt = （u xx +u y y ） +? （ x.y.t） ,电场 E 和磁场 H 满足 三维波动方程2 E c2 2 E 和2 Hc2 2 H ,t 2t 2其中 c 是光速和2222。x2y2z2例 1.2.2 设物体在内无热源。在中任取一闭曲面S（图 1.2）

6、。以函数 u(x,y,z,t) 表示物体在 t 时刻， M=M(x,y,z)处的温度。根据 Fourier 热传导定律，在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面积dS 的热量 dQ 与时间 dt，曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比，即- k u dSdtn,-2精选文库其中 k=k(x,y,z) 是在物体M(x,y,z) 处的热传导系数，取正值。我们规定外法线n 方向所指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当u-n 方向流去。0 时，热量实际上是向n对于内任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为V，那从时刻 t1 到时刻

7、 t2 经曲面流出的热量为t 2udSdtQ1=-kt1 Sn设物体的比热容为 c(x,y,z) ，密度为 (x,y,z)，则在区域 V 内，温度由 u(x,y,z, t1 )到 u(x,y,z)所需的热量为t 2u dvdt .Q2cu(x, y, z, t2 )u(x, y, z, t1 ) dvcVt1Vt根据热量守恒定律，有Q2Q1即t2udSstcu（x, y, z, t2 )u(x, y, z, t1 ) dvkVt1Sn假设函数 u(x,y,z,t) 关于 x,y,z 具有二阶连续偏导数，关于 t 具有一阶连续偏导数，那么由高斯公式得t 2uuuukkdvdt 0 . ckt1

8、Vtxyyyzz由于时间间隔t1 , t 2 及区域 V 是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t，在内任意一点都有uuukucykykzxyyz(1.2.6)-3精选文库方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c 及均为常数，令 a2 =k，则方程 (1.2.6) 化为cua22 u2u2ua2 u ,(1.2.7)tx2y 2z2它称为三维热传导方程若物体内有热源，其热源密度函数为，则有热源的热传导方程为ut a2 u f ( x, y, z, t)(1.2.8)其中 fFc类似地，当考虑的物体是一根均匀细杆时如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同，那

9、么温度只与有关，方程变成一维热传导方程u ta2uxx（1.2.9）同样，如果考虑一块薄板的热传导，并且薄板的侧面绝热，则可得二维热传导方程uta2 (uxx uyy）（1.2.10）（ P16)例一长为 L 的弹性杆， 一端固定， 另一端被拉离平衡位置b 而静止， 放手任其振动。试写出杆振动的定解问题。解取如图 1.3 所示的坐标系。OLL+bx泛定方程就是一维波动方程（杆的纵振动方程）u tt =a 2 u xx ,0<x<L.在初始时刻（即放手之时），杆振动的速度为零，即u t (x,0)=0,0xL.而在 x=L 端拉离平衡位置， 使整个弹性杆伸长了b。这个 b 是来自整个

10、杆各部分伸长后的贡献，而不是x=L 一端伸长的贡献，故整个弹性杆的初始位移为b0xL.u| t 0 = x,L再看边界条件。一端 x=0固定，即该端位移为零，故有u(0,t)=0,0xL.另一端由于放手任其振动时未受外力，故有u x (L,t)=0,t 0.所以，所求杆振动的定解问题为-4精选文库u tt =a 2 u xx ,0<x<L,t>0,u(x,0)=b（ x,0)=0,0 xL,x, u tLu(0,t)=0,u x (L,t)=0,t0.（ P17）例：长为 L 的均匀弦，两端 x=0 和 x=L 固定，弦中张力为 T ，在 x=x0 处以横向力 F 拉弦，达到

11、稳定后放手任其振动。试写出初始条件。解：建立如图坐标系。设弦在 x0 点受到横向力T 作用后发生的位移为h,则弦的初始位移为hx,0 xx0,u(x,0)=x0h(L-x), x 0 x L,L-x 0其中 h 待求。由牛顿第二定律得F-Tsin1-Tsin 2=0，在微小振动的情况下，Sin 1tan 1= h , sin 2tan 2= h ,所以F=Th +Thx0L-x 0x0L-x 0因此h=Fx 0(L-x 0) .F(L-x ) ,0 xx ,TL00从而初始位移为u(x,0)=TLFx0(L-x) ,x0 x L.TL而初始速度ut (x,0)=0.(P18)例考虑长为L 的均

12、匀细杆的热传导问题。若（1）杆的两端保持零度；（2）杆的-5精选文库两端绝热；（ 3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热。试写出该绝热传导问题在以上三种情况下的边界条件。解：设杆的温度为u(x,t), 则（ 1） u（ x,t ） =0， u(L,t)=0.（ 2） 当沿杆长方向有热量流动时，由Fourier 实验定律得q 1ku0 , q 2kuxxL 'xx其中 q1,q2 分别为 x=0 和 x=L 处的热流强度。 而杆的两端绝热， 这就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦没有热量的流动，故有q1=q2=0 和ux ( 0 , t )0 ,u x( L , t )0 .(3)显然，此时

