实数和二次根式的基本概念

1、.实数、二次根式的基本概念知识点睛一实数的基本概念1无理数的概念：（ 1）定义：无限不循环小数叫做无理数.（ 2）解读：1）无理数的两个重要特征：无限小数；不循环.2）无理数的常见类型：具有特定意义的数。如等；具有特定结构的无限小数，如0.1212212221（每相邻两个1 之间依次多一个2）等； 开方开不尽的数，如2 ， 3 4 等 .那么，是否所有带根号的数都是无理数呢？3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.2实数的概念及分类：（ 1）定义：有理数和无理数统称为

2、实数.（ 2）分类：整数按定义分： 实数有理数分数 - 有限小数或无限循环小数无理数 -无限不循环小数;.正有理数正实数正无理数按性质分：实数0负实数负有理数负无理数正整数整数零有理数负整数有尽小数或无尽循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数（ 3）实数的性质：相反数： a 与 b 互为相反数a b 0 .a, a00a,a0绝对值： a0, aa, a0 或 a0或 a0a,aa, aa, a0（ 4）实数和数轴上的点是一一对应的.是一个超越数， 用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1 的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个

3、点就是，因为直径为1 的圆的周长为。（ 5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。（ 6）实数中非负数的四种形式及其性质：形式：a0 ； a20 ；a0 （ a0 ）；a 中 a0 .性质：非负数有最小值0；有限个非负数之和仍然是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（ 7）实数中无理数的常见类型：所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；圆周率 及含有 的数是无理数，例如：2 1等；看似循环，但实质不循环的无限小数是无理数，例如：1.0232332333.;.（一）根据实数的定义解题：【例

4、1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数 ? 0.313 131 ， ， 81， 23，3 27， 3.14，0.4829，1.020020002 （相邻两个 2 之间 0 的个数逐次加1），39 ，3 0.5.【例 2】在实数 0 ，1， 2 ，0.1235 中无理数的个数是（）A 0B 1C 2D 322【拓展】 ，2 ， 9 ，3.14 ，0.61414 ，这 7 个实数中， 无理数的个数7是（）A 0B 1C 2D 3【例 3】下面有四个命题：有理数与无理数之和是无理数有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之和是无理数无理数与无理数之积是无理数请你判断哪些是正确的，哪些

5、是不正确的，并说明理由。【例 4】判断正误，在后面的括号里对的用“”，错的记 “×”表示，并说明理由 .(1)无理数都是开方开不尽的数.()(2)无理数都是无限小数.()(3)无限小数都是无理数.()(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()(5)不带根号的数都是有理数 .()(6)带根号的数都是无理数.()(7)有理数都是有限小数.()(8)实数包括有限小数和无限小数.()（二）实数的绝对值：【例 5】求下列各数的相反数及绝对值：(1) 364(2) 3【例 6】已知一个数的绝对值是3，求这个数 .【拓展】 x = ，求 x 的值。;.【例 7】若 0b1则 b2， b ，b ，

6、1 这四个数有下列关系（）bA.b2bb1B.b2b1bbbC.1bbb2D.b1b2bbb【例 8】比较下列各组数的大小：(1)7 和 3(2)x2 1 和x2二二次根式的概念1. 二次根式的定义：形如a （ a0）的式子叫做二次根式2. 二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”。第二，被开方数是正数或0。第三，二次根式a （ a 0）表示非负数a 的算术平方根。3.性质(1) ( a) 2 =a（a0）(2)a2aa(a a0)2a （ a0）a 2a （ a 0）a(a 0)(3)ab =a · b （ a0， b0）a · b ab （ a0， b0）(4)a

7、=a （a0， b>0）a =a （a0， b>0）bbbb【例 1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。3,2,4,2,x21,a,m(m0), 38;.【例 2】当 x 取怎样的实数时x 1 ；2 x ；x 3 ；2 x2 在实数范围内有意义【拓展 1】x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义(1) 2x 3 ；3；2(2)(3)2x 11 x【拓展 2】 x 取何值时，下列各式有意义？x2 ；(3)1(1) 3 6x ；(2)x 1 2x5【拓展 3】x 取何值时，下列格式有意义：(1)x2 ；(2)1 x3 ；(3)2xx 93. 最简二次根式二次根式 a （ a 0 ）

8、中的 a称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(3)分母中不含二次根式。二次根式的计算结果要写成最简根式的形式【例 1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？(1) 3a2b(2)3ab(3)x2y2(4) a b （ a b） (5) 5(6) 8xy2;.【例 2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）6x 1 ， a 2b2 ， 2ab2 ，0.5ab ,a ，b , 24x ， x24x 4 34A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【例 3

9、】在下列二次根式10， a，2，a2b2， a ，12 x，a b，1， a， ab 中，最简二次22 5m3 x33222根式有 _。【练习】下列根式2 xy ， 8 ， ab ，3xy2y2 ， 1 中式最简二次根式的有（）， x252A2 个B3 个C4 个D5 个【例 4】把下列各式化成最简二次根式。(1) 24(2) 75a 3(3) 25x350x2 x 04. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。合并同类二次根式：axb x(ab)x 同类二次根式才可加减合并【例 1】下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（）A 5 2x和

10、 3 xB12ab 和122D a和13abC x y 和xy2a【例 2】在27 、1112、12中与3 是同类二次根式的个数是（）A. 0B.1C.2D.3【巩固】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127； 48；20；1125； 1y ； yx 52xxy【例 3】下列各组二次根式中，属于可以合并的是（）;.A 12与 72B 63与 28C 4x3 与 2 2xD 18与23【例 4】若 a+b4b 与3a b是同类二次根式，则a、b 的值为（）A a=2 , b=2Ba=2 , b=0C a=1 , b=1D a=0 , b=2 或 a=1 , b=1【巩固】若 a

11、b 4b 与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a ， b 为整数，则a _ ， b_；【例 5】若最简二次根式3a5 与a3 是可以合并的二次根式，则a _ 。【例 6】下列二次根式中，与a 是可以合并的是（）A 2aB 3a 234C aD a【例 7】若最简二次根式a b 2ab与a2a2b的值b 是同类根式，求课后作业1. 把下列各数分别填入相应的集合里38 ，-3.1459 ，-， 22-3 2，-7 ，-0.020202 ，37,81.414,- 7 ,1.2112111211112（相邻两个2 之间 1 的个数逐次加1）(1)正有理数集合： (2)有理数集合：(3)无理数集合： (4)实数集合： 2. x 取何值时，下列各式有意义：(1)x2(2)1(3)x22 xx31(4)2x13x(5)(6)x1x3.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.;.(1)5(2) 38(3) 1-2711114.下列判断(1) 23 和348不是同类二次根式；(2)45和25不是同类二次根式； (3) 8x与8不是同类二次根式，其中错误的个数是（）xA. 3B. 2C .1D. 05.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.8xB. x2 3C.x yD.3a2bx6.若代数式2x1 3 12 x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围