2016_2017高中数学1.2.2.2组合的综合应用学案新人教B版选修2_

1、1 组合的综合应用 学习目标导航 1. 学会运用组合的概念分析简单的实际问题 .（重点） 2. 能解决无限制条件的组合问题 3. 掌握解决组合问题的常见的方法 .（难点） 基础初探 教材整理 组合的实际应用 阅读教材 Pl9P21，完成下列问题 1. 组合与排列的异同点 共同点：排列与组合都是从 n个不同元素中取出 m（mK n）个元素. 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关 . 2. 应用组合知识解决实际问题的四个步骤 （1） 判断：判断实际问题是否是组合问题 （2） 方法：选择利用直接法还是间接法解题 . （3） 计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算 （4） 结论：根据计

2、算结果写出方案个数 . - 歳弹验 - 1. 把三张游园票分给 10 个人中的 3 人，分法有 _ 种 一 3 10X 9X8 【解析】 把三张票分给 10 个人中的 3 人，不同分法有 C?0= = 120（种）. 3 X 2X1 【答案】 120 2. 甲、乙、丙三位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则 不同的选修方案共有 _ 种. 【解析】 甲选修 2 门，有 d= 6（种）不同方案. 乙选修 3 门，有 C4= 4（种）不同选修方案. 丙选修 3 门，有 C4= 4（种）不同选修方案. 由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有 6X 4X 4= 96（

3、种）.阶段1 认知预习质疑 2 【答案】 96 3. 从 0,1, 2, , 3, 2 这六个数字中，任取两个数字作为直线 y= xtan a + b的 倾斜角和截距，可组成 _ 条平行于x轴的直线. 【解析】 要使得直线与x轴平行，则倾斜角为 0，截距在 0 以外的五个数字均可.故 有 C5 = 5 条满足条件. 【答案】 5 4. 将 7 名学生分配到甲、 乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相同的 分配方案共有 _ 种.【导学号：62980019】 【解析】 每个宿舍至少 2 名学生，故甲宿舍安排的人数可以为 2 人，3 人，4 人，5 人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定

4、，所以有 C+ G+ C7+ d= 112 种分配方案. 【答案】 112 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _ 解惑： _ 疑问 2： _ 解惑： _ 疑问 3： _ 解惑： _ 小组合作型 IT 无限制条件的组合问题 沁？ 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级 培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1) 任意选 5 人； (2) 甲、乙、丙三人必需参加； (3) 甲、乙、丙三人不能参加； (4) 甲、乙、丙三人只能有 1 人参加. 【精彩点拨】 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对

5、不同问题中的 阶段2 合作探究通关 3 “含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题 【自主解答】 (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 血=792 种不同的选法. (2) 甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2 人，是组合问题，共有 C2 = 36 种不同的选法. (3) 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5 人，共有 d= 126 种不同的 选法. (4) 甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有C3= 3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，有 d 种选法.共有CC9= 378 种不同的选法.

6、 解答简单的组合问题的思考方法 1. 弄清要做的这件事是什么事 . 2. 选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题 3. 结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果 再练一题 1. 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名. (1) 现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2) 选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少种？ 【解】(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同元素中取 出 2 个元素的组合数，即 C1o= = 45. 2X1 (2) 可把问题分两类：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 种方法

7、；第 2 类，选出的 2 名 是女教师有 C2种方法，即 d+ &= 21(种). IE 有限制条件的组合问题 洌 高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中选出 3 名同学 参加活动. (1) 其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？ (2) 其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？ (3) 恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？ (4) 至少有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？ (5) 至多有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？ 【精彩点拨】 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多” 等字眼. 名4 使用两个计数

8、原理解决. 【自主解答】 (1)从余下的 34 名学生中选取 2 名, 有 C34= 561(种). 不同的取法有 561 种. (2) 从 34 名可选学生中选取 3 名，有 宿4种. 或者 C35 C4 = C?4= 5 984 种. 不同的取法有 5 984 种. (3) 从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2 名，有 C2o&5= 2 100 种. 不同的取法有 2 100 种. 选取 2 名女生有 6。氐种，选取 3 名女生有 5 种，共有选取方式 N= CLC + U = 2 100 + 455 = 2 555 种. 不同的取法有 2 555 种. (5

