数学建模长江水质的评价和预测

1、摘要本文在给定数据的基础上，建立了水质综合评价模型；污染源依靠流量、流 速和降解系数的模型；灰色预测模型，对未来十年污水治理做了预测。针对问题一，做出标准化的参数与相应权值，建立合理的综合评价函数，得 出了各地各时间内的综合评价值，得到湖北丹江口水质最好、江西南昌谁知最差 的结论。针对问题二，根据流量、流速和降解系数建立了各地段排污量的模型， 得到 高锰酸盐与氨氮排污量最大的地段都是湖北宜昌到湖南岳阳段。针对问题三、四，建立了灰色预测模型，并给出了污水处理方案。针对问题五，提出了整治长江污染的几点建议： 加强宣传力度、加强有关部 门监督、整治沿江工业。模型较全面的运用了所给数据，建模方法比较科

2、学，但还存在具体数值设立 上主观性的问题。关键词：综合评价、灰色预测1. 问题重述1.1问题背景 长江是我国第一、世界第三大河流，是我国唯一具有全国意义的战略水源地， 是我国水资源供需平衡的最后防线。 但是近几年的统计数据表明， 长江水质污染 日益严重，正面临着前所未有的六大危机： 森林覆盖率严重下降， 泥沙含量增加， 生态环境急剧恶化；枯水期不断提前，长江断流日益逼近；水质严重恶化，重金 属含量非常高， 危及沿江许多城市的饮用水， 癌症肆虐沿江城乡， 长江两岸有些 地方已经成为癌症高发区； 物种受到威胁， 珍稀水生物日益灭绝； 固体废物污染 严重，威胁水闸与电厂；湿地面积日益缩减，水的天然自

3、洁功能日益丧失。综观 上述：长江危机已经达到令人触目惊心的地步， 因此治理保护长江的任务迫在眉 睫。1.2 问题提出进行长江水质评价和预测是致力保护长江的一个重要步骤。 所谓的长江水质 评价和预测是指通过物理或化学手段获取长江水环境检测数据， 通过信息技术将 这些检测数据转换为确定长江水环境状况的信息， 获取长江水环境现状及其水质 分布状况，分析长江现在存在的问题，抓主要矛盾，再预测其以后的发展趋势， 制定综合防治措施与方案。现给出了统计出的关于长江流域的一系列检测数据以及国际水质标准的标 限值，要求我们研究如下几个问题并对解决长江水质污染问题提出可行性建议。问题一：对长江近两年多的水质情况做

4、出定量的综合评价， 并分析各地区水 质的污染情况。问题二：研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸钾指数和氨氮的污 染源主要分布在哪些区域。问题三：假想如果不采取措施治理长江，根据所给出的过去 10 年内长江流 域水质报告给出的统计数据，对长江未来 10 年的水质污染发展趋势做出预测分 析。问题四：要求基于问题三的分析， 在满足未来 10 年内年内江干流的 IV 类和 V 类水的比例都控制在 20%以内，且没有劣 V 类水，求出每年需要处理污水的 吨数。1.3 研究意义我们现在看到的情况是这样的： 长江好像患了早期癌症， 如果我们不及时治 理，很快就会发展为晚期癌症，等到它真的重蹈黄河、淮河

5、覆辙再公之于众，就 晚了。虽说网上公布了许多关于长江现状的数据， 但那些数据都是零散的， 抽象 的，普通人在其中不能得到有用的信息， 对长江的现状还是很漠然， 就要我们通 过有效地数据处理， 运用适当的数学方法， 将零散的数据转化为具体的文字和图 片，让更多的人产生危机意识， 让更多的大老板能适当的停下手中的机器， 呼吁 更多的人参与到保护长江的行动中来， 这也是一件造福我们子孙后代的有意义的 事。2. 模型假设1. 主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数取 0.2 （单位： 1/天）2. 两观测点之间江水的流速是所测的两点流速的平均值。3. 不考虑洪水干旱等特殊气候对水质的影响。4.3. 符

