三角函数讲义适用于高三第一轮复习

1、sin( + = SilICyCOs/? +COSaSin COS(<z + 0) = COSaCOs0-sinsin Psin(-0) = SiniZCOS/7-COSaSin COS(Qf-/7) =CoSaCOS0 +sin sin tan(Q+ 0)= Wtan 01 - tan tan tan(0)= 33 01 + tan a tan 4.倍角公式Sin 2a = 2sin coscos2 = cos2 Qf-Sin2 a = l-2sin' a = 2cos2 a-5.降幕公式C2 tan atan 2a =；l-tan' a.?I-COS2Sirr a =

2、26.幅角公式1 +cos2 CoSJ a =2asincax + bcosx = yja1 +b1 Sin( + ), 其中 tan> = aSinaCoSa = -Sin 228.补充公式(Sin ±cos)2 = 1 ± 2sin<zcos = 1 ±sin 2a f l±sin =Sinicos 冬2 2三角函数1.同角三角函数的基本关系式：sill2 + cos2o< = lSina=tan aCOSa2.诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）sn + a) = -sinCOSe + a) = -COSatan( + a) = t

3、ancrsin(-) = SinaCoSe a) = -COSatan(r-a) = - tanasin(y+ ) = COSacos(- + ) = -Sin a2sin(彳-a) = COSacos(-a) = Sinasin(-) = -SinaCOSba) = COSa3两角和与差的公式知识点睛赵域RR值域-1，1-1,1I当且仅当x = 2k + 时取到最大值1 ；当且仅当 = 2k时取到最大值1:最值当且仅当x=2k兀-；时取到最小值一 12当且仅当x = 2k-时取到最小值一 1周期!最小正周期为2龙最小正周期为2龙奇偶性奇函数偶函数单调性在2kT上单调增；2 2在2k-. 2M

4、上单调增；在2k + -.2k + -上单调减2 2在（2k兀,2k + A单调减对称轴X = k + -i对称中心伙疋0)2对称轴X = k兀;对称中心伙7T + , 0)2正切函数V = tan A-的图象与性质:说明表格中的£都是属于z,在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量 选择正的。定义域为xxk + kZt值域为R 最小正周期是C 在(炽-?后+£)上单调增2 2Lrr没有对称轴，对称中心为(丁，0),奇函数二正弦型函数y = Asin(炉+ 0)(A>O,q>O)的图象方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将y = SinX图

5、象向左(0 > 0)或向右 V 0)平移岡个单位，得到y = sin(x +卩)的图象；伸缩变换：纵坐标不变，将y = sin( + 0)图象上所有点的横坐标缩短( > 1)或伸长(OVeVl)到原 来的丄倍，得到y = sin(g + 0)的图象，此时函数周期为T = -t振幅变换：横坐标不变，将y = sin(g + 0)图象上所有点的纵坐标伸长(>l)或缩短(O<A<1)到原来的A倍，得到y = 4sin(处+ 0)的图象，此时函数的最值分别为A. -4；方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换：纵坐标不变，将y = sin X图象上所有点的横坐标缩短(>

6、)或伸长(OVQV 1)到原来的丄 倍，所得函数y = SinftZV的图象，此时函数的周期为T =；平移变换：将y = Sin CaX图象向左( > 0)或向右(OVO)平移£个单位，得到y = sin(u + 0)的图象 振幅变换：同上解三角形1. 解三角形：(1) 边的关系：a + b>ct a + c>bt b + c>a (或满足：两条较短的边长之和大于较长边)(2) 角的关系：A + B + C = 9 OV4、B、C <. SinA>0, Sin(A+ 3) = Sin C,一门、C A + BCA + B CCoS(A+ 3) =

7、CoSC , Sln= COS, COS= SIn ,2 2 2 2-<A-B<2. 正弦定理：- = -L-= - = 2R9其中R为MBC的外接圆半径SInA SIn B SInC3. 余弦定理：在A3C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c9则有a2 = b1 +c1 一 2"CeOSq余弦定理：b1 = a' +c2 -IciccqsBc2 =a1 +b1 -2ahcosC其变式为:COSA =< CoSB =COSC =b1 +c2 -a1IbC2 *> . 2Cr +c 一IrIacCr +Zr -L2ab4.三角形的面积公式:=-absn

