指数函数经典例题(问题详解)

1、.指数函数1指数函数定义：函数 yax (a0且 a1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R2. 指数函数图象和性质：x， y=10 x ，y= 1x在同一坐标系中分别作出函数y=2 x ，y= 1图象 .210xx我 们 观 察 y= 2 x ， y=1， y= 10 x ， y=1图象特征，就可以得到210y ax (a 0且a1) 图象和性质。a>10<a<1图象66554433221111-4-2246-4-224600-1-1(1) 定义域： R性（2）值域：（0，+）质（3）过点（ 0，1），即 x=0 时， y=1（4）在 R 上是增函数（4）在 R

2、 上是减函数指数函数是高中数学中一个基本初等函数， 有关指数函数图象与性质题目类型较多， 同时也是学习后续数学内容基础和高考考查重点， 本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨1比较大小例 1已知函数 f (x)x2bxc 满足 f (1x)f (1x) ，且 f (0)3 ，则 f (bx ) 与'.xf ( c )大小关系是 _分析：先求 b，c 值再比较大小，要注意bx， cx 取值是否在同一单调区间内解：f (1 x)f (1 x) ，函数f ( x) 对称轴是 x1 故 b 2，又 f (0)3 ， c3 函数f ( x) 在，1 上递减，在 1， 上递增若 x 0

3、，则 3x 2 x 1 ， f (3x ) f (2 x ) ；若 x0 ，则 3x2 x1 ， f (3 x )f (2 x ) 综上可得 f (3 x ) f (2 x ) ，即 f (cx ) f (bx ) 评注：比较大小常用方法有：作差法、作商法、利用函数单调性或中间量等对于含有参数大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2 已知 (a22 a5)3 x(a22a 5)1 x ，则 x 取值范围是 _分析：利用指数函数单调性求解，注意底数取值范围解： a25244 1，2a(a 1)函数 y(a22a5) x 在 ( ， ) 上是增函数，1 3x1x ，解得 x4

4、 x 取值范围是1 ， 4评注：利用指数函数单调性解不等式， 需将不等式两边都凑成底数相同指数式，并判断底数与 1 大小，对于含有参数要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3求函数 y1 6x 2 定义域和值域解：由题意可得 16x2 0 ，即 6x 2 1 ， x2 0 ，故 x 2 函数 f (x) 定义域是 ，2 令 t6x 2 ，则 y1 t ，又 x 2 ， x2 0 0 6x2 1 ，即 0 t 1 0 1 t 1 ，即 0 y 1 '.函数值域是01， 评注：利用指数函数单调性求值域时，要注意定义域对它影响4最值问题例 4函数 ya 2x2ax1(a0且 a1) 在

5、区间 11， 上有最大值14，则 a 值是 _分析：令 tax 可将问题转化成二次函数最值问题，需注意换元后t 取值范围解：令 tax ，则 t0 ，函数 ya2 x2a x1 可化为 y (t 1)22 ，其对称轴为t1当 a1 时， x11， ， 1 a x a ，即 1 t a aa当 ta 时，ymax(a1)2214 解得 a3 或 a5 （舍去）；当 0 a1 时， x11， ， a ax 1 ，即 a t 1 ，aa1 时， ymax12 t1214 ，aa解得 a1 或 a1 （舍去）， a 值是 3 或 1 353评注：利用指数函数单调性求最值时注意一些方法运用， 比如：换元

6、法，整体代入等5解指数方程例 5x 22 x80 解方程 33解：原方程可化为9 (3 x ) 280 3x9 0 ，令 t3x (t0) ，上述方程可化为9t 280t 90 ，解得 t9 或 t1（舍去）， 3x9， x2 ，经检验原方程9解是 x2 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 y 9 3x5 图象，可以把函数 y3 x 图象（）A向左平移 9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度'.D向右平移 2 个单位

7、长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数 y9 3x5 转化为 t3x 25 ，再利用图象平移规律进行判断解： y 9 3x5 3x 25 ，把函数 y3x 图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 y 93x5 图象，故选（ C）评注：用函数图象解决问题是中学数学重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数图象，并掌握图象变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题1、比较下列各组数大小：'.（1）若，比较与；'.（2）若，比较与；'.（3）若，比较与；'.（4）若，且，比较 a 与 b；'.（5）若，且，比

8、较 a 与 b'.解：（ 1）由，故，此时函数为减函数由'.，故'.（2）由，故又，故'.从而'.（3）由，因，故又'.，故从而'.（4）应有因若，则又'.，故，这样又因'.，故从而'.，这与已知矛盾'.（5）应有因若，则又'.，故，这样有又因'.，且，故从而'.，这与已知矛盾小结：比较通常借助相应函数单调性、奇偶性、图象来求解'.2，曲线分别是指数函数,和'.图象,则与 1 大小关系是 ().'.'.'.(分析 : 首先可以根据指数函数单调性

9、, 确定, 在'.轴右侧令, 对应函数值由小到大依次为'., 故应选.小结 : 这种类型题目是比较典型数形结合题目, 第(1) 题是由数到形转化 , 第 (2) 题则是由图到数翻译 , 它主要目是提高学生识图 , 用图意识 . 求最值3，求下列函数定义域与值域 .14x+2x+1+1.(1)y 2 x 3 ; (2)y11解：(1) x-3 0， y2 x 3 定义域为 x xR且 x3. 又x310， 2 x 3 1，1y2 x 3 值域为 yy>0 且 y1.(2)y 4x+2x+1+1 定义域为R. 2x>0, y 4x+2x+1+1 (2 x) 2+2

