数列求和7种方法(方法全-例子多)

1、.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：Snn(a1an )na1n(n1) d22na1q n )(q1)2 、等比数列求和公式：Sna1 (1a1an q1)1q1q(qn1n(nn1n(n3、 Snk1)4、 Snk 21)(2n1)k12k 16nk 3 1n( n 1) 25、 Snk12例 1已知 log 3 x1，求 xx 2x3xn的前 n 项和 .log 2 3解：由 log 3x1log 3xlog 3 21xlog 2 32由等比数列求和公式得Snxx2x3xn（利用常用公式）11)1 1 x(1xn )

2、2 (12n1x112n2例 2设 S 1+2+3+*,求 f (n)Sn的最大值 . +n ，n Nn(n32)Sn1Sn11)， Sn11)( n2)（利用常用公式）解：由等差数列求和公式得n(n(n22 f (n)Snn2n34n64(n32)Sn 1111850n3464(n)2nn508，即 n 8 时， f (n)max1 当n508可编辑.题 1. 等比数列的前项和S 2 ，则题 2 若 1 2 +2 2+ +( n -1) 2= an 3 + bn 2 + cn ，则 a=,b=,c=.可编辑.解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方

3、法，这种方法主要用于求数列a n· b n 的前 n项和，其中 a n 、 b n分别是等差数列和等比数列 .例 3求和： Sn13x 5x27x3(2n 1) xn 1解：由题可知， ( 2n 1) xn 1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列 xn1 的通项之积设 xSn1x3x25x 37 x4(2n1) xn .（设制错位）得(1x) S12x2x 22x32x42x n 1(2n1) xn（错位相减 ）n再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x 1xn 1( 2n1)x n1x可编辑.Sn(2n1) xn 1(2n1)xn(1 x)(1 x) 2例 4求数列2

4、,4,6,2n,前 n 项的和 .222232 n2n1的通项之积解：由题可知， n 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列 n22设 Sn2462n2223n2212462n（设制错位）Sn2223242n 12得 (11 )Sn222222n（错位相减）222223242n2n 1212n2 n12n 1Sn4n22 n1练习题 1已知，求数列 an 的前 n 项和 Sn.答案：可编辑.练习题 2的前 n 项和为 _答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）数列相加，就可以得到n 个 (a1an ) .例 5求证： Cn03C n

5、15C n2(2n 1)C nn(n 1)2n证明： 设 SnC n03C n15C n2(2n1)C nn .把式右边倒转过来得S(2n 1)C n( 2n 1)C n 13C 1C0nnnnn又由CnmCnn m 可得，再把它与原（反序）可编辑.Sn(2n1)C n0(2n 1)C n13C nn1Cnn . .+ 得2Sn(2n2)(C n0C n1C nn1C nn )2(n1)2 n（反序相加）S(n1)2nn例 6求 sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin2 89 的值解：设 Ssin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89.将

6、式右边反序得Ssin 2 89sin 2 88sin 2 3sin 2 2sin 2 1 . （反序）又因为sin xcos(90x), sin 2 x cos2 x1+得（反序相加）2S (sin 2 1 cos2 1 )(sin 2 2cos2 2 )(sin 2 89cos2 89 ) 89 S 44.5题 1已知函数可编辑.（1）证明：；（ 2）求的值 .解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边= 右边（ 2）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，可编辑.两式相加得：可编辑.所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆

7、开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7求数列的前 n 项和： 114,17, ,13n21,a2n1，(1 1) (1a( 1a1解：设 Sn4)7)(3n2)aa2an1将其每一项拆开再重新组合得Sn1111) (1473n 2)（分组）(1a2ana当 a 1 时， Sn n(3n1)n(3n1)n（分组求和）22可编辑.11(3n 1) naa1 n(3n1)n当 a1时， Snan1212a1a例 8求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 .解：设ak(k1)( 2k1) 2332kkkknn Snk ( k 1)(2k 1) (2k33k2

8、k)k1k1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn 2k 33k 2k（分组）k1k 1k1 2(1323n3 )3(1222n2 )(1 2n)n2 (n1) 2n(n1)( 2n1)n(n1)（分组求和）222n(n 1)2 (n2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解 （裂项） 如：（ 1） anf ( n1)f (n)（ 2 ）sin1tan(n1)tan ncos n cos(n1)（ 3） an11)11（ 4） an(2n(2n) 21)11 (11)n(n

