数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

1、第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h);h(2)2hA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h);f (x)dx2h1(3)f ( x)dx f ( 1)2 f (x1)3 f ( x2 )/ 3;1(4)hh f (0)f (h)/ 2ah2 f (0) f (h);f ( x)dx0解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1 次多项式就不准确成立，进行验证

2、性求解。（1）若 (1)hf ( h)A f (0)A f (h)f ( x)dx A1h01令 f (x) 1，则2hA 1A0A1令 f(x)x ，则0A 1hA1h令 f(x)x2 ，则2 h3h2 A 1h2 A13从而解得A04 h3A11h3A 1 1 h3令 f (x)x3 ，则hh0f (x)dxx3dxhhA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f ( h) 0hf (h)A f (0)A f (h) 成立。故f ( x)dx A1h01令 f (x)x4 ，则hf ( x)dxh2h5hx4dxh5A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)2 h53故此时，hf

3、(x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)hh故f ( x)dx A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)h具有 3 次代数精度。（2）若2 hf ( x)dxA 1 f ( h)A0 f (0) A1 f (h)2 h令 f (x)1 ，则4hA 1A0 A1令f (x)x ，则0A 1hA1h令 f (x)x2 ，则16 h3h2 A 1 h2 A13从而解得A04 h38A1h3A 18 h3令 f (x)x3 ，则2 h2 hx3dx 0f ( x)dx2 h2 hA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h)0欢迎下载22 hf ( h)A f (0

4、)A f ( h) 成立。故f ( x)dx A12h01令 f (x)x4 ，则2 hf ( x)dxx4dx64 h52 h2 h2 h516 h5A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)3故此时，2 hf ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)2 h因此，2 hf ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)2 h具有 3 次代数精度。1（3）若f ( x)dx f (1)2 f ( x1 ) 3 f (x2 )/ 31令 f (x)1 ，则1f ( x)dx2 f (1)2 f ( x1 )3 f (x2 )/ 31令 f (x)x

5、，则012 x13x2令 f (x)x2，则2 1 2x123x22从而解得x10.2899x10.6899或x20.1266x20.5266令 f (x)x3，则110f ( x)dxx3dx11 f (1)2 f (x1)3 f ( x2 )/ 301故f (x)dx f (1)2 f ( x1 )3 f (x2 )/ 3 不成立。1因此，原求积公式具有2 次代数精度。hh f (0)f (h)/ 2 ah2 f (0) f (h)（4）若f ( x)dx0欢迎下载3令 f (x)1 ，则hh,f (x)dx0h f (0)f (h)/2ah2 f(0)f(h)h令 f (x)x ，则hh

6、1 h2f (x)dxxdx002h f (0)f ( h)/2ah2 f(0)f(h)1 h22令 f (x)x2，则hh1 h3f ( x)dxx2dx003h f (0)f (h)/2ah2 f(0)f(h)1 h32ah 22故有1 h31 h32ah2321a12令 f (x)x3，则hh1 h4f ( x)dxx3dx004h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h41 h41 h412244令 f (x)x4，则hh4dx1 h5f (x)dxx005h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h51 h51 h512236故此时，hh f (

7、0)f (h)/ 21 h2 f(0) f( h),f (x)dx012欢迎下载4hh f (0) f (h)/ 21h2 f (0) f (h)因此，f ( x)dx012具有 3 次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：1xdx, n8;(1)x20 411(1ex ) 2(2)dx, n 10;0 x9(3) xdx, n 4;1(4)解：64sin2d , n6;0(1)n8,a 0,b1,h1 , f ( x)x84 x2复化梯形公式为h7T82f ( xk )f (b)0.11140 f ( a)2k1复化辛普森公式为h f ( a)77S84f ( x1 )2f

8、(xk )f (b)0.111576k0k2k 11(2) n10, a0,b1,h1, f ( x)(1e x) 210x复化梯形公式为h f (a)9T102f ( xk )f (b)1.391482k1复化辛普森公式为h99k 1 )S10 f (a)4f ( x2f ( xk )f (b)1.454716k 02k 1(3) n4, a 1,b9, h2, f (x)x,复化梯形公式为h f (a)3T42f ( xk )f (b)17.227742k1复化辛普森公式为欢迎下载5h f (a)33S44f ( x1 )2f (xk )f (b)17.322226kk2k10(4) n6