10、83; 2x+1(2 x+1) 2>1. y4x+2x+1 +1 值域为 y y>1.'.4，已知-1 x 2, 求函数 f(x)=3+2 · 3x+1-9 x 最大值和最小值解：设 t=3 x, 因为 -1 x 2，所以 1t9 ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当 t=33即 x=1 时， f(x) 取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x) 取最小值 -24 。5、设，求函数最大值和最小值'.分析：注意到，设，则原来函数成为，利用闭区间上二次函数值域求法，可求得函数最值'.解：设，由知，'.，函数成为，对称

11、轴'.，故函数最小值为，因端点较'.距对称轴远，故函数最大值为'.6（ 9 分）已知函数 ya 2x2ax1(a1) 在区间 1,1 上最大值是 14，求 a值 .解： ya 2x当 a解得2a x1 ， ta=3 (1(a 1) ， 换元为 y t 22t 1( 1t a) ，对称轴为 t1 .aa ，即 x=1 时取最大值，略 a= 5舍去 )7已知函数'.（且）'.（1）求最小值；（ 2）若，求取值范围'.解：（ 1），当即'.时，有最小值为'.（2），解得'.当时，；'.当时，8（10分）（1）已知f x2

12、m值；)是奇函数，求常数 m(3x1（ 2）画出函数 y | 3x1| 图象，并利用图象回答： k为何值时，方程 |3 k无解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1（ 2）当 k<0时，直线 y=k与函数 y | 3 x 1 | 图象无交点 , 即方程无解 ;当k=0或 k 1时, 直线 y=k与函数 y | 3x 1| 图象有唯一交点，所以方程有一解 ;当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y | 3 x 1 | 图象有两个不同交点，所以方程有两解。'.9若函数是奇函数，求值'.解：为奇函数，即，'.则，'.10. 已知 9x-10

13、.3 x+90，求函数 y=（ 1 ）x-1 -4 ·（ 1 ） x+2 最大值和最小值42解：由已知得（ 3x） 2-10 ·3x+90得（ 3x-9 ）（ 3x-1 ） 0 1 3x9 故 0x2而 y=( 1 ) x-1 -4 · ( 1 ) x+2= 4 ·（ 1 ）2x-4 ·（ 1 ）x+24222令 t= （ 1 ）x （ 1t 1）241 ）2+1则 y=f （t ）=4t 2 -4t+2=4 （t-2当 t= 1 即 x=1 时， ymin=1 2当 t=1 即 x=0 时， ymax=2'.11已知，求函数值域

14、9;.解：由得，即，解之得'.，于是，即'.，故所求函数值域为12. (9 分) 求函数 y2 x2 2x 2定义域，值域和单调区间定义域为 R 值域（ 0，8。（ 3）在（ - ， 1 上是增函数在 1，+）上是减函数。13 求函数 y 1x 23x 2单调区间 .3分析 这是复合函数求单调区间问题u,u x2-3x+2 ，其中 y 1u可设 y 1为减函数33ux2-3x+2减区间就是原函数增区间 ( 即减减增 )ux2-3x+2 增区间就是原函数减区间 ( 即减、增减 )解：设 y 1u,u x2-3x+2,y关于 u 递减，3'.当 x (- ， 3 ) 时，

15、u 为减函数，2 y 关于 x 为增函数；当 x 3 ，+) 时，u 为增函数， y 关于 x 为减函数 . 214 ，已知函数 f(x) ax1x(a>0 且 a1).a1(1) 求 f(x) 定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 奇偶性； (3) 讨论 f(x) 单调性 .解： (1) 易得 f(x) 定义域为 xxR.a x1xy1xy1设 ya x1, 解得 a -y1 a >0当且仅当 -y1>0时，方程有解 .解 - y 1 >0 得-1<y<1. y 1 f(x) 值域为 y-1 y1 .(2) f(-x) a ax1 1a x-f(x)且定

16、义域为 R， f(x) 是奇函数 .x1 1a x(3)f(x) (ax1) 2 1-21.ax1a x1°当 a>1 时， ax+1 为增函数，且 ax +1>0.2为减函数，从而 f(x) 1-a x2 a x1 为增函数 .2 °当 0<a<1 时，类a x11a x1似地可得 f(x) a x1 为减函数 .a x115、已知函数 f （x） a2（a ），=2 x1R（ 1） 求证：对任何 aR，f （x）为增函数（ 2） 若 f （ x）为奇函数时，求 a 值。（ 1）证明：设 x1x2f （x2） f （x1） =2(2 x22x1 )

17、0(1 2x1 )(12x2 )故对任何 aR，f （x）为增函数（2）Q xR ，又 f （x）为奇函数f (0)0得到 a10 。即 a1'.16、定义在 R 上奇函数 f (x) 有最小正周期为2，且x (0,1)时， f (x)2x14 x（1）求 f ( x) 在 1，1 上解析式；（ 2）判断 f ( x) 在（ 0， 1）上单调性；（3）当为何值时，方程 f (x) =在 x 1,1 上有实数解 .解（ 1） xR上奇函数 f (0)0又 2 为最小正周期 f (1)f (2 1)f ( 1)f (1)0设 x（ 1，0），则 x（ 0， 1）， f (x)2x2 xf ( x)x4 x411 f ( x)2 x4x12 xx(-1,0)x1x2xx 2 x2x2 2 x1（ 2x1设f (x) f ( x )( 22)(22)12）40<x <x <112(4 x11)( 4x21)f