6、号说明Si 评价对象（ 17 个城市）xi 评价参数 （DO、CODMn 、NH3-H、PH）pi 评价等级wi 参数权重k 降解系数C ：第i个观测点的监测污染浓度。Ci' 第 i 个观测点污水流至第 i+1 个观测点时的污染浓度Ri ：第 i 个观测点的监测水流量mi ：第 i 个观测点的排污量Li ：第 i 个观测点与第 i+1 个观测点之间的河长。vi ：第 i 个观测点与第 i+1 个观测点水流速度的平均值。 ti ：第 i 个观测点到第 i+1 个观测点水流所需的时间 Qi 每年总流量bi 每年干流占总河长的比例c1 四、五类水占干流的比例c2 六类水占干流的比例W1 四、

7、五类污水处理量W2 六类污水处理量W 污水处理总量q 干流流量4. 模型建立与求解4.1.1问题一分析问题一要求对长江水质做出定量综合评价， 并分析各地水质情况。从题中可 以看出，溶解氧（0D ）、高锰酸盐指数（CODMn ）、铵盐（NH3-N ）、只要有一 个为高类别，则水质等级为高类别，所以评价指标存在“质差” 、与“量差”的 关系，在确定综合评价指标时，既要体现不同类型指标的差异， 也要体现同类型 指标的数量差异。采用动态加权综合评价方法可以有效地解决这一问题。4.1.2问题一模型建立模型建立分三步走：数据标准化确定权值建立综合评价函数。（一）数据标准化假设17个城市为评价对象S1、S2

8、、S17,共四项评价指标：DO、CODMn、 NH3-H和PH值，分别记做Xi,X2,X3,X4,前三项指标有6个等级pi,p2,P6,相应分类区间如下表所示指标I类II类III类IV类V类劣V类溶解氧（DO）7.5, %)6,7.5)5,6)3,5)2,3)0,2高锰酸盐指数（CODMn）(0,2(2,4(4,6(6,10(10,15(15, %)氨氮（NH3-N(0,0.15(0.15，0.5(0.5,1(1,1.5(1.5,2(2, %)PH值（无量纲）6,91）溶解氧（DO）的标准化注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标做极小化处理，即令倒1数变换Xi，相应的分类标准区间变为

9、Xi(0,(1 1 17.5"'7.56' '6 V '53, '32,(2"Vd然后通过极差变换X!二一将其数据标准化，对应的分类区间随之变为0.5（0.0.2667, （0.2667,0.3333, （0.3333,0.4, （0.4,0.6667, （0.6667,1, （1,：）2）高锰酸盐指数的标准化高锰酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，即令X2X2，对应的分类区间随之变为15（0,0.1333, （0.1333,0.2667, （0.2667,0.4, （0.4,0.6667, （0.6667,1,

10、（1/-）3）氨氮的标准化氨氮也是极小型指标，对指标数据做极差变换将其数据标准化，即令 X3誇，对应的区间随之变为(0,0.075, (0.075,0.25, (0.25,0.5, (0.5,0.75, (0.75,1, (1,：)(4) PH值的处理酸碱度的大小反映出水质呈酸碱性的程度，通常的水生物都适应于中性水 质，即酸碱度的平衡值(PH值略大于7)，在这里不妨取正常值的中值7.5当PH<7.5时水质偏碱性，当PH>7.5时偏酸性，而偏离值越大水质就越坏，PH值属于中间型指标。为此，对所有的PH值指标数据做均值差处理，即令X4 = =2沧-7.5，则将其数据标准化。1.53(二

11、)确定权值取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即0,当 x jIjWj X1-eE,当 x"其中冷在这里取指标Xi的I类水标准区间的中值，即j = (b/ - a,)/2，二i由W4)=0.9(i =1,2,3)确定。代入数据计算得：=0.1333, ： 2 =0.0667, ： 3 =0.0375,；- =0.1757,6 =0.2197,匕=0.3048(二)建立综合评价函数前三个参数分配权值为0.75,由第四个参数PH值的特殊性取定权值为0.25. 则某城市某一时间的水质综合评价指标为：3X = 0.75' wi xi xi0.25x4i T经计算可得各城市水质综合评价