9、,a0,b, h, f ( x)4sin2636复化梯形公式为h f (a)5T62f ( xk )f (b) 1.035622k1复化辛普森公式为h f (a)55S64f ( x1 )2f (xk )f (b)1.035776kk2k103。直接验证柯特斯教材公式（2。 4）具有5 交代数精度。证明：柯特斯公式为bba 7 f (x0 )32 f ( x1)12 f ( x2 )32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )f (x)dxa90令 f (x)1 ，则bb aaf (x)dx90ba 7 f ( x0 ) 32 f (x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f

10、 ( x4 ) b a90令 f (x)x ，则bb1 (b2a2 )f (x)dxxdxaa2b a 7 f ( x0 ) 32 f (x1) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b2a2 )902令 f (x)x2 ，则bb1 (b3a3 )f (x)dxx2dxaa3b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b3a3 )903令 f (x)x3 ，则欢迎下载6bf (x)dxb3dx1 (b4a4 )axa4b a 7 f ( x0 ) 32 f (x1) 12 f (

11、 x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b4a4 )904令 f (x)x4 ，则bf (x)dxb4dx1 (b5a5 )axa5b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b5a5 )905令 f (x)x5 ，则bf (x)dxb1 (b6a6 )ax5dxa6b a 7 f ( x0 ) 32 f ( x1) 12 f (x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )1 (b6a6 )906令 f (x)x6 ，则hf (x)dxba 7 f ( x0)32 f ( x1) 1

12、2 f ( x2 ) 32 f (x3)7 f ( x4)090因此，该柯特斯公式具有5 次代数精度。4。用辛普森公式求积分1e xdx 并估计误差。0解：辛普森公式为Sb6a f (a)4 f ( ab)f (b)2此时，a0,b1, f ( x) e x ,从而有11e 1 )S(14e 20.632336误差为R( f )b a ( ba )4f (4) ( )180 21 1 e0 0.00035,(0,1)180 245。推导下列三种矩形求积公式：欢迎下载7f (x)dx (b a) f ( a)f ( ) (b a)2 ;ba2b(ba) f (b)f() (ba)2 ;f (x)

13、dxa2f (x)dx (b a) f ( a b )f ( ) (b a)3;ba224证明：(1)f ( x)f (a) f ()( xa),( a, b)两边同时在 a, b 上积分，得bbf (x)dx (b a) f (a)f ( ) (x a)dxaa即bf ( ) (b a)2f (x)dx (b a) f ( a)a2(2)f ( x)f (b) f ()(bx),( a,b)两边同时在 a, b 上积分，得b(ba) f ( a)f()bx)dxf (x)dx(baa即b(ba) f (b)f() (ba)2f (x)dxa2(3)f ( x)f ( a b)f ( ab)(

14、 xab )f ( ) (xa b)2 ,(a, b)22222两连边同时在 a, b 上积分，得b(ba bfa bba bf ( )ba b2dxf (x)dxa) f ()()(x)dx( x)a22a22a2即b(ba) f ( ab )f() (ba)3;f (x)dxa224I16。若用复化梯形公式计算积分exdx ，问区间 0,1 应人多少等分才能使截断误差不超0过 110 5 ？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1 应分多少等分？2解：采用复化梯形公式时，余项为Rn ( f )ba h2 f ( ),(a, b)12欢迎下载8又 I1ex dx0故 f (x)ex ,

15、 f ( x) ex, a 0,b 1.R ( f )1h2 f ( )e h2n1212若 Rn ( f )110 5，则2h2610 5e当对区间 0,1 进行等分时，1h ,n故有ne 10 5212.856因此，将区间213 等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为Rn ( f )ba ( h )4 f (4) ( ),( a, b)1802又f (x)ex ,f (4) (x)ex ,Rn ( f )1h4 | f (4) ( ) |eh428802880若 Rn ( f )110 5，则14402h410 5e当对区间 0,1进行等分时n1h故有14401n (105)

16、43.71e因此，将区间8 等分时可以满足误差要求。7。如果 f(x)0 ，证明用梯形公式计算积分 IbI 大，并说f (x)dx 所得结果比准确值a明其几何意义。欢迎下载9解：采用梯形公式计算积分时，余项为RTf () (b a)3, a,b12又f ( x)0 且 b aRT0又RT1TIT即计算值比准确值大。其几何意义为，f (x)0 为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10 5 .(1) 21xdxe02(2) xsin xdx032 dx.(3) x 1 x0解：(1)I21x dxe0kT0(k)T1(k )00.771743310.

