平面向量的基本概念精品名师资料

1、平面向量的实际背景及基本概念1. 向量的概念： 我们把既有 大小又有方向的量叫向量。2. 数量的概念：只有大小 没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.有向线段 ：带有方向 的线段叫做有向线段。4.有向线段的三要素：起点，大小，方向aB（终点）A(起点 )5.有向线段与向量的区别；（ 1）相同点： 都有大小和方向（ 2）不同点 ：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的两个有向线段表示相同

2、（等）的向量。向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成6. 向量的表示方法：用有向线段表示；用字母 、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母： AB ；7.向量的模： 向量 AB 的大小（长度）称为向量的模，记作 | AB |.8.零向量、单位向量概念 ：长度为零的向量称为零向量 ，记为： 0。长度为 1 的向量称为 单位向量 。9. 平行向量定义 ：方向相同 或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0 与任一向量平行. 即： 0 。说明：（ 1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量 、平行，记作 .10. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫 相等向量 .说明

3、：（ 1）向量 与相等，记作 ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 .11. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量 ，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）AB说明：（ 1）平行向量是可以在同一直线上的。（2）共线向量是可以相互平行的。OFC例 1.判断下列说法是否正确，为什么？（1）平行向量是否一定方向相同？DE（ 2）不相等的向量是否一定不平行？（ 3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ 4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向

4、量？（ 6）两个非零向量相等当且仅当什么？（ 7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。（2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（ 4）零向量（ 5）共线向量（平行向量（6）长度相等且方向相同（ 7）不一定，可以平行。例 2. 下列命题正确的是（A. 与共线， 与共线，则 与 cB.C.向量与不共线，则 与D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形

5、的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C.例 3. 如右图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA, OB, OC 相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：OACBDOOBDCEOOCABEDFO向量的加法运算及其几何意义向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.三角形法则（记忆口诀： “首尾相接，从头指尾”）3.三角形法

6、则的来由如图，已知向量a、 . 在平面内任取一点A ，作ABa，BC，则向量AC叫做a 与的和，记作a，即aABBCAC，规定：a + 0-= 0 + aaaaCbba+ba+ ba+ bAab4.向 量加 法的B字母公式：ABBCAC5.平行四边形法则图 1如图1,以同一点O 为起点的两个已知向量a、 b 为邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线OC 就是a与 b 的和 . 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别：（ 1）平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两个分向量的起点是同一起点。（ 2

7、）三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起， 然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7. 一般结论当 a, b 不共线时 ,| a+b|<| a|+| b|( 即三角形两边之和大于第三边);当 a, b 共线且方向相同时,| a+b|=| a|+| b|;当a, b 共 线 且 方 向 相 反 时 ,| a+b|=| a|-|b|(或 | b|-|a|).其 中 当 向 量时,| a+b|=| a|-|b|; 当向量 a 的长度小于向量b 的长度时 ,| a+b|=| b|-|a|.一般地 , 我

8、们有 | a+b| | a|+| b|.a 的 长 度 大 于 向 量b 的 长 度二例题讲解例 1、已知正方形ABCD的边长为1,= a,=b,=c, 则 |a+b+c| 等于（）A 0B 3C2D 22.解：DCA作出正方形ABCD 的图形如上图所示，那么：a+b=c, 所以 a+b+c=2c, 所以 |a +b+c|=|2c|=2|c|=22 , 所以选 D.例 2. 化简:(1) BC + AB ;(2) DB + CD + BC ;(3) AB +DF + CD + BC + FA .例 3.如图所示 ,已知矩形ABCD 中 ,| AD |=43 , 设 AB =a, BC = b,

9、 BD =c,试求向量 a+b+ c 的模 .解: 过 D 作 AC 的平行线 ,交 BC 的延长线于E, DE AC,AD BE.四边形 ADEC 为平行四边形 .DE =AC ,CE= AD .于是 a+b+c= AB + BC + BD = DE + BD = BE = AD + AD =2 AD ,|a+ b+c|=2| AD |=83 .1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。向量AB 与 CD 是共线向量，则A 、B 、 C、 D 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2.（

10、1）判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.0 =0. b - b =0（2）若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是_.（3）将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？_3下列说法正确的是（）A.平行向量是方向相同的向量B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为 0D. 共线向量是在同一条直线上的向量4若非零向量a 与 b 共线，则以下说法下确的是（）A.a 与 b 必须在同一直线上B.a 与 b 平行，且方向必须相同C.a 与 b 平行，且方向必须相反D.a 与 b 平行1 、在四边形 ABCD 中，若 ACABAD ，则四边形 ABCD 的形状一定是 ( )(A)平行四边形(B) 菱形(C