三元一次方程及其解法

1、三元一次方程及其解法三元一次方程组及其解法1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程2。三元一次方程组：由三个一次方程（一元、二元或三元）组成并含有三个未知 数的方程组叫做三元一次方程组3 .三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元4 .三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程 组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程.例题解析一、三元一次方程组之特殊型x+y + Z = 12例1:解方程组x + 2y + 5z = 22x = 4），分析：方程是关于X的表达式，通过分人芳元片可直接转化

2、为二元一次方 程组，因此确定“消X”的目标.解法1：代入法,消X。把分别代入、得5y + z = 2 6y+ 5z = 22 解得、=2,z = 2.1 / 1把y=2代入，得x=8。.y = 2,是原方程组的解。 z = 2.根据方槎组的特点，可归纳出此类方程组为：类型一:有表达式，用代入法型.针对上例进而分析，方程组中的方程里缺Z,因此利用、消Z,也能达 到消元构成二元一次方程组的目的。解法2:消z。X5 得 5x+5y+5z=60 一得4x+3y=38由、得x = 4y 4x + 3y = 38 解得b = 2.把x=8, y=2代人得Z二2。x = 8,.)，= 2,是原方程组的解.z

3、 = 2.根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：类型二：缺某元，消某元型。2x + y + z = 15例2:解方程组 x + 2y + z = 16x + y + 2z = l 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等：每一个未知数的系数 之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方 程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解：由+得4x+4y+4z=48,即 x+y+z=12 o -得x=3,一得y=4,-得z二5,x = 3,.), =4,是原方程组的解。z = 5.x+y = 20,典型例题举例：解方程组(y + z = 19,x + z

4、 = 21.解：由+得2 (x+y+z) =60 ,即 x+y+z=30 o -得z=10,一得y=11,一得x二9,三元一次方程及其解法x = 9,A y = 11,是原方程组的解。 z = 10.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：类型三：轮换方程组，求和作差型。例3:解方程组)'：Z = 1：2：7®2x-y + 3z = 2分析1:观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经脸, 看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7 得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形式，即 >1=2x,&l

5、t;Z = 7x,，根据方程组的特点，可选用“有表达式，用代入法”求2x - y + 3z = 21.(3)解.解法1：由得y=2x, z=7x ,并代入，得x=1.把 x=1,代入 y=2x,得 y=2;把 x= 1,代入 z=7x,得 z=7.x = 1, 是原方程组的解。Z = 7.分析2:由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k,因此由方程x: y:z=1: 2： 7,可设为x=k,y=2k, z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通 过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2:由设x=k, y=2k, z=7k,并代入，得k=1。把k=1,代入x=k,得x=1;把 k= 1

6、,代入 y=2k,得 y=2;把 k=1,代入 z=7k,得 z=7ox = 1,.)，=2,是原方程组的解。z = 7.x + y + Z = 111 典型例题举例：解方程组（），：x = 3:2y : Z = 5:4分析1:观察此方程组的特点是方程、中未知项间存在着比例关系，由 例3的解题经脸，易选择将比例式化成关系式求解，即由得y：由得 34z二），.从而利用代入法求解。5，解法1:略。分析2:受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将、转 化为x: y:z的形式呢？通过观察发现、中都有y项，所以把它作为桥梁， 先确定未知项y比值的最小公倍数为15,由X5得y:x=15:10

7、,由X3得y: z=15:12,于是得到x:y: z=10: 15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。解法2:由、得x: y: z=10: 15: 12o设 x=10k,y= 15k, z= 12k,并代入，得 k=3.把"3,代入 x=10k,得 x=30:把 k=3,代入 y= 15k，得 y=45;把 k=3,代入 z=12k,得 z=36ox = 30,），=45,是原方程组的解.Z = 36.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为: 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.二、三元一次方程组之一般型3x-y + z = 4,例4:解方程如 < x + y

8、 + z = 6,2x + 3y-z = 12.分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消 元目标消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎 么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出:（一）消元的选择1o选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元:2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二）方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。3x-y + 4 = 4 v解：,x+y+&=62x + 3y - 4 = 12 v （明确消z,并在方程组中体现出来画线）+得5x+2y=16,（体现第一次

9、使用在后做记号V）+ 得3x+4y=18,（体现第二次使用在后做不同记号）由、喳茎;:I解得厂=2，=3.把x=2 ,y=3代人，得z=1ox = 2,y = 3,是原方程组的解.z = 1.2x + 4y+ 3z = 9,典型例题举例：解方程组卜x-2 + 5z = ll, 5x-6y + 7z = 13. 分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y,以方 程作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：X2 得 6x-4y+10z=22, 2x +4y+ 3z=9, + 得8x +13z=31 .X3 得 9x-6y+15z=33 ,5x-6y+7z =13, 一得 4x +8

10、z =20 .x +2z=5 .由、得8x + 13z = 31, x + 2z =5.解得x = -l, z = 3.把x=-1 , z=3代人，得1J=2x = -l,.1), = 1,是原方程组的解.2z = 3.在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要 进一步的观察，但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不 变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。课堂练习1.解下列方程组x-2 = 01 1) < x + y = 0 y-z = O2 .解下列方程组'z = x + y(1) x+y + z = 6 x-y = 3x+y

