几何概型大题

1、1某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：停靠时间 2.53 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 83（）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率2假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：008

2、：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？3空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大指数级别类别户外活动建议050优可正常活动51100良101150轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动151200轻度污染201250中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动251300中度重污染301500重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病

3、，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，第五组从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|xy|150的概率4设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间0，3任取的一个数

4、，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率5（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1设集合P=1，2，3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）在区间1，5和2，4上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率6 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，当a0，3，b0，2时，方程有实数根的概率为p1；当a0，3，b0，2并且aN，bN时，方程有实数根的概率为p2，求p1，p2的值7已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n24（m，nR）（1）

5、若mx|0x3，xN*，nx|0x2，xZ，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若mx|0x3，xR，nx|0x2，xR，求方程有实数根的概率8假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6x8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7y9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率9在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖（1）若抽奖规则是从一个装有

6、2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：009：40之间赶到，乙计划在9：2010：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率10已知集合A=3，3，B=2，2，设M=（x，y）|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素（x，y）（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率（提示：可以考虑采用数形结合法）11已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）（1）若P=x|1x3，xZ，Q=x|1x4，xZ，求函

7、数y=f（x）在xR内是偶函数的概率；（2）若P=x|1x3，xZ，Q=x|1x4，xZ，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P=x|1x3，xR，Q=x|1x4，xR，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率12某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去求两个旅游团在该著名景点相遇的概率13如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部

8、分的概率14在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图在选取的40名学生中（1）求成绩在区间80，90）内的学生人数及成绩在区间60，100内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间90，100内的概率15甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面，并约定先到者要等候另一人一刻钟，过时即可

9、离开，求甲、乙能见面的概率16甲、乙两艘货轮均要到某深入港停靠（1）若甲预计在元月1日、3日、5日中的一天到达该港口，乙预计在元月1日、2日、3日中的一天到达该港口，且甲、乙在预计日期到达该码头均是等可能的，求甲、乙在同一天到该港口的概率（2）若甲、乙均预计在元月1日00：00点01：00点的任意时刻到达该港口，假设两船到达的时刻相差不超过20分钟，则后到的船必须要等待，求甲、乙中有船要等待的概率参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统

10、计结果如表：停靠时间 2.53 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量 12 12 17 20 15 13 83（）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时，求a的值；（）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率【解答】解：（）a=（2.5×12+3×12+3.5×17+4×20+4.5×15+5×13+5.5×8+6×3）=4，（）设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，则 若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有

11、一艘船需要等待，则|yx|4，所以必须等待的概率为P=1=，答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为2假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30之间把报纸送到小明家，小明父亲离开家去工作的时间在早上7：008：00之间，问小明父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？【解答】解：设送报人到达的时间为X，小明父亲离家去工作的时间为Y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示父亲离家时间，建立平面直角坐标系，父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图： 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父

12、亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=3空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大指数级别类别户外活动建议050优可正常活动51100良101150轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动151200轻度污染201250中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动251300中度重污染301500重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当

13、留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数的平均值；（3）将频率分布直方图中的五组从左到右依次命名为第一组，第二组，第五组从第一组和第五组中的所有天数中抽出两天，记它们的空气质量指数分别为x，y，求事件|xy|150的概率【解答】解：（1）依题意知，轻度污染即空气质量指数在151200之间，共有0.003×50×60=9天（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为（3）第一组和第五组的天数分别为60×

14、;0.1=6天，60×0.05=3天，则从9天中抽出2天的一切可能结果的基本事件有36种，由|xy|150知两天只能在同一组中，而两天在同一组中的基本事件有18种，用M表示|xy|150这一事件，则概率4设有关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【解答】解：（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则基本事件共12个：（0，0），（0，1

15、），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”则判别式=a24b20，即a2b，若a=0，则b=0，若a=1，则b=0，若a=2，则b=0或b=1，若a=3，则b=0或b=1共有6个，则对应的概率P=（2）记事件B=“方程x2+ax+b2=0有实根”由=a24b20，得：a2b全部结果所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，其面积为S=3×2=6构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，a2b，则D（3，）其面积为S=×3×=，对应的概率P

16、=5（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax24bx+1设集合P=1，2，3和Q=1，1，2，3，4，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）在区间1，5和2，4上分别取一个数，记为a，b，求方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率【解答】解：（1）函数f（x）=ax24bx+1的图象的对称轴为直线x=，要使f（x）=ax24bx+1在区间1，+）上为增函数，当且仅当a0且1，即2ba（2分）若a=1，则b=1；若a=2，则b=1或1；若a=3，则b=1或1事件包含基本事件的个数是1+2+2=5（4分）而满足条件的数对（a，b

17、）共有3×5=15个所求事件的概率为=（6分）（2）方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故（8分）化简得又a1，5，b2，4，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，（10分）阴影部分的面积为，故所求的概率P=（12分）6设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，当a0，3，b0，2时，方程有实数根的概率为p1；当a0，3，b0，2并且aN，bN时，方程有实数根的概率为p2，求p1，p2的值【解答】解：（1）如图所示，试验的全部结果所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2（图中矩形所示）；其面积为S=3×2=6；而构成事件“关于x的一元二次方程x2+2a