13、有u (0, t )0, ux ( L ,t )0 .例求 Poisson 方程 Uxx +Uyy =X2 +XY+Y2 的通解解 :先求出方程的一个特解 V=V （ x， y),使其满足Vxx +Vyy=X2 +XY+Y2由于方程右端是一个二元二次齐次多项式，可设V（ x，y)具有形式V(x,y)=aX4 +bX3 Y+cY4,其中 a,b,c 是待定常数Vx=4aX3+3bX2 YVy=bX3+4cY3Vxx=12aX2+6bXYVyy=12cY2得 Vxx+Vyy=12aX2 +6bXY+12cY2=X2 +XY+Y2比较两边系数，可得a=1/12,b=1/6,c=1/12于是 V （

14、x,y)=1/12(X4 +2X3 Y+Y4）下面求函数W=W(x,y), 使其满足Wxx+Wyy=0. 作变量代换e=x,n=iy( 以下的偏导的符号记为 d)Ue=du/de=du/dx=UxUn=du/dn=du/dy *dy/dn=-iyUee=dUe/de=UxxUnn=-Uyy可得 Wee-Wnn=0再作变量代换s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+UtUn=du/dn=Us-UtUee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2UstUnn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust那么方程进一步化为Wst=0其通解为 W=f(

15、s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中 f,g 是任意两个二阶可微函数。那么根据叠加原理，方程的通解为u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X4+2X3 Y+Y4)(P32)例 2.1.1 判断方程 U xx+2U xy -3Uyy+2Ux+6U y=0（ 2.1.22）的类型，并化简。解： 因为 a11= 1,a12= 1,a22= -3, 所以=a212-a11a22=4>0, 故方程为双曲型方程。对应的特征方程组为-6精选文库d ya 12a 212a 11a 223 ,d ya 12a 2 12a 11 a 22

16、d xa 11d xa 111 .该 方 程 组 的 特 征 曲 线 （ 即 通 解 ） 为 y 3 x c1 , yx c2 . 作 自 变 量 变 换y3 x ,yx 则u xx3uu ;u yuu ,u xx9 u6 uu ,u xy3u2 uu ,u yyu2 uu.将上述各式带入方程（2.1.22），得第一种标准形式u10.（2.1.23）u2若令 s, t2,则得到第二种标准形式2u ssu ttu su t0 .（ 2.1.24）下面对式（ 2.1.24）进一步化简。令uVe st , 则u s( V sV ) e st ，u t( V tV ) e st ,u ss(V ss2

17、 V s2 V ) eu tt( V tt2 V t2V ) e代入方程，得st,st .V ssV tt( 21 ) V s( 1 2 ) V t(22) V0 .我们取1，2则式（ 2.1.24）化简为V ss V tt0 ,（ 2.1.25）该方程不含一阶偏导数项。例-7精选文库例求值问题4y2vxx+2(1-y 2)vxy-vyy-2y/(1+y 2) (2v x-vy)=0,x R1,Y>01V(X,0)= （ X） ,V Y（ X,0 ） =（X）,X R的解，其中（x）是已知任意二阶可微函数，（x）是任意一阶可微函数。解先把所给方程化为标准型。特征方程组为dy/dx =-1

18、/2,dy/dx=1/2y2.其通解为x+2y=C1,x-2y3/3=C做自变量变换 =x+2y, =x-2y3/3,这样给定的方程化为标准型V =0依次关于和积分两次，得通解v=F（） +G（） . 代回原自变量x,y得原方程得通解v？（ x,y ） =F（x+2y ） +G（ x-2y2/3）其中 F,G 是任意两个可微函数。进一步，由初始条件得（ x） =v（ x,0 ） =F（ x） +G（ x）, （x）=VY（ x,0 ） =2F（ x）从而求出-8精选文库F（ x）=F（ 0） +1/2 x0（t ） dt,G （ x） =（ x） -F （ 0）-1/2 x0（t ） dt.所

19、以原定解问题的解为v（ x,y ） =（ x-2y3/3 ） +1/2 x+2y x-2y3/3 （t ）dt.例设常数 A,B,C 满足 B2-4A C 0,m1,m2 是方程Am2+Bm+C=0的两个根。证明二阶线性偏微分方程Auxx+Buxy +Cuyy =0 的通解具有如下形式：u=u(x,y)=f(m x+y)+g(m2x+y),1其中 f,g是任意两个二阶可微函数。证 不失一般性，设A0 和 B2-4AC>0. 其它情况可以类似的处理。令 =mx+y, =mx+y. 则12U=mu+m u， u =u +u， U =m2u+2mmu+m2ux1 2yxx11 22u =u+2

20、u+u,uxy=mu+(m +m)u+uyy1 12上述式代入得：（ Am12+Bm1+C） u +（ Am22+Bm+C） u +(2Am1m2+B(m1+ m2)+2C)u =0由题意得Am12+Bm1+C=0， Am22+Bm+C=0，m1+m2 =B/A, m 1m2=C/A上述式代入得(1/A)(4AC-B2)u =0又由题意得4AC-B2 0故 u =0对该方程两边分别关于和积分， 得通解 u=f( )+g（）， 代回自变量 x,y, 得方程的通解是u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m 2x+y),其中 f,g是任意两个二阶可微函数。证毕。端点自由的半无限长的均匀弦振动的定解