12、指标值，即可得到一个17 28阶的综合评价 矩阵 Xij 17 28。4.1.3模型一求解：根据计算结果做出月均综合评价走势图表，如下:月 份306307308309310311312401402403404405406407平均评价0.30.30.30.30.60.61.00.50.40.30.30.3240.3220.547534220值55月 份408409410411412501502503504505506507508509平 均 评 价 值0.300.240.360.330.480.370.310.230.250.260.270.280.270.271.21.10.90.80.70

13、.60.50.40.30.210202530. 月平均综合评价值11/ 1ff 11P* * *.* * 15从图中可看出第9个月份即2004年2月污染最严重，整体污染呈下降趋势 排序结果如下表：城 市/ 排 序S1S2S3S4S5S5S7S8S9S10S11S12S13S14S15S16S17平均评价值0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.2.0.0.X2015 117(21151715 175(28521150 1311 24072623Bor2632302134293022183916182322da679310数30073720112234总排735112641610

14、1311514121789序从表中可以看出，水质最差的是S15江西南昌滁槎 赣江（鄱阳湖入口），其次 是S8四川乐山岷江大桥 岷江（与大渡河汇合前）。水质最好的是S11湖北丹江 口胡家岭丹江口水库（库体），排在第二的是S5江西九江河西水厂 干流（鄂- 赣省界）。4.2.1问题二分析：下一个地方的污染物量由上游排污量与本地排污量mi组成，所以本地排污量（一个地方到下一个地方的排污量）为下一个地区的污染量减去上游排污量（本 地区污染量到下一地区净化后的量）。所以可以建立水质依靠流量、流速和降解 系数的数学模型，从而算出长江干流沿岸各个地段的排污量。422问题二建模：查找河水自净能力的参考文献得：&

15、#39;tttC厂（Ci - Cik）6（1 - k）1i其中k=0.2/天=/s432000长江干流各段排污量为：mi 二 Ci iR i - C；1。-汀 Ri4.2.3模型求解求解过程中注意单位的换算，结果为：2004年4月2005年4月各地CODM排出量 m （单位：kg/s）地点/时 间四川攀枝 花重庆朱沱湖北宜昌湖南岳阳江西九江安徽安庆江苏南京2004.0444.324242.844084.283681.348482.425144.5811/2004.0521.526757.911073.616892.2097108.537961.9434/2004.0637.783573.368

16、077.586975.665750.320365.8000/2004.0748.494766.412198.769568.432753.136757.2131/2004.0810.906772.2439101.376272.256862.150558.9114/2004.09184.8731120.7294197.9590128.2419105.4752173.3202/2004.1024.765067.512675.083245.365064.155671.9649/2004.1114.725619.386731.171332.095337.375235.2664/2004.127.9301

17、17.535637.424730.341123.960429.7966/2005.014.97428.587341.767926.156331.977435.9986/2005.026.35838.998625.535531.927836.986834.7284/2005.038.863510.858928.863425.735157.771938.6917/2005.047.113712.910820.995830.199246.454533.1462/平均值32.510744.561568.802656.921158.517557.0279/2004年4月2005年4月各地NH3-N排出量

18、 m （单位：kg/s）地点/时 间四川攀枝 花重庆朱沱湖北宜昌湖南岳阳江西九江安徽安庆江苏南京2004.042.63875.46866.63197.57586.47370.5867/2004.053.41835.75736.54176.54098.48143.0928/2004.062.47896.67577.77464.32165.39701.9435/2004.072.85823.29238.55354.16856.95071.5316/2004.080.02734.37678.41077.57425.20741.6911/2004.097.253513.290615.128317.42

19、488.64535.3443/2004.103.61053.93917.84364.53155.17561.4554/2004.112.17132.44234.31643.20862.03750.9793/2004.123.31131.09603.31531.58231.97351.4897/2005.012.15610.96563.43972.28872.45983.1679/2005.021.96050.80533.43141.33872.46594.6809/2005.032.52590.97882.95671.57254.92150.4293/2005.042.28260.68653.