8、C = Z?CSin A = acsin B2 2 2三角恒等变换例题精讲【例1考査对三角函数值“知一求二”的掌握3(1) 已知是第二象限角，且Sina =-，则COSa =Jtana=(2) 已知是第四象限角，Ktana =则Sina=, CoSa=12(3) 已知 CoSa =17求Sina、tana的值点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定【例2】已知tana = 2,计算：AZ、 Sina+ 2COSa(2) SinaCOSa :Z、 1(1);3sin + 4cos(3)2sincos + cos a点评：如果根据Xma的值求Sina

9、、COSa的值，则需考虑&的象限，这里把1写成sm2a÷cos26Z构造关于Sina、COSa的齐次式，解法干净利索【例3】(1)sin±Uos空5竺的值是364(2) 已知cos( + a)= > 则sin(-+ a) =2 2(3) 若记cos(-80) = l ,则tanIOOe =点评：此题主要考査诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、 正切值互为相反数，互余的两个角正弦值S余弦值互换。4n5【例 4 (1)已知 sin = -, (-,), cos0 =-看，0 是第三象限角，求 COS(Pl-J3)丿厶丄丿3 已

10、知sinr = -, & 是第四象限角，求sin(-) X COSQ+ a)、tan(a-)54444(3)若&为第二象限角，且sin = -,则tan2<z =【例 5】(1)已知 a + = -9 求(l + tan)(l + tan7)的值4(2) 已知 A + B =,求 tan + tan + V3 tan tan 的值3 2222点评：正切的和差角公式把tan(±0). tan a ± tan P tan a tan 联系到一块，任一项都能由另两项表示，如 tan a + tan = tan( + 0)(1 - tan a tan 0)【例

11、 6】(1)若 IjltanQr= 2008,则!_ + tan Ia =1 - tanaCOS2a若 Sina-CoSa=则 sin22sinp1 + tan a1 一 tan 51 - tan a(3) 设0VaV?,若sina + cos =,则4 2点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到 “化切为弦S即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦-,则 tan(- + 2)=54【例7】(1)已知是第三象限角，且cos2 = -4 1 + tan (2) 已知是第三象限角，且CoSa =则 =5 l-tan2aH 7/3【例8)(1)已知sin

12、+ cos=,则sin&的值为, cos2的值为2 233(2) 已知 sin cos =,且<0 < 9 则cos0-sin的值为842点评：此题主要考查Sina±cos与SinaCOSa之间的关系：(cos±sin)2 =l±2sincos0【例 9】若Sina-COSa =求值：(1) SinaCOSa ； (2) sin2 -cos2 ai (3) Sin a-COS*常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变 换。另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式

13、将非特殊角转化为特殊角。 sm65 + inl5"" si25 -COSl5 cos80【例1求值：(1) sin 163 sin 223 ÷sin253 sin313 =(4) sinSin 6c Sin 42° Sin 66 Sin 78c = 20° +cos2 50 + sin 209cos50o =【例2】求值：(1)cos20°cos35c Jl-Sin 20°(j tan 12。- 3)Silll20(4cos2 12c -2)常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换匕找出已知式与欲求式的角的和

14、.差.倍.半.互余.互补 等关系，另外还要注意角的范围的讨论【例J (1)已知cos(-¾ = -, <<-> 则Sina=；410243(2) 已知cos( + -)= -a .则cos(2 + -)=:45224(3) 已知tan( + 0) = 2, tan(7-) = -9 贝I)tan( + ) =5444常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意 根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。【例1】若Sina=F且、0为锐角，求 + 0了均为锐角，

15、且tan=f,tan 0 =亍tan = -9 求 + 0 + /Ct > (0, ),求 2-0【例3】已知tan(-0)冷，tan7 = -l三角函数的图象与性质说明：(1)伸缩变换不会改变0的值，只是将X变为ex；(2) 若。相同，就不用做伸缩变换，若。不同，就一定要做伸缩变换；若0相同，就不用做平 移变换，若0不同，就一定要做平移变换；¥(2)左右平移的量要看发生在自变量X上的变化。三.复合函数y = ASin(x +0) + 3的性质最值：A + B和一A + B；单调性：若Ae>O,则正向讨论，即令2k-x + 2k + -9可求得函数的单调增区间；2 2若A