9、) 选取 3 名的总数有 C35,因此选取方式共有 N=宿5 C?5= 6 545 455 = 6 090 种. 不同的取法有 6 090 种. 喘、；*i 常见的限制条件及解题方法 1. 特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素， 则要以有无特殊元素， 特殊元素的多少作 为分类依据 2. 含有“至多”“至少”等限制语句： 要分清限制语句中所包含的情况， 可以此作为分 类依据，或采用间接法求解 3. 分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想， 将复杂问题分类表达，逐类 求解. 选 4 名外科专家，共有 c4 C 6种选法 根据分类加法计数原理，共有 c4 c4+c4c6+ c4 c2= 1

10、85（种）抽调方法 法二（间接法） 不考虑是否有外科专家， 共有 Co种选法，考虑选取 1 名外科专家参加，有 d c5种选法; 没有外科专家参加，有 C 种选法，所以共有：c?o- ciC c6 = 185（种）抽调方法 （3） “至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答. 没有外科专家参加，有 c6种选法； 有 1 名外科专家参加，有 C 种选法； 有 2 名外科专家参加，有 c2种选法 再练一题 3. 四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中取 3 个点，使它们与点 A在同一平 5 所以共有 C6+ + C4 cU 115（种）抽调方法. III歩健

11、奚 组合在几何中的应用 平面内有 12 个点，其中有 4 个点共线，此外再无任何 3 点共线以这些点为顶 点，可构成多少个不同的三角形？ 【精彩点拨】 解答本题可以从共线的 4 个点中选取 2 个、1 个、0 个作为分类标准， 也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数 【自主解答】 法一：以从共线的 4 个点中取点的多少作为分类标准 第 1 类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点，共有 C4c8= 48 个不同的三角形； 第 2 类：共线的 4 个点中有 1 个点为三角形的顶点，共有 CiC8= 112 个不同的三角形； 第 3 类：共线的 4 个点中没有点为三角形

12、的顶点，共有 C8= 56 个不同的三角形 由分类加法计数原理知，不同的三角形共有 48 + 112+ 56= 216（个）. 法二（间接法）：从 12 个点中任意取 3 个点，有 C；2= 220 种取法，而在共线的 4 个点中 任意取 3 个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有 止=4 种 故这 12 个点能构成三角形的个数为 C12 C4= 216 个 1. 解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问 题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理 2. 图形多少的问题通常是组合问题， 要注意共点、共线、共面、异面等情形

13、，防止多算 常用直接法，也可采用排除法 【解】 如图所示，含顶点A的四面体的 3 个面上，除点A外每个面都有 5 个点，从中 取出 3 点必与点A共面，共有 3C5种取法，含顶点 A的三条棱上各有三个点，它们与所对的 棱的中点共面，共有 3 种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法有 3C5+ 3 = 33 种. 探究共研型 III软咲 排列、组合的综合应用 探究 1 从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的 “这件事”指的是什么？ 2 4X3 【提示】 共有厂=6(个)不同结果 完成的“这件事”是指：从集合 123,4中任取两个不同元素并相乘 面上，有多少种不同

14、的取法? 探究点 6 探究 2 从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除， 有多少不同结果？这是排列问题， 还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？ 【提示】 共有血2 = 10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事” 是指：从集合123,4中任取两个不同元素并相除 探究 3 完成“从集合0,123,4 中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这 件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？ 【提示】 由于 0 不能排在百位，而个位必须是偶数 .0 是否排在个位影响百位与十位 的排法，所以完成这件事需按 0 是否在个位分类进行第一类：0 在个位，则百位与十位共 A4种排法

15、；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从 2,4 中任选一个排个位再从剩下非零 数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共 C2C3C3= 18(种)不同的结果， 由分类加法原理，完成“这件事”共有 A2+ C；C3CU 30(种)不同的结果. 例 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别符 合下列条件的选法数： (1) 有女生但人数必须少于男生； (2) 某女生一定担任语文课代表； (3) 某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4) 某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表 【精彩点拨】 (1)按选中女生