11、 = 6(2) ( >, + z = 8X+Z = 10x+y + Z = 17(2) < 2x-y-2z = 13x + y - 4z = 31 /13.有这样一个数学题：在等式y = ar+" + c中，当x=1时，y=1 ；当y=3时,y=9,当 x=5 时,y=5.(1)请你列出关于a, b, c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？(2)你能求出a, b, c的值吗？4x+y + z = 44 .解方程组< 2x-y + 2z = S x + 2y-z = -53x + 2y + 4z = 85 .解方程组 (2x + 3y + 4z = 85x+5y +

12、6z = 222x + y - z = 1a + b = 37.解方程组0+ c = 4,a + c = 5*6.解方程组 , x + 2y+ 3z = 14 3x+y + z = S三元一次方程及其解法同步题库四三元一次方程组一、选择迎（请将正确答案前的字母填在括号肉）1 .下列各方程组不是三元一次方程组的是（） = 5x十>=7xA-y 4-z = 6Z+=3(B)y+ z = 4 z + x = 27 + 3- z = 1(C)2x-? + z = 33z+y - 2z = 5-fjp - z = 7(Dw = l/-37 =41/1x + 2 y + 3z = 262方程组,2+

13、3j+z = 34的解是().3x+2j+z = 391-41-41 9 4 . = =X JJ JXJ2 =一 4c 1c 3x = 9-x = 9-cx = 9 44437 = 4-(C)<(D>1 = J 4J32 = 2 2 = 2 2 = 2 444*3x+7 + 2z = 104.已知下列两个方程组什y+z= 6学2x +?-N = 9(A)1>3,c=2(B)户12=-36=2(C)户第=| ,c=24（D）以上结论均3.已知 4x-3y-3r=0,x-3y+z=0(x0ly0=：0),A w：z 为().(A)4:3:9(B)437 (C)l 2:7:9(D)

14、以上结论均不对22ax + 2by + -cz = 63以十九y+3 ；gz = 6有相同的解则必b、c的值分别为（）.4” 物+ 2四=9不对5 .已知jzr2+bi+e,当xi时=幺当x2时j=20,当x=l时j则关于字母么汰e的方程中正确的 是（）-9 = -a-b + c(A)，- 20 = -4a + 26 + c-4=a+b+e9 = a-b+e(C)卜如= 4 + 2b+c-4=a+b+c-9 = -a+b + c(B)< 20 = -4a + 26 + c-4 = d+b +(?-9 = a-b + c(D)卜 20 = 4”-2b + c-4=+b+c，十 z-3x =

15、 2a6 .关于X、/、乙的方程缉z + x-3y = 2b的解为（）,= 2。j= ；2以+b+c) / =:【十2十c)(B"x =，2a-b + c) J = 1(«-26 + c) z = gg-&+ 2c)x = 一 ； (2a -b-c')J = 一；Q-2b-c) z = - (2a-b-2c)(DPr = ；3 +b+c)y = 十 26 + c) Az = -，(2a + b+2c)二、填空题1 .在方程 5x-2y+z=3 中，若 r1 j=2,则 z=.2 .已知单项式-8户为女阳旧与I /产即%6是同类项，则片 片若3 .若已知 |工

16、一1|4<+ 1)2+(3z+2)2=01IJ 2i寸e.4 .已知厂区-射生口，那么与工学的值等于.豺 2y -7z=Dr+57 +7三、解下列方程组7 + 2z = 11.，2"3P -42 = -33x-2z= 5 y 2一=一2" 10 52彳+ ?=447十 j =83,v + 2=6，并求探尹亚-z1剧二10中的就值. z + x = 4同步题库四一、l.D; 2,D;3C;4.C;5,D;6.D.二、1.4;2.2,3; 3.1 V ； 4.1(提示:由方程组得出A攵片处.代入式中曾：)7 = 72,b=102=5L7 = 33.卜二5,代入等式中求出m

17、=1.2= 1三元一次方程组的实际应用EG01:某车间有60人,生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个,z=+ 2c)或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件, 如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？解：设生产甲、乙、丙三种零件各有x人，y人，z人。根据题意得x+y+z=60三元一次方程及其解法初一的学生数比初二的学生数多5%。求三个年级各有多少人？ AW: 1 式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10o 5答案：？ ? ?这题有问题，多解的（只要符合x+3y=10.5）就行，真不知楼上怎么 算出来的。

18、.2:去时上坡x平路y下坡zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4. 5 z/28+y/30+x/35=4o 7 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：x 初二：y 初三：zx+y+z=651 y=1. 1 z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200训练集中营1.现有1角，5南，1元硬币各10枚.从中取出15枚，共值7元, 1角，5角，1元各取几枚？2o甲地到乙地全称是3. 3KM, 一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每 小时行3KM,平路每小时行4KM,下坡每小时行5KM,那么，从甲地到乙地需行 51分，从乙地到甲地需行53. 4分，求从甲地到

19、乙地时的上坡。平路。下坡的路程 各是多少？3.水费价格：不超过6立方米部分，每立方米2元。超过6立方米至10立方米 部分，每立方米4元.超过10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共 用水15立方米，交水费44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用 水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，则他需要交水费多少元？4o某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三 分，平一场得一分，负一场得。分。某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多 7场，结果共得34分.这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？5o学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:3,三种球共 41个，求三种球各有多少6o 一个水池装有甲、乙进水管和丙出水管，若打开甲管4小时，乙管2小时和丙 管2小时，则