20、04082.11393.02964.4198/平均值2.82253.82886.26034.94174.86302.3702/从表中可以看出高锰酸盐污染源主要在湖北宜昌到湖南岳阳段内；氨氮污染源主要也在湖北宜昌到湖南岳阳段内。5.3.1模型的准备灰色预测模型：灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程，从而预测事物未来发展趋势的一种方法。本小题运用灰 色模型中累加生成的方式生成了数列，构建了模型，依照过去10年关于长江流域的统

21、计数据，对长江未来10年内的发展趋势做了预测分析。5.3.2数据的初始化处理1对水质等级Xi i =1,2,.,6作出标准化处理得:Xi2设长江的污染程度为p，各个等级水质的河长占评价河长的比例为3.对所给的年份作出标准化处理得：ti二i -19956P 八 Xiqii#5.3.3模型的建立1分析可知，长江总的污染程度为: 2附件4给出了长江流域近10年来各个时期不同流域的水质情况，利用MATLAB 软件编程绘图，得出如下的水质污染折线图：5045 -45403530252015 0123456789丰水期枯水期4035 -302520 L'L0 1 2注：红线全流域水文年绿线一一干流

22、蓝线支流单纯图上也可看出长江水质在逐年恶化。5.3.3建立灰色模型预测水质污染的发展趋势：已知参考数据列为p0二p0 1,p0 2,.,p0 10 1,将其做一次累加（AGO）, 将得到的生成数列记为 p1， 则有pf ）= IpQ h）p（丫2）,pOho）L P。b）p。X）+ p（0b）,p。+ p（0bo9。k其中 p1 k p 0 j,其中 k =1,2,.1O.取 x11 的均值数列：z1 k =0.5p1 k-1 ,k = 2,3,.,10 ，贝U 有 z1 Z1 2 ,z1 3,z1 10，于是我们建立起了灰微分方程如下：p（0 Ik ）+azHk ）=b,其中 k =2,3，

23、,10 ,相应的白化微分方程为畔rpb。（ 1）5.3.4模型的求解记 U 二 a,b T, 丫二2 , po 3,.,p0 10 T-z2)-zC则由最小二乘法可知，要求得使J u = Y-Buu 二 a,b T 二 BtB JBtY求解方“ 10)达到最小值的的条件为P1签39。环 32.8738 ,其中 k=0,1,., n-1,. -0.0269为了确保建模方法的可行性，还需要对已知的数据做必要的检验处理。 下面假设计算数列的级比：p（0 K 1 k二；。； 1，k=2，3，n均落在可容覆盖/ 2 1 、日=e币e6内。I 丿其次，再建立模型GM（ 1, 1），则可得到预测值如下：f1

24、 h 丄八 I 代、32.8738_ak 丄 32.8738 甘中 t c 彳（k +1 ）= |p卫）e +,其中 k = 0,1,., n,.-0.0269 一 -0.0269且有p k 1 = p k，1p k ,其中k =1,2,., n -1，经数据验证，得出未来在未来10年内，污染会越来越严重。5.4模型四的建立与求解5.4.1模型四的建立问题四要求基于问题三中分析的关于长江未来水质污染发展的趋势，并在确保未来10年内每年干流的IV类和V类水的比例在20%以内，且没有劣V类水 的条件下，求解出每年需要处理污水的吨数。1利用MATLAB软件编程绘图，得出如下折线图：0.3515000.350.30.250.150.10.055678915000.3515000.35cl 与 c215000.3515000.355500500045004000350030002500200015000.3515000.35干流的流量15000 12345678总流量0.50.450.40.350.30.250.21.351.31.251.21.151.11.0510.950.90.85依据上述分析，可得如下模型:WI-= «"(G -20% .qc H 20%c2q2. 和模型三的建立一样，对s,C2进行灰色预测，可得：W =Wi