21、问题-9utta 2uxxf x, t0 x, t 0,u x,0x ,utx,0x , 0 x,ux 0,t0,t0.精选文库因为 ux 0, t0 , 我们对函数f ,关于 x 做偶延拓。定义F x,t ,x 和x 如下：x , x0,xx , x0.xx ,x0,x ,x0.F x,tfx,t ,x0, t0,fx, t ,x0, t0.函数 F x, t ,x ,x 在x上是偶函数。由推论3.1.1 ， U x, t 是关于 x的 偶 函 数 ， 且 ux 0,tU x0,t0.这样得到定解问题（3.1.22 ）的解u x, t Ux,t ( x0, t0). 所以，当 xat 时，u

22、 x,t11x atx at22a当 0 xat 时，xat1dxat2at x a tf,d d（ ）0 x a tu x,t1atat x1at xx atdx2ad200txa txx a tt（ 3.1.24）1a1x a tf , df , d d .2af , d d0002axx a tta例-10精选文库-11精选文库-12精选文库端点固定的半无限长的均匀弦振动的定解问题考虑定解问题-13精选文库求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数使其在上也有定义，这样把半无界区域-14精选文库上的问题转变成上的初值问题。然后利用达朗贝尔公式（），求出在上的解u（ x,t）。同时-15精

23、选文库使此解 u（ 0,t)满足 u（0，t)=0. 这样当 x 限制在上就是我们所要求的半无界区域上的解。-16精选文库由微积分知识可知，如果一个连续可微函数g（x)在上是奇函数，则必有g（ 0） =0.因此要使解u=u （ x,t) 满 足u （ 0,t)=0 ， 只 要u(x,t) 是x的 奇 函 数 便 可 。 而 由 推 论， 只 要f(x,t),是x的 奇 函 数 。 因 此 对 函 数-17精选文库f和关 于x作 奇 延 拓 。 我 们 定 义F-18精选文库（x,t),和如下：-19精选文库显然函数F和在上是奇函数。然后考虑初值问题-20精选文库（）由（ 3,1,15)，问题（

24、的解是（）-21精选文库所以问题（的解 u（ x,t) 在上的限制。于是当时，（-22精选文库当时，（）例确定下列方程标准型(1) uxx+2uxy -2u xz+2uyy+6uzz =0(2) 4uxx4uxy2uyzuyuz0.解 :(1) 方程对应的系数矩阵是111A120. uxx2uxy 2uxz 2uyy 6uzz 0,106利用线性代数中把对称矩阵化为对角型的方法, 我们可选取-23精选文库100,B11011122则 BABTE, 这里 E为三阶矩阵 ,令xxB yy x.zyzx22则给定的方程化简为uuu0 .(2) 方程对应的系数矩阵是420A201.010因为BABT1

25、00010,001其中1002B110'21112所以取xx2xByy.2zx2yz则给定的方程化简为uuuu0.例求解下列初值问题u tt9 u xxe xe x ,x, t0 ,ux , 0x , u tx , 0sinx ,x.解：利用达朗贝尔公式（）得-24精选文库11xat1tx a tu x , txatxatdf, d d22 a2 a 0x atx a t11x3 t1tx3t2x3 tx3 t6x3 t sind60x3teeddx1sinx sin 3 t2sinhx2sinhx cosh3 t ,399易见，解 u x, t关于 x 是奇函数。4.2.1波动方程的

26、初边值问题例 4.2.1设边长为 L 的弦，两端固定，作微小横振动。已知初位移为（x） , 初始速度为（ x） , 试求弦的运动规律。解： 该物理问题可归为下列定解问题：u tta 2 u xx , 0xL , t 01u ( x , 0 )( x ), u t ( x , 0 )( x )u ( 0 , t ) u ( L , t ) 0设上述问题有非零变量分离解u(x,t)=X(x)T(t).代入上述问题 1 中得：(t)=a2T(t)，X(x)TX (x)由此设：T·· (t) a2T(t) =X·· (x) X(x) =-（记 - 为比值常数），

27、并得：T·· (t)+ a2T(t) =02·· X(x) = 0,3X(x)+再根据边界条件u(0,t)=u(L ,t)=0,得： X(0)T(t)=X(L)T(t)=0 ,T(t) 0, 则X(0)=X(L)=0 ，由上分析，得：X"(x )X( x)04X( 0)X (L)02x- x（ 1） =- 0时，方程组 412, 代入 X(0)=X(L)=0 ，的通解为： X(x)=C e+C e解 得 常 数 C1=C2=0, 即 得 零 解 X(x)=0（ u=0 ） ， 不 合 初 设 u 为 非 零 解 ， 舍 去 ；（2） =0 时，方程组 4的通解为：X(x)=12,代入 X(0)=X(L)=0 ，解得零解C x+ CX(x)=0（u=0），舍去；（3） = 2 0 时，方程组4的通解为： X(x)=C1cos x+C2sin x.代入 X(0)= X(