16、的人数多少分类选取 .(2)采用先选后排的方法.(3)先安 排该男生，再选出其他人担任 4 科课代表.(4)先安排语文课代表的女生， 再安排“某男生” 课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表 . 【自主解答】 (1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，共有 dd + C5C3种，后排有A5种， 共(C3C3+ Cfc；)A5 = 5 400 种. (2) 除去该女生后，先选后排，有 C4 A 4= 840 种. (3) 先选后排，但先安排该男生，有 C4A：= 3 360 种. (4) 先从除去该男生、该女生的 6 人中选 3 人有 C3种，再安排该男生有 Ci种

17、，其余 3 人 全排有A3种，共 C c 3 AA=360 种. 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1. 按事情发生的过程进行分步. 2. 按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑： (1) 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 7 (3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数 . I_ I 再练一题 4. 某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有 一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种

18、数为 ( ) A.360 B.520 C.600 D.720 【解析】 分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有 C2C5A4= 2X 10X 24= 480 种 选法 第二类，甲、乙都参加时，则有 C(A4 AA = 10X (24 12) = 120 种选法. 所以共有 480 + 120 = 600 种选法. 【答案】 C 构建体系8 1. 楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有 （ ） A.72 种 B.84 种 C.120 种 D.168 种 【解析】 需关掉 3 盏不相邻的灯，即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯的空中， 所以关灯 方案共有 C

19、1o= 120（种）.故选 C. 【答案】 C 2. 编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻， 则不同的开灯方案有（ ）【导学号：62980020】 A.60 种 B.20 种 C.10 种 D.8 种 【解析】 四盏熄灭的灯产生的 5 个空档中放入三盏亮灯，即 C = 10. 【答案】 C 3将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）. 【解析】 有 C3C 72= 36 种满足题意的分配方案其中 C3表示从 3 个乡镇中任选定 1 个乡镇，且其中某 2 名大学生去的方法数；C4表示从

20、4 名大学生中任选 2 名到上一步选定的 乡镇的方法数；A1表示将剩下的 2 名大学生分配到另 2 个乡镇去的方法数. 【答案】 36 4. _ 在直角坐标平面 xOy上，平行直线 x = n（n= 0,1,2，5）与平行直线 y = n（n = 0,1,2，5）组成的图形中，矩形共有 个. 阶股3 组合 的综 用 m炽際旧IN他 绡合在几何中的颐 一 I卿 iwg 体验落实评价 课堂回惨即时达榇 I淀序除扶 9 【解析】 在垂直于x轴的 6 条直线中任取 2 条，在垂直于y轴的 6 条直线中任取 2 条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C6xc6= 15X 15= 225 个. 【

21、答案】 225 5. 车间有 11 名工人，其中 5 名是钳工，4 名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能 当钳工，现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，问有多少种选派 方法 【解】 法一：设A, B代表两名老师傅. A, B都不在内的选派方法有： UC= 5（种）; A B都在内且当钳工的选派方法有： C2 c 5 c 4 = 10（种）； A, B都在内且当车工的选派方法有： C2 = 30（种）； A, B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有: C2 A 2 C 5 c4 = 80（种）； A, B有一人在内且当钳工的选派方法有: C2 c 5 c 4

22、 = 20（种）； A, B有一人在内且当车工的选派方法有: C2 c 5 c 4=40（种）. 所以共有 C5 c4+ C2 c2 c4 + C2 c4 c2 + C2 A2 185（种）选派方法 法二：5 名钳工有 4 名被选上的方法有： C4 C 6= 75（种）; 5 名钳工有 3 名被选上的方法有： C5 c 5 c 2 = 100（种）； 5 名钳工有 2 名被选上的方法有：C2 Ccc= 10（种）所以一共有 75 + 100+ 10= 185（种） 选派方法 我还有这些不足： _ _ 我的课下提升方案： _ _ 3 c3 + d c5 C2 c4 10 学业分层测评 （建议用时

23、：45 分钟） 学业达标11 、选择题 1. (2016 中山高二检测)圆上有 10 个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可 以画的三角形个数为 ( ) A.720 C.240 答案】 4. (2016 青岛高二检测)将标号为 1,2，10 的 10 个球放入标号为 1,2，10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法 种数为 ( ) A.120 C.360 D.720 【解析】 先选出 3 个球有 C130= 120 种方法， 不妨设为 1,2,3 号球， 则 1,2,3 号盒中能 放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种 . 这