9、nn 11)(2n22n 12n1（ 5） ann(n11 1(n11)(n 2)2 n(n 1)1)(n2)(6) ann 212( n 1) n 111, 则 Sn11n(n1)2nn( n1)2nn 2n 1(n1) 2n1)2n( n（ 7） an11(11)( AnB)( AnC )C BBAnCAn可编辑.（ 8） an1n 1nnn 1例 9求数列1,1,1,的前 n 项和 .2n123n1解：设 an1n1n（裂项）nn1则 Sn111（裂项求和）1223nn 1 ( 21)(32)( n 1n ) n11例 10在数列 a n 中， an12n，又 bn2n 1 n 1，求数

10、列 b n 的前 n 项的和 .n 1anan 1解： an12nnn1n1n12 bnn218( 11)（裂项）nnn 12 2 数列 b n 的前 n 项和1111111)（裂项求和）n8(1)()()(Sn 122334n 8(11) 8nnn11例 11求证：111cos1cos0 cos1cos1 cos 2cos88cos89sin 2 1解：设 S111cos1cos2cos88 cos89cos 0 cos1sin 1tan(n1)tan n（裂项）cos(n1)cos nS111（裂项求和）cos1 cos 2cos88cos89cos0 cos11(tan 1tan 0)

11、(tan 2tan1 )(tan 3tan 2 ) tan 89 tan 88 sin 11(tan 89tan 0 ) 1cot 1 cos1sin 1sin2 1sin 1可编辑.原等式成立练习题 1.答案：.可编辑.练习题 2。=答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求nS . 例 12 求 cos1 °+ cos2°+ cos3 °+ ·+ cos178°+ cos179 °的值.解：设 S cos1 °+

12、cos2 °+ cos3 °+ ·+ cos178 °+ cos179°n cosncos(180n )（找特殊性质项）Sn （ cos1 °+ cos179°）+ （ cos2 °+ cos178 °）+（ cos3 °+ cos177 °）+ ·+ （ cos89 °+ cos91 °）+ cos90°（合并求和）可编辑. 0例 13数列 a： a11, a23, a32, an2an 1an ，求 S .n2002解：设 S2002 a1a

13、2a3a2002由 a11, a23, a32, an 2an 1an 可得a41,a53,a62,a71,a83,a92,a101,a113,a122,a6 k 11, a6k 23, a6k 32, a6 k 41, a6k 53, a6 k 62 a6k 1a6 k2a6 k 3a6k 4a6k5a6k60（找特殊性质项）2002 a1a2a3a2002（合并求和）S ( a1a2a3a6 ) ( a7a8a12 )(a6k 1a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002 a1999a2000a2001a2002 a6 k 1a6k

14、 2a6k 3a6 k 4 5例 14在各项均为正数的等比数列中，若a5 a6 9, 求 log 3 a1log 3 a2log 3 a10 的值 .解：设 Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比数列的性质mnpqamanap aq（找特殊性质项）和对数的运算性质log a Mlog aNlog a MN得Sn(log 3 a1log 3 a10 )(log 3 a2log 3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 )（合并求和） (log 3 a1a10 )(log 3 a2a9 )(log 3 a5a6 ) log 3 9log 3 9log 3 9 10可编辑

15、.练习、求和：可编辑.练习题1设，则 _答案： 2.练习题 2 若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1 ·，则S17+ S33 50等于()n可编辑.A.1B.-1C.0D .2解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=答案： A练习 题 3100 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-1 2 的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案： B七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和

16、，是一个重要的方法.例 15求 1111111111之和 .n个1解：由于 111 1199991(10 k1)（找通项及特征）k个19k个19 111 1111111n个11 (1011)1 (1021)1 (1031)1(10 n1)（分组求和）99991(10110 210310 n )1(1 111)99n个1可编辑.110(10 n1)n10199 1 (10n 1 10 9n)81例 16已知数列 a n ： an8, 求( n1)(anan 1 ) 的值 .1)( n3)(nn 1解： ( n1)(anan 1 )8( n1)11（找通项及特征）(n1)(n3)(n2)( n4) 811（设制分组）(n2)(n4)(n3)(n 4) 4(1111（裂项）2n)8 (3n)n4n4 (n1)(anan 1 )4(11)8(11)（分组、裂项求和）n 1n 1 n2 n 4n 1 n3 n 44 (11 )81344 133提高练习：1 已知数列 an中， Sn 是其前n 项和，并且 Sn 14an2(n1,2,L ), a1 1 ，设数列 bn