18、x+b2=0有实根”的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab（如图阴影所示）；故所求的概率为P1=；（2）试验的全部结果所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，且aN，bN如图中矩形中的点，共12个；而构成事件“关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根”的区域为（a，b）|0a3，0b2，且ab，aN，bN，如图阴影部分中的点，共9个；故所求的概率为P2=7已知关于x的一元二次方程：9x2+6mx=n24（m，nR）（1）若mx|0x3，xN*，nx|0x2，xZ，求方程有两个不相等实根的概率；（2）若mx|0x3，xR，nx|0x2，xR，求方程有实数根的概率【解答】解：方程的=3

19、6m2+36（n24）（1）mx|0x3，xN*=1，2，3，nx|0x2，xZ=0，1，2，基本事件总数为90，m2+n24，满足条件的（m，n）为（1，2），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），共6个，方程有两个不相等实根的概率为=；（2）mx|0x3，xR，nx|0x2，xR，对应区域的面积为6，0，m2+n24，对应区域的面积为6=6，方程有实数根的概率为=18假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上x（6x8）点把报纸送到小明家，小明每天离家去工作的时间是在早上y（7y9）点，记小明离家前不能看到报纸为事件M（1）若送报人在早上的整点把报纸送到小明家，而小明又

20、是早上整点离家去工作，求事件M的概率；（2）若送报人在早上的任意时刻把报纸送到小明家，而小明也是早上任意时刻离家去工作，求事件M的概率【解答】解：（1）设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的整点，试验的全部结果所构成的区域为=（X，Y）|6X8，7Y9，整点共有3×3=9个，事件M所构成的区域为A=（X，Y）|6X8，7Y9，XY整点有3个 是一个古典几何概型，所以P（M）=（2）如图，设送报人到达的时间为X，小王离家去工作的时间为Y，记小王离家前不能看到报纸为事件M；则（X，Y）可以看成平面中的点，试验的全部

21、结果所构成的区域为=（X，Y）|6X8，7Y9一个正方形区域，面积为S=4，事件M所构成的区域为A=（X，Y）|6X8，7Y9，XY即图中的阴影部分，面积为SA=0.5这是一个几何概型，所以P（M）=9在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：009：40之间赶到，乙计划在9：2010：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率【解答】解：（1）从袋中6个球中无放回的摸出2个，试验的结果共有6×5=30种，中奖的情况分为

22、两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为2×1=2；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为4×3=12所以，中奖这个事件包含的基本事件数为14因此，中奖概率为（6分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为=（x，y）|0x40，20y60；记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A=（x，y）|xy，0x40，20y60如图所示，试验全部结果构成区域为正方形ABCD而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分根据几何概型公式，得到P（A）=所以，甲比乙提前到达的概率为（12分）10已知集合A=3

23、，3，B=2，2，设M=（x，y）|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素（x，y）（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率（提示：可以考虑采用数形结合法）【解答】解：（1）A=3，3，B=2，2，设M=（x，y）|xA，yB，表示的区域的面积为6×4=24圆x2+y2=4的面积为4，以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=4内的概率为P1=，（2）由题意，到直线x+y=0的距离不大于的点为夹在两条平行直线x+y2=0与x+y+2=0之间的范围内，如图所示，故所求事件的概率为11已知关于x的一元二次函

24、数f（x）=ax2bx+1，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）（1）若P=x|1x3，xZ，Q=x|1x4，xZ，求函数y=f（x）在xR内是偶函数的概率；（2）若P=x|1x3，xZ，Q=x|1x4，xZ，求函数y=f（x）有零点的概率；（3）若P=x|1x3，xR，Q=x|1x4，xR，求函数y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率【解答】解：（1）由已知得，P=1，2，3，Q=1，0，1，2，3，4所有的有序数对有（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1）

25、，（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有18对，要使f（x）是偶函数，须有b=0，满足条件的有序数对有（1，0），（2，0），（3，0）共有3对，；（2）由已知得，P=1，2，3，Q=1，0，1，2，3，4，所有的有序数对有（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有18对，要使f（x）有零点，则b24a0，满足条件的有序数对有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4

26、）共有6对，；（3）要使y=f（x）单调递增，则，即2ab，（a，b）可看成是平面区域=（a，b）|1a3，1b4中的所有点，而满足条件是在平面区域A=（a，b）|2ab，1a3，1b4中的所有点，12某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去求两个旅游团在该著名景点相遇的概率【解答】解：（1）某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两

27、个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m=4×3=12，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率：p=（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意得，即，作出不等式表示的区域，如图：记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B，P（B）=两个旅游团在该著名景点相遇的概率为13如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率【解答】解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为S弓形OMC=S扇形OCDSRtDCO=12×

28、1×1=可得空白部分面积为S空白=2（S半圆AO2S弓形OMC）=212（1）=2因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OABS空白=222=2可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P=1答：在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为114在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图在选取的40名学生中（1）求成绩在区间80，90）内的学生人数及成绩在区间60，100内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间90，100内的概率【解答】解：（1）各组的频率之和为1，成绩在区间80，90）的频率为1（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，40名学生中成绩在区间80，90）的学生人数为40×0.1=4，成