2点三次Hermite插值多项式

1、1第四节第四节 Hermite 插值多项式插值多项式要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶导数导数也相等。即也相等。即,要求插值函数要求插值函数P(x)满足满足在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅把此类插值多项式称为把此类插值多项式称为埃米尔特埃米尔特（Hermite）插值多项式插值多项式或称带导数的插值多项式，记为或称带导数的插值多项式，记为H (x)。 ()()()(),()(),()()mmiiiiiiP xf xP xfxPxfx2两点三次Hermit插值x0 x0yy1y1xy0y1y3

2、3( ),( )0,1iiiiHxyHxyi已知：已知：构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：（* *）3两点三次Hermit插值（续1）直接设直接设dcxbxaxxH233)(待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆LagrangeLagrange插值基函数的方法，引入四个基函数插值基函数的方法，引入四个基函数)(),(),(),(1010 xxxx使之满足使之满足0)(0)(0)(1)(10001000 xxxx10111011()0()1()0()0 xxxx0)(1)(0)(0)(10001000 xxxx10111011()

3、0()0()0()1xxxx5 54两点三次Hermit插值（续2）300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxyxyx令0101( ),( ),( ),( )xxxx其中其中都是次数为都是次数为3 3的多项式的多项式则则H3 3( (x) )是一个次数是一个次数 3 3的多项式且满足插值条件的多项式且满足插值条件（*）52100)()(xxxxbax 210012()()bxxxx2011()axx基函数求法：基函数求法：0( )x求求0101()0()0 xx00()1x21010100)(21()(xxxxxxxxx 3 3 620101011)(21()(xxxxxxx

4、xx 同理7设 由0(x0)=1 ，得 , 于是同理有2100)()(xxxxax 210100)()(xxxxxxx 201011)()(xxxxxxx 2011()axx8定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值多项式H3(x)存在且唯一。9三次三次Hermite插值多项式的余项插值多项式的余项u定理定理 设设 f(x) 在包含在包含x0, x1的区间的区间 a, b内存内存在四阶导数，则对任意在四阶导数，则对任意x a,b ，总存在一，总存在一个个 (a, b)（ 依赖于依赖于x）使）使2120)4(33)()(! 4)()()()(xxxxfxHxfxR 10证明证明: 由插值

5、条件知由插值条件知 R3(x0)=R3(x0)=0, R3(x1)=R3(x1)=0构造辅助函数构造辅助函数21203)()()()()(xtxtxCtHtftF利用利用 f(x) H3(x)=C(x)(x x0)2(x x1)221203)()()(xxxxxCxR 取取 x 异于异于 x0 和和 x1, 设设11反复应用反复应用Rolle定理定理, 得得F(4)(t)至少有一个零点设为至少有一个零点设为(a, b)显然显然,F(t)有三个零点有三个零点x0, x, x1,由由Rolle定理知定理知, F(t)至少有两个零点至少有两个零点t0, t1满足满足x0t0t1x1,而而x0和和x1

6、也是也是F(t)零点零点, 故故F(t) 至少至少有四个相异零点有四个相异零点.1221203)()()()()(xtxtxCtHtftF0) ! 4)()()()4()4( xCfF ! 4)()()4( fxC 210)4(21203)(! 4)()()()(xxxxfxxxxxCxR 13例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1 ，P4 (2)=1n先构造满足先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值的插值多项式多项式P2 (x)，易得，易得 设设 其中其中A，B为待定系数为待定系数.n利用两个导

7、数条件确定系数利用两个导数条件确定系数A、B. 2213( )22P xxx 42( )( )()(0)(1)(2)PxP xAxB xxx14由解得A=1/4, B=-3/4故443(0)2021(1)()12PBPAB22241311( )(3) (1)(2)(3)2244P xxxxx xxxx 15n第五节 分段低次多项式插值1611111()( )( )( )( )( )()!nnnnfRxf xLxxn 从插值余项角度分析从插值余项角度分析 为了提高为了提高插值精度插值精度，一般来说应该，一般来说应该增加增加插值节点的插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简个数，这

8、从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：单地这样认为，原因有三个：一一.高次插值的龙格高次插值的龙格 (Runge)现象现象17插值余项与插值余项与节点的分布节点的分布有关；有关；余项公式成立的前提条件是余项公式成立的前提条件是 有有足够阶连续导足够阶连续导数数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加，随着节点个数的增加， 可能会增大。可能会增大。( )f x1()( )nf 随着节点个数增加到随着节点个数增加到某个值某个值，误差反而会增加。，误差反而会增加。18增