16、QV0,则反向讨论，即令2k + -x + 2k + -9可求得函数的单调增区间周期：最小正周期是T =亞对称性：函数) = 4sin(sr + 0) + 3的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令sin(v0 + ) = ±1,可求得函数/(x)的所有对称轴X = XO ；(令Sing5 + 0) = O,可求得函数/(-)的所有对称中心(Xo, B)【例1】考査三角函数图象的变换(1) 由函数y = Sin(X+-)的图象怎么变换到函数y = sin(2x +芋)的图象(2) 将函数y = sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的

17、 图象向左平移t个单位，得到的图象的对应解析式是()(3) 要得到y = sin(2x-f)的图纽 只需将函数y = sin(2x + f)的图象()3 6A. 向左平移冬单位B.向左平移冬单位C.向右平移夕单位D.向右平移乞单位【例2】考査三角函数的对称轴和对称中心(1) 函数/(X) = sin(2x +)(O)是R上的偶函数，则0的值是()A. 0B.C.D)D.关于.2彳对称(2) 已知函数/() = sin(v + )的最小正周期为©则函数/(X)的图象(A.关于(务。)对称B关升专对称C关于(却)对称(3) 已知函数/3 = GSinX + COS的图象关于直线X =-成

18、轴对称图形，则实数d=4(4) 若函数y = 3cos(2x + 0)的图像关于点(,0)中心对称，那么阀的最小值为()c.-3B. 4(5) 已知函数/(x) = Sin(+ ¾ (>0)9 f(l) = f(l)9 且/(x)在区间(,£)上有最小值,3 636 3无最大值，则Q=【例3】考査三角函数的单调性(1) 函数/Cv) = 2sin(2x + ¾的单调减区间是6(2) 函数/(X) = -CoS¢-¾的单调递增区间是【例 4】已知函数 f (x) = sin2 + VJsin cosX + 2cos2 - , R(1) 求函

19、数/(x)的最小正周期；(2) 求雷数/(X)的最小值，并求函数/(X)取得最小值时的X的集合;(3) 求函数/3在区间-«上的最小值；4 4(4) 求函数/(X)的单调增区间；(5) 求函数/(X)在区间-£，£上的单调增区间；4 4(6) 求函数/(X)的所有对称轴和对称中心；(7) 函数/(x)的图象可以由函数y = sin2x, XeR的图象经过怎样的变换得到;【例 5】已知函数 f(x) = cos(2x- ) + 2Sin(X- )Sin(X + )3 44(1) 求函数/(X)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数/(X)在区间-三，彳上的值域丄厶

20、厶【例6】考査三角函数的最值求法(1) 设M和In分别表示函数y = ICoSX -1的最大值和最小值，则M + In =(2) 若函数 f(x) = V3sinx÷cosx, 0x< ,则/(x)的最小值为(3) 当时，函数y = 3-sinx-2cos2的最小值是,最大值是6 6(4) 求函数V SInX的值域sin % +2(5) 求函数y= SlnX的值域COSX-2I(6) 求函数y = sin X-COSX+ sinxcosx, x0,龙的最大值和最小值(7) 函数y = SinX-ISinXl的值域是 点拨：三角函数的值域、最值求法(1) y = GSinx +

21、"或y = cosx + Z?)型：利用三角函数的有界性;(2) y = ashx + bcosx型：利用幅角公式转化为y = Asin(x + )形式，再利用有界性；(3) y = ashy2 x + bshAX + c型：配方后求二次函数的最值，应注ISinX1的约束；(4) y=-sin-z型：分离常数，利用三角函数的有界性CSnlX+ J(5) y= asin A h型：数形结合法，这里用到直线斜率的几何意义，也可用纯代数法求法CCOSX+ 6/(6) y = (sinx±cosx) + bsinxcosx + c型：换元Sinx±cosx = t 9 要

22、注意变量/的范围 【例7】(1)求函数y = x + Jl-F的值域；(2)求函数y = JX-4 + 15-3x的值域；(5) 已知函数y = 2cos-2cosx-2-l有最大值5,求实数"的值【例8】设函数/(x) = sin2 X-COSX+ (1) 若方程/(X) = O有实数根，求实数的取值范围；(2) 若方程/(X) = O在X (0, |内有解，求实数"的取值范围;17G)若1()-对一切实数X恒成立，求实数"的取值范围4点拨：解决方程有解问题最有效的方法是分离变量求值域【例9】若关于.Y的方程Sin 2x + 3cos2x = a +1在0,上有