17、72806990.713512120.71698280.713287030.71420020.7132726因此 I0.713727(2) I2x sin xdx0T2( k)T3( k)0.71327200.71327170.7132717k(k )T003.45131310 618.62828310 7因此 I0(3) I32 dxx 1 x0T1( k )-4.4469231021欢迎下载10k( k )(k)( k)(k )( k)( k)T0T1T2T3T4T5014.2302495111.171369910.1517434210.443796910.201272510.204574

18、4310.266367210.207224010.207620710.2076691410.222270210.207571210.207594310.207593910.2075936510.211260710.207590910.207592210.207592210.207592210.2075922因此 I10.20759229。用 n2,3 的高斯 -勒让德公式计算积分3 ex sin xdx.1解：I3ex sin xdx.1x1,3, 令 t x2 ，则 t 1,1用 n2的高斯勒让德公式计算积分I0.5555556 f ( 0.7745967)f (0.7745967)0.88

19、88889f (0)10.9484用 n3 的高斯勒让德公式计算积分I 0.3478548 f ( 0.8611363)f (0.8611363)0.6521452 f ( 0.3399810)f (0.3399810)10.9501410 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是Sa 21 ( c )2 sin 2d ,0a这是 a 是椭圆的半径轴， c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心） 的距离， 记 h 为近地点距离，H 为远地点距离， R=6371 （ km ）为地球半径，则a(2 RH h) / 2, c(Hh) / 2.我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km) ，远地点距离

20、H=2384(km ）。试求卫星轨道的周长。解：R6371,h439, H2384从而有。欢迎下载11a(2 RHh) / 2 7782.5c( Hh) / 2972.5S4a2 1( c )2 sin 2 d0 akT0(k )T1(k)T2( k)01.56464011.5646461.56464821.5646461.5646461.564646I 1.564646 S 48708( km)即人造卫星轨道的周长为48708km11。证明等式35nsin3! n25! n4n试依据 nsin()( n3,6,12) 的值，用外推算法求的近似值。n解若 f (n)n sin,n又 sin x

21、x1 x31 x53!5!此函数的泰勒展式为f (n)n sinnn1 ()31 ()5n3!n5!n353!n25! n4Tn( k)当 n3时 ,nsinn2.598076当 n6时 ,nsinn3当 n12 时,n sin3.105829n由外推法可得欢迎下载12nT0(n )T1(n)T2( n)32.59807663.0000003.13397593.1058293.1411053.141580故3.141583 dy，并比较结果。12。用下列方法计算积分y1(1) 龙贝格方法；(2) 三点及五点高斯公式；(3) 将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解3 dyI1 y(1) 采

22、用龙贝格方法可得kT0(k )T1(k )T2(k)T3( k )T4(k )01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有 I1.098613(2) 采用高斯公式时3 dyI1 y此时 y1,3,令 xyz, 则 x1,1,I11 dx,1 x 21f ( x),x2利用三点高斯公式，则I0.5555556 f ( 0.7745967)f (0.7745967)0.8888889f (0

23、)1.098039欢迎下载13利用五点高斯公式，则I0.2369239 f (0.9061798)f (0.9061798)0.4786287 f ( 0.5384693)f (0.5384693)0.5688889f (0)1.098609(3) 采用复化两点高斯公式将区间 1,3 四等分，得II1I 2I 3I 41.5 dy2 dy2.5 dy3dy1y1.5y2y2.5y作变换 yx5，则4I111dx,1 x5f ( x)1,x5I1f (0.5773503)f (0.5773503)0.4054054作变换 yx7，则4I 211dx,1 x7f ( x)1,x7I 2f (0.5

24、773503)f (0.5773503)0.2876712作变换 yx9，则41 1I 31 x9dx,f ( x)x1,9I 3f ( 0.5773503) f (0.5773503) 0.2231405作变换 yx11，则41 1I 41 xdx,11f ( x)1x,11I 4f ( 0.5773503)f (0.5773503)0.1823204欢迎下载14因此，有I1.09853813.用三点公式和积分公式求f ( x)12在 x 1.0,1.1，和 1.2 处的导数值，并估计误差。(1 x)f ( x) 的值由下表给出：x1.01.11.2F(x)0.25000.22680.2066解：f ( x)1(1x) 2由带余项的三点求导公式可知f (x0 )