9、加插值多项式的次数增加插值多项式的次数并不一定会有更好的插值结果，并不一定会有更好的插值结果，这是因为高次多项式的振荡是很厉害的这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的 Ln(x)。取取211)(xxf),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为龙格龙格（Runge） 现象现象Ln(x) f (x) n=2n=5n=1019分段分段低次低次插值插值).()(63. 3)(xfxLxxLnnn时才有只有当公式的高

10、阶插值事实上已被证明：对于20分段插值的概念n 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划先将所考察的区间作一分划 并在每个并在每个 子区间上构造插值多项式，然子区间上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间后把它们装配在一起，作为整个区间 上的插上的插值函数，即称为分段多项式。值函数，即称为分段多项式。01naxxxb：1,iix x, a b21定义定义 设设f(x)是定义在是定义在a,b上的函数，在节点上的函数，在节点 a= x0

11、 x1x2xn-1xn=b,的函数值为的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,若函数若函数 满足满足条件条件 (1) 在每个子区间在每个子区间xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是上是线性插值多项式线性插值多项式; (2) , i=0,1,2,n (3) 在区间在区间a , b上连续上连续; 则称则称 是是f(x)在在a ,b上的上的分段线性插值函数。分段线性插值函数。1. 1.问题的提法问题的提法二、分段线性插值二、分段线性插值1( )L x1( )L x1()iiL xy1( )L x1( )L x222.2.分段线性插值函数的表达式分段线性插值函数的表达式 由

12、定义，由定义， 在每个子区间在每个子区间xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上上是一次插值多项式是一次插值多项式;11,1111( ),0,1,1iiiiiiiiiiixxxxLxyyxxxxxxxin 1( )L x23nnnxxxxLxxxxLxxxxLxL11, 1211 , 1100, 11)()()()(分段线性插值函数分段线性插值函数24分段线性插值曲线图分段线性插值曲线图： 注：注：由图象可知，由图象可知， 在节点在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论讨论分段三次埃尔米特插值。分段三次埃尔米特插值。)(1xL253.3.分段线性插值函数的

13、分段线性插值函数的余项余项定理：定理：设设 f(x) 在在a,b上有二阶连续导数上有二阶连续导数 f(x) ，则对，则对2101max |( )|,max |iia x bi nMfxhxx , ,xa b 有212|( )| |( )( )|8hR xf xL xM其中，26证明：证明：在每个小区间在每个小区间 10 11,(, ,)iixxin 12()( )()()!iiiifRxxxxx 在区间在区间 上上 , a b21012|( )|max |( )|()()iiii nMR xR xxxxx 221144()max ()()iiiixxhxxxx 由于由于2128|( )| |(

14、 )( )|hR xf xL xM于于是是27缺点：缺点：分段插值函数只能保证连续性，分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。 优点：优点：计算简单；计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。适用于光滑性要求不高的插值问题。 280.02.h最最大大步步长长 应应取取4( )cos1102f xx 考考虑虑构构造造一一个个函函数数的的等等距距节节点点函函数数表表，要要使使分分例例：段段线线性性插插值值的的误误差差不不大大于于，最最大大步步长长h h应应取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1fxxfx 2421|

15、102 1082hRh 291. 1.问题的提法问题的提法013331331()()0 1( )(1)( )( ) , ;,(3)(),()(0,1, )niiiiiiiiiinxxxyf xyfxinHermiteSxSxSxa bx xSxy Sxy in 设设个个插插值值节节点点 ， ，。已已知知在在节节点点上上的的函函数数值值和和导导数数值值， ， ， 。分分段段三三次次插插值值多多项项式式应应满满足足条条件件：和和在在上上连连续续( (2 2) )在在每每个个小小区区间间上上是是三三次次多多项项式式；定定义义: :。分段三次分段三次HermiteHermite插值多项式存在唯一插值多项式存在唯一三三. .分段三次分段三次HermiteHermite插值插值302.分段三次分段三次Hermite插值的表插值的表达式达式当当 xxi，xi+1时时, 两点两点Hermite插值插值12112111211121113)()()