23、两个不同实根，求实数的取值范围【例 10 (1)若函数/(X) = SiIi2X-I (xe 7?),则/(x)是()A.最小正周期为：的奇函数B.最小正周期为兀的奇函数2C. 最小正周期为2;T的偶函数D.最小正周期为兀的偶函数(2)函数/(X) = sin4 X+ cosv的最小正周期是,最小值是(3) 函数/(x) =SinH的最小正周期是；(4) 函数/(x) =Sin(2x +)-1的最小正周期 点拨：(1)利用降屣公式、幅角公式把已知函数转化为y = Asin(x + ) + B形式，从而得到周期；(2)根据图象变换知识画出函数图象可以直观得到函数周期。【例12】已知函数/(x)

24、= SUI g(x) = sin(2x + f),有下列命题： 当Q = 2时，f(x)g(x)的最小正周期是彳；9 当O = I时，/() + g()的最大值是一，最小值是一2；8 当 = 2时，将函数/(x)的图象向左平移壬可以得到函数g(x)的图象； 当(D = 2时，/(x) + g(x)的对称中心是( ,0) (k Z)2 8其中正确命题的序号是-(把你认为正确的命题的序号都填上)13.已知函数/() = AsinS + 0),(A>9,e>O,0v壬,的图象的一部分如下图所示。 求函22数/(x)的解析式：(2)当山一6.时，求函数y = (x) + (x + 2)的最

25、大值与最小值及相应的X的(2) 在锐角ABC中，B = 2A,则匕的取值范围是a3 5(3) 在SABC中，已知SinA = , CoSB = 一,则COSC =5 13【例2 (1)在ABC中，若“ =7, b = 8, cosC = -,则ABC中最大角的余弦值为14(2)某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为D二，则()13 11 5A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D作出一个钝角三角形(3) 以3、4、X为三边组成一个锐角三角形，则X的取值范围为点评：最大角决定三角形的形状，由余弦定理得，较小两边的平方和与最大边的平方的差决定最大角是 锐角.

26、直角和钝角。【例3】考査正余弦定理的灵活使用(1) 在 ABC 中，若 a cosB + bcosA = CSin C,其面积 S = -(b2 + c2 -a1) 9 则B=4(2) 在 ABC中，若(y3b - C) COS A = a COS C 9 贝OCOSA =(3) 在 A3C 中，若斥 =®c, SinC = 23 sin B,则 A=Z、亠 Z HC 小亠 * b a X C Mr tan C tan C(4) 在锐角ABC中，若一+ = 6CoSC,则+=a btan A tan B【例4】判断满足下列条件的三角形形状(1) UCOSA+ bcosB = ccos

27、C ；/(2) Sill C = 2cosAsin B ；Z X a+b(3) CoSA+ cos3 =；C(4) (Cr +b2)sin(A - B) = a2 -Z?2)Sin(A+ B)点评：与三角形形状相关的几个结论:（1）在AABC中，若acosA=bcosB9则ABC为等腰三角形或直角三角形（2）在AABC中，若一3 = ? =，则ABC为等边三角形COSA COSB COSC（3）在MBC中,（4）在 AABC中,若acosB + bcosA = csmC9则ABC为直角三角形 若Sin A(CoSB + COSC) = Sin B + Sm C ,则 AABC为直角三角形3【例

28、5】在ABC中，角久B、C的对边分别为b、c . COS(A - C) + COSB = - , b2 =ac f 2求B【例6】在ABC中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,且CosB = -, h = 2（1）当 = 时，求角A的度数；（2）求ABC面积的最大值【例7】AABC中，A,5C所对的边分别为abc,tan C =sin A+ sin Bcos A+ cos BJSin(B-A) = cos C.(1)求 AG(2)若SMBC = 3 + >3 9a.c【例 8】在 ABC 中，Sin(C-A) = 1 # SinB = 3(1)求Sinq的值； (2)设AC =求ABC

