线性代数 正定二次型ppt课件

1、一、惯性定理一、惯性定理线性变换选择的不同会导致规范形的不同，即：二次型线性变换选择的不同会导致规范形的不同，即：二次型任一二次型均可经过非退化的线性变换化为规范形，但任一二次型均可经过非退化的线性变换化为规范形，但方项的个数与负平方项的个数却是独一确定的。方项的个数与负平方项的个数却是独一确定的。12(,)Tnf x xxX AX L实二次型实二次型确定的，二者的和等于矩阵确定的，二者的和等于矩阵A的秩的秩.实二次型规范形中的正平方项的项数实二次型规范形中的正平方项的项数p称为二次型称为二次型的规范形不独一。但由惯性定理可知，规范形中的正平的规范形不独一。但由惯性定理可知，规范形中的正平经过

2、非退化的线性经过非退化的线性变换化为规范形时，其规范形中正、负项的项数是独一变换化为规范形时，其规范形中正、负项的项数是独一的正惯性指数，负平方项的项数的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指称为二次型的负惯性指数，二者的差数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差称为二次型的符号差.设实二次型的设实二次型的22221111ppppp qp qfd yd ydydy LL假设对上述规范形再做如下的非退化线性变换：假设对上述规范形再做如下的非退化线性变换：1111111rrrrrnnyzdyzdyzyz L L LL L L那么可得到规范形那么可得到规范形 Tf

3、X AX 的规范形为的规范形为222211()ppp qzzzzpqr LL于是有如下结论于是有如下结论:111,100TP AP OOO即即，假设对恣意的，假设对恣意的为正定二次型，称正定二次型的为正定二次型，称正定二次型的练习判别以下二次型能否为正定的练习判别以下二次型能否为正定的 1 ,TnfxxX AX L，均有，均有 0nXXR 1 ,0,TnfxxX AX L那么称那么称 1 ,TnfxxX AX L矩阵矩阵A为正定矩阵为正定矩阵. 2221234123 (1),2fx xxxxxx 222123123 (2),2fx xxxxx 222123123 (3),2fx xxxxx 0

4、,0,0,1TX 取 0,0,1TX 取2221122nnfd xd xd x L从上述例子可以看出，经过实二次型的规范形从上述例子可以看出，经过实二次型的规范形定理：定理：n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为n.证明：设证明：设n n元实二次型元实二次型f f经过非退化线性变换经过非退化线性变换X=PYX=PY化为化为规范形规范形10,0XYPX 因因P可逆，可逆，判别其正定性是比较容易的，且有如下定理：判别其正定性是比较容易的，且有如下定理：即正惯性指数为即正惯性指数为n n 22211122,nnnfxxd yd yd y LL 211,00

5、 (1, )nniiiifxxd ydin LL将上述结果对应到二次型的矩阵将上述结果对应到二次型的矩阵A A上，那么可方便的经过上，那么可方便的经过A A来判别二次型的正定性来判别二次型的正定性.定理：定理：n n元实二次型元实二次型 1 ,TnfxxX AX L正定的充要条件正定的充要条件是是A A的全部特征值均为正数的全部特征值均为正数. .证明：对于证明：对于n n元实二次型，存在正交变换元实二次型，存在正交变换X=CYX=CY，使得，使得 22211122,nnnfxxyyy LL由于由于C C是正交矩阵，故是正交矩阵，故 1,iin L是是A A的特征值，故的特征值，故 TfX A

6、X 的正惯性指数为的正惯性指数为n n的充要条件是的充要条件是 01,iin L注：由于正定二次型的正惯性指数为注：由于正定二次型的正惯性指数为n n，故可经过非退化，故可经过非退化线性变换线性变换X=PYX=PY化为正惯性指数为化为正惯性指数为n n的规范形：的规范形： 222112,nnfxxyyy LL故有如下定理：故有如下定理：定理：实对称矩阵定理：实对称矩阵A A正定的充要条件是存在可逆矩阵正定的充要条件是存在可逆矩阵P P，使使TP API 推论：正定矩阵的行列式大于零推论：正定矩阵的行列式大于零. .推论：假设推论：假设A A为正定矩阵，那么为正定矩阵，那么A-1A-1，A A*

7、 *，kA(k0)kA(k0)均为正定均为正定提示：对提示：对TP API 两端取行列式两端取行列式.提示：提示：A A正定等价于正定等价于A A的一切特征值大于的一切特征值大于0 0矩阵。矩阵。推论：假设推论：假设A A、B B为正定矩阵，那么为正定矩阵，那么A+BA+B也是正定矩阵也是正定矩阵提示：利用定义证明提示：利用定义证明. . 首先验证首先验证A+BA+B为对称矩阵为对称矩阵 0,0,00TTTXX AXX BXXAB X 注：假设注：假设A、B为正定矩阵，能否断定为正定矩阵，能否断定AB为正定矩阵为正定矩阵？推论：假设推论：假设A A为实对称矩阵，为实对称矩阵，t t为一正实数，

8、那么为一正实数，那么t t充分大时，充分大时，tIA 为正定矩阵为正定矩阵.提示：提示：,iit 为为A的特征值的特征值.最后，给出一个判别实对称矩阵最后，给出一个判别实对称矩阵A A为正定的常用定理，先为正定的常用定理，先定义：设定义：设A A为为n n阶实对称矩阵，那么顺序取阶实对称矩阵，那么顺序取A A的前的前k k行、前行、前k k列列补充一个定义补充一个定义. .交叉处的元素组成的矩阵交叉处的元素组成的矩阵111212122212kkkkkkkaaaaaaAaaa LLMMML称为称为A的的k阶顺序主子阵，阶顺序主子阵，| Ak |称为称为A的的k阶顺序主子式阶顺序主子式.A共有共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.定理定理Sylvester定理：实二次型定理：实二次型 1 ,TnfxxX AX L正定的充要条件是正定的充要条件是A的一切