椭圆专题复习配套练习(共16页)

1、椭圆专题练习一一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.）1椭圆的焦距是（ ）A2BCD2F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）A椭圆B直线C线段D圆3若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）ABCD4方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）AB（0，2）C（1，+）D（0，1）5. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）A. B. 2 C. D. 16若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，

2、则这个椭圆的离心率为（ ）ABCD 7. 已知4，则曲线和有（ ）A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴8已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是（ ） ABCD9若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）A. 2 B. 1 C. D. 10椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）ABCD 11椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3BCD12在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A BC3 D4二、 填空题

3、：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）13椭圆的离心率为，则 。14设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 。15直线y=x被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。16已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程18、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程19、中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。20

4、、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程。21、椭圆 上不同三点 与焦点F（4，0）的距离成等差数列（1）求证 ；（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 22、椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.椭圆专题练习一答案一、 选择题：ACDD ADBD BBDC二、 填空题13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、三、 解答题17、18、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为： ；（2）当 为短轴端点时， ， ，椭圆的标准方程为

5、： ；19、设椭圆：（ab0），则a2b2=50 又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0） x0=，y0=2= 由 解，得：a2=75，b2=25，椭圆为：=120、 e2=椭圆方程可设为：设A（x，y）是椭圆上任一点，则：PA2=x2+（y）2=3y23y+4b2+ f（y）（byb）讨论：1°、b0b时，PA= f（b）=（b）2 = 但b，矛盾。不合条件。 2°、b b时，PA= f（）=4b2+3=7 b2=1 所求椭圆为：21、证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 由圆锥曲线的统一定义知： ，   同理  

6、;    ，且 ，    ，即   （2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得又点 ， 都在椭圆上，    将此式代入，并利用 的结论得22、解析：设，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又将，代入化简得 . (2) 又由（1）知，长轴 2a .椭圆专题练习二一选择题1椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|等于A. B. C. D.42设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作

7、圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为A. 1 B.2 C. D.3已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为A.8 B.16 C.25 D.324已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为A. B.3 C. D. （为参数）的焦点坐标为 5椭圆 x=4+5cos，y=3sin A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（8，0）C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）二填空题6椭圆+=1

8、的离心率是_，准线方程是_.7已知P是椭圆1（ab0）上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_.8如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.9点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是_.三解答题10已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.11如下图，设E：+=1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2.求证：PF1F2的面积S=b2tan.12若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1

9、交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程.13椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.14已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q，且OPOQ，|PQ|=，求椭圆方程.15设x、yR，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程.（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAP

10、B是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.17如下图，已知OFQ的面积为S，且·=1.（1）若S2，求向量与的夹角的取值范围；（2）设|=c（c2），S=c，若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当|取最小值时，求椭圆的方程.18已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1BF2B10椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围.19直线l过点M（

11、1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.椭圆专题练习二答案一选择题1C 2A 3B 4D 5D二填空题6 ； x=± 71 80k1 9 三解答题10解：设椭圆方程为+=1（ab0），F1（c，0），c2=a2b2，则P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.11证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（

12、1+cos2）=4a24c2=4b2.所以r1r2=.这样即有S=·sin2=b2=b2tan.12解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.（a+b）x22bx+b1=0.由 x+y=1，ax2+by2=1，=，=1=.M（，）.kOM=，b=a. OAOB，·=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2. 由得a=2（1），b=2（1）.所求方程为2（1）x2+2（1）y2=1.13解：由题设条件可知a=2c，b=c，又ac=，解得a2=12，b2=9.所求椭圆的方程

13、是+=1或+=1.14解：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组y=x+1，mx2+ny2=1. 消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n24（m+n）（n1）>0，即m+nmn>0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦长公式得2·=（）2，将m+n=2代入，得m·n=. 或解得 m=， m=，n= n=. 椭圆方程为+y2=1或x2+=1.15（1）解法一：a=xi+（y+2）

14、j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，点M（x，y）到两个定点F1（0，2），F2（0，2）的距离之和为8.轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为+=1.解法二：由题知，+=8，移项，得=8，两边平方，得x2+（y+2）2=x2+（y2）216+64，整理，得2=8y，两边平方，得4x2+（y2）2=（8y）2，展开，整理得+=1.（2）l过y轴上的点（0，3），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点.=+=0，P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此时，=

15、（18k2）4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（21）0恒成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OAOB，即·=0.=（x1，y1），=（x2，y2），·=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）·（）+3k·（）+9=0，即k2=，得k=±.存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.16解：按题意，有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）.设=k（0k1），由此有E（2，4a

16、k），F（24k，4a），G（2，4a4ak）.直线OF的方程为2ax+（2k1）y=0. 直线GE的方程为a（2k1）x+y2a=0. 由消去参数k，得点P（x，y）满足方程2a2x2+y22ay=0.整理得+=1.当a2=时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当a2时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当a2时，点P到椭圆两个焦点（，a），（，a）的距离之和为定值.当a2时，点P到椭圆两个焦点（0，a），（0，a+）的距离之和为定值2a.17解：（1）由已知，得|sin（）=S，|cos=1. tan=2S.S2，1tan4. 则arctan4.（2）以

17、O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设椭圆方程为+=1（ab0），Q（x，y）.=（c，0），则=（xc，y）.|·y=c，y=.又·=c（xc）=1，x=c+.则|=（c2）.可以证明：当c2时，函数t=c+为增函数，当c=2时，|min=，此时Q（，）.将Q的坐标代入椭圆方程，解得得 +=1， a2=10，a2b2=4. b2=6.椭圆方程为+=1.18（1）解：由椭圆定义及条件知2aF1BF2B10，得a5.又c4，所以b3故椭圆方程为1（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得F2ByB方法一：因为椭圆右准线方程为x，离心率为根据椭圆定义，有F2A（x1），F

18、2C（x2）由F2A、F2B、F2C成等差数列，得（x1）（x2）2×由此得出x1x28设弦AC的中点为P（x0，y0），则x04方法二：由F2A、F2B、F2C成等差数列，得2×， 由A（x1，y1）在椭圆1上，得y12（25x12），所以=（254x1）. 同理可得（254x2） 将代入式，得（254x1）（254x2）所以x1x28设弦AC的中点为P（x0，y0），则x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9x1225y129×25， 9x2225y229×25 由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25

19、（）（）0（x1x2）.将x0=4，y0，（k0）代入上式，得9×425y0（）0（k0）由上式得ky0（当k0时也成立）.由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y04km，所以my04ky0y0y0由P（4，y0）在线段BB（B与B关于x轴对称）的内部，得y0.所以m解法二：因为弦AC的中点为P（4，y0），所以直线AC的方程为yy0（x4）（k0）.将代入椭圆方程+1，得（9k225）x250（ky04）x25（ky04）225×9k20所以x1x28解得ky0（当k0时也成立）.以下步骤同解法一. 19解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则+=1， +=1

20、. ，得+=0.=·.又M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2.直线l的斜率为.直线l的方程为y1=（x1），即3x+4y7=0.椭圆专题练习三一、填空题1离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 _ .2与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(3，)的椭圆方程为_3已知是椭圆上的点，则的取值范围是_ 4已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于_二、解答题5已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程6已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该

21、椭圆方程7过椭圆引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点（1）若，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用表示）；（3）求MON面积的最小值（O为原点） 8椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围9一条变动的直线L与椭圆+=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2若直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状10椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.（14分） 椭圆专题练习三答案一、填空题1 2 3 4三、解答题5(12分) 解析:由 ，椭圆的方程为：或.6(12分