24、3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法，故 共有 120X 2= 240种方法. 【答案】 B 5. 从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为 ( ) A . C25C26 B.C25A26 B.360 D.120 解析】 确定三角形的个数为 Co = 120. 答案】 2. 某电视台连续播放 5 个广告， 其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运广告 . 要 求最后必须播放奥运广告，且 2 个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( ) A.120 种 B.48 种 C.36 种 D.18 种 【解析】 告有2 个广 答案】

25、C 3. 若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法 共有 ( ) A.60 种 B.63 C.65 种 D.66 解析】 均为奇数时，有C5= 5 种；均为偶数时，有 d= 1 种；两奇两偶时，有 CiC = 60 种，共有 66 种 . B.240 12 C.C25A22C62A22 D.A52A2613 【解析】 分两步进行：第一步，选出两名男选手，有 C2种方法；第二步，从 6 名女生 中选出 2 名且与已选好的男生配对，有 A2种.故有 C5A2种. 【答案】 B 二、填空题 6. 某单位有 15 名成员， 其中男性 10 人，女性 5 人

26、，现需要从中选出 6 名成员组成考察 团外出参观学习， 如果按性别分层， 并在各层按比例随机抽样， 则此考察团的组成方法种数 是 . 【导学号： 62980021 】 【解析】 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人， 5 名女性中抽取 2 人，共有C1OC2= 2 100 种抽法. 【答案】 2 100 7. 某球队有 2 名队长和 10 名队员，现选派 6 人上场参加比赛，如果场上最少有 1 名队 长，那么共有 _ 种不同的选法 . 【解析】 若只有 1 名队长入选，则选法种数为 C2 Cw；若两名队长均入选， 则选法种 数为 Clo,故不同选法有 C2 C

27、 1o+ Clo= 714(种). 【答案】 714 8. 现有 6 张风景区门票分配给 6 位游客，若其中 A, B风景区门票各 2 张，C, D风景区 门票各 1 张，则不同的分配方案共有 _ 种. 【解析】 6 位游客选 2 人去A风景区，有 &种，余下 4 位游客选 2 人去B风景区，有 C4种，余下 2 人去C, D风景区，有 A2种，所以分配方案共有 CGA2= 180(种). 【答案】 180 三、解答题 9. a ， 3是两个平行平面，在 a内取四个点，在 3内取五个点 (1) 这些点最多能确定几条直线，几个平面？ (2) 以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？ 【解】

28、(1) 在 9 个点中，除了 a 内的四点共面和 3 内的五点共面外，其余任意四点 不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线 C92= 36 条. 在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多 面，故最多可确定 C24 C15 C41C52 2 = 72 个平面 . (2) 同理，在 9 个点中，除了 a 内的四点共面和 个三棱锥 . 10. 按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； . 又因为三个不共线的点确定一个平 3 内的五点共面外，其余任意四点不 共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多 . 此时

29、最多能作 C43C51C42C52C41C35= 14 (2) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； （3）6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球 【解】（1）每个小球都有 4 种方法，根据分步乘法计数原理，共有 46= 4 096 种不同 放法 （2） 分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入 盒中，共有 C6 ci A3+ C6A4= 1 560（种）不同放法 （3） 法一 按 3,1,1,1 放入有 C4种方法，按 2,2,1,1 ，放入有 C 种方法，共有 C4 + G =

30、 10（种） 不同放法 法二（挡板法）在 6 个球之间的 5 个空中插入三个挡板， 将 6 个球分成四位，共有 C3 = 10（种）不同放法 能力提升 1. （2015 四川高考）用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有（ ） A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 【解析】 分两类进行分析：第一类是万位数字为 4，个位数字分别为 0,2 ;第二类是 万位数字为 5,个位数字分别为 0,2,4.当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个， 共 有 2A4个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个，共有 CA3个偶数.故符合 条件的偶数共有 2A4 + C3A4= 120（个）. 【答案】 B 2. 如图 1-2-1 , A, B, C, D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来， 则不同的建桥方案共有 _ 种. 图 1-2-1 【解析】 四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥， 其中建三座桥连接四个小岛符合要 求的建桥方案是只要