进制与位值原理(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上 第十一讲 进位制与位值原理经典精讲进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用 在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用 掌握进位制的基本方法和常见技巧； 了解整数的代数表现形式并能熟练应用同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使

2、用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；平方分米等于平方米，平方厘米等于平方分米，这里使用的是一百进制；米等于千米，克等于千克，这里使用的是一千进制；进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用与两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”大家知道：数是计算物体的个数而引进的，代表什么也没有，有一个，记为“”；再多一个，记为“”(在十进制下记为)；比“”再多一个，记为“”依次类推，我们很容易接受二进制下从小到大的数列，列表如下：十进制二进制十进制二

3、进制十进制二进制十进制二进制12341101110056781011101111000910111210011010101111001314151611011110111110000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态0或1这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目时，实际上意味着我们使用了“十进制”数， ，也就是说：中含有一个，九个，九个与九个为了叙述的方便，我

4、们约定：用表示括号内写的数是二进制数，如；用表示括号中写的数是十进制数，如；十进制的标志可省略，就代表十进制下的数二进制数表示十进制数；二进制数，表示十进制数；二进制数，表示十进制数；二进制数表示十进制数；可以看出规律：二进制数应该表示十进制数，那么我们可以得到，二进制数中计数单位与十进制数有如下关系：二进制数十进制数 关于进位制的两个需要注意的地方： 二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念

5、和运算 为了区别各种进位制数，进制中的数用表示如果，那么从10到的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示比如，用表示10，表示11，表示12，表示13，表示14，表示15等等 十进制数与进制数的互换：进制数写成十进制数是十进制数化成进制数，只要把十进制数用除，记下余数；再用除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个进制的数这叫做“除取余法” 如把1234化成三进制数： 所以， 一般地，一个自然数可表示为的形式，其中，是0，1，2，3，9中的一个，且，即：这就是十进制数，记作，简记为十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7

6、，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位 对于进位制需要注意其本质：进制就是逢进一例1分析 掌握十进制转化为进制的基本方法：短除法.以和为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数. 同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：.巩固 （基础学案1）将、改写成二进制数分析 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.巩固 （提高学案1）将、改写成七进制数分析 短除法.；提高 （尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我

7、国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用来表示十六进制中的.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？分析 仍然用短除法.例2分析 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将进制数按的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果当然计算时，数位是0的可以省略.例3分析 （1）可转化成十进制来计算：；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得；（2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整原式；（3）本题涉及到3个不同的

8、进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜：铺垫 （基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法分析 十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.铺垫 （提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法分析 列竖式： 列竖式： 得： 得： 拓展 （尖子学案2）完成下列进制的转化 分析 不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起，就变成了十六进制.那么第一个问题，我们把它

9、每4位数码合在一起，因此.第二个问题，我们把它每一位拆成4位二进制数，因此，.例4分析 利用尾数分析来解决这个问题：由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以， 只能是6巩固 （基础学案3）在几进制中有？分析 注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以再注意尾数分析，而16324的末位为4，于是进到上一位所以说进位制为21的约数，又小于10，也就

10、是可能为7或3因为出现了6，所以只能是7拓展 （提高学案3）算式是几进制数的乘法？ 分析 注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为，但是现在为4，说明进走，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制拓展 （尖子学案3）记号表示k进制的数，如果是的两倍，那么，在十进制表示的数是多少？分析 可用位值原理来进行计算.，依题意，解得.例5分析 设此数为，利用位值原理转化为十进制数.又是三进制中的数字，所以，那么易得，.十进制表示是22.巩固 在七进制中有三位数，化为九

11、进制为，求这个三位数在十进制中为多少？分析 首先还原为十进制：；于是；得到，即因为是8的倍数，也是8的倍数，所以也应该是8的倍数，于是或8但是在7进制下，不可能有8这个数字于是，则所以为的倍数，为3的倍数所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以于是，这个三位数在十进制中为248拓展 用分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果，是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？分析 注意，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则，而，则而，所以，则又，所以，那么，为即所表示的整数写成十进制的表示是108提高 自然数化为二进制后是一个7位数，那么x是多少？分析 根据位值

12、原理，于是.又是二进制中的数字，因此，那么易得.补充是自然数，进制数和进制数相等，的最小值是多少？分析 ，根据位值原理，左右两边取4的模，有，那么，的最小值是9，此时.那么，例6分析 若给每个盒子分别放入：，发子弹，即相当于二进制数中的：，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0这样我们可以任意抽出：以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：，发子弹，相当于二进制数中的，发子弹，最后一个盒子中只能放发子弹，即发子弹即可凑出1000以内的任何数发子弹所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489铺垫 （基础学案

13、4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高现在我们的问题是：如果顾客要买中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？分析 我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示因为，所以用，就可以表示中的所有整数因为，所以茶叶店只要有包茶叶，分别重，两，就可以满足一位顾客两茶叶的需要拓展 （提高学案4）现有六个筹

14、码，上面分别标有数值：.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第个是多少？分析 由例题我们可以知道一共有个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中的39转化为2进制，应记为：所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是，将其转化为10进制，有即其中第39个数是256拓展 （尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？分析 称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码；称量3克，需要1克和2克的砝码；称量4克，需要4克的砝码；有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码.以此类推，共需要克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如，代表我们可以用一个克和一个克砝码来称量513克.因此最少需要克10个不同的砝码.越玩越聪明：超常挑战