29、的面积【例 9ABC,角 A、B、C 的对边分别为心 b、c,且 2dsinA = (2b + c)sinB + (2c + b)sinC(1)求A的大小；(2)求sinB + sinC的最大值【例10】在ABC中，角A、B、C的对边分别为4、b、Ct SMliC=-(a2+b2-C2) 4(1)求C的大小；(2)求SinAsinB的范围【例口】设ABC的内角4. B、C的对边分别为“、b、c,已知A-C = 90, + c = ,求C【例12】在ABC中，角4、B、C的对边分别是a、b、c9已知siC + cosC = 1-sin-.2(1)求SinC的值；(2)若/+=4(a + b)-8

30、,求边C 的值.【例13】在ZkABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c9已知3acosA = ccosB + bcosC.23(1)求COSq的值;a = 9求边C的值(2)若 COSB + cos C = '32012高考真题分类汇编：三角函数选择题1. 设tan a. tan 是方程F -3x + 2 = O的两个根，则tan( + 0)的值为(A) -3(B) -1(C) 1(D) 32. 把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位 长度，再向下平移2个单位长度，得到的图像是(A)IrJl (B) ÷l1(C

31、) (O4(D)(I4.如图，正方形ABCD的边长为1,延长34至G 使AE = I,连接EC、ED则SinZCED =(A、3101010C、D、51545545在ABC中，角43,C所对边长分别为abc,若a2+b2=2c2,贝IJCoSC的最小值为()(B)-(C)O(D)I7已知 Sina-CoSa = V, a (o. )> 贝IJ tan a =(A) -1(B) (D)I8若 tan + !tan =4贝J sin2 & =11A.-B.-54C. iD. 1329函数 f (x) =SinX-Cos(x+ )fi值域为6A. -2 ,2 B.-5/3,5/3 C.

32、-l,l D.- z J2 210.在 AABC中，若sin2 A+ sin2 B < sin2C,则 ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定X.设 已 R、则 “0 = 0” 是 “/(x) =COSa+ 0)(XeR)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件12在AABC中,内角A, B, C所对的边分别是aybyc,已知8b=5c, C=2B,则COSC=(A)257(C) ± 2525(D)242513已知。为第二象限角,Sina÷cos. = 则 cos2 0 =(

33、1)若 = .点P的坐标为(0,6-4 4峠疇二、填空题14 函数f (X) =sin(QT + 0)的导函数V = f(x)的部分图像如图4所示，英中，P为图像与y轴的交点,AzC为图像与X轴的两个交点，B为图像的最低点(2)若在曲线段ABC与X轴所用成的区域内随机取一点，则BG4该点在ABC内的概率为15 设ZkABC的内角A , B , C所对的边分别为, b , c(a + b-c)(a + b + c) = ab ,则角C =16在ZABC 中，若Cl =2 b+c=7, COSB=丄，则 b二a417. 设MBC的内角A,B,C所对的边为“,b,c：则下列命题正确的是若ab>

34、c1,则C<-若d+Z?>2c：则C<-3'3若/+戻=疋：则CJL若(a+b)c<2ab,则C>-2 2若(a2+b2)c2 <2a2b2i 则C>-18. 已知AABC得三边长成公比为血的等比数列，则其最大角的余弦值为3519设 AABC的内角 A,B,C 的对边分别为a.b,c ,且COSA = - , COSB = ,b = 3 则C =5 13(21. 当函V = SinX-3coir (OWXVm取得最大值时，X=.22. 设Q 为锐角，若COSb+ ? = ?,贝IJSin(2 + )的值为 I 6丿 512三、解答题23. 已知

35、a,b,c 分別为MBC三个内角 A,B,C 的对边，tcosC + 3sinC-/?-C = O(1)求A (2)若 = 2, ABC的而积为JJ；求b,c.24. 已知向 : a = (COSx一Sin x. Sin x) ,b = (-cosx-Sin x. 2COSx) > 设函数f(x) = a b + (xeR)的图象关于直线对称，其中"，2为常数，且处(£, 1).<(I)求函数/(X)的最小正周期：()若y = /(X)的图象经过点(-.0),求函数八X)在区间0、卫上的取值范用4 525. 设函数 f (x) =cos(2x + )+ Sn? X 0(I)求函数/(x)的最小正周期：( Il)设函数 g(x)对任意 X W R,有 g(x + ) = g(x)» 且当 X 0,时，g(x) = -f(x) 求 2 2 2x函数g(x)在-兀0上的解析式