哈理力第二章

1、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院1理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22-2 2-2 平面力对点之矩平面力对点之矩平面力偶平面力偶一、力对点之矩（力矩）一、力对点之矩（力矩）MO(F)OhrFAB力力F与点与点O位于同一平面内，位于同一平面内，称为力矩作用面。点称为力矩作用面。点O称为称为矩心矩心，点点O到力作用线的垂直距离到力作用线的垂直距离h 称称为为力臂力臂。力对点之矩是一个力对点之矩是一个代数量代数量，它的，它的绝对值等于绝对值等于力的大小与力臂的乘积，力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕它的正负可按下法确定：力使物体绕矩

2、心矩心逆时针转动时为正，反之为负。逆时针转动时为正，反之为负。移动效应移动效应_ 取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应_ 取决于力矩的大小、转向取决于力矩的大小、转向力对物体可以产生力对物体可以产生理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院3 是代数量。是代数量。( )OMF当当F=0 0或或h=0 0时，时， =0 0。( )OMF 是影响转动的独立因素。是影响转动的独立因素。( )OMF =2 2AOB=Fh，2 2倍倍形面积。形面积。( )OMF 单位单位Nm或或kNm 。()OMFF h 力对点之矩力对点之矩+ +MO(F)OhrFAB理论力学理论力学

3、中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院4二、二、合合力矩定理与力矩的解析表达式力矩定理与力矩的解析表达式合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。合力对某点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。R1()()()nOOiOiiMFMFMFFFxFyxyOqxyA()()()sincosOOxOyyxMFMFMFFxFyxFyFqq力矩的解析表达式（不必记）力矩的解析表达式（不必记）按力系等效概念，上式必然成立，且适用于任何有合力存在的力系。按力系等效概念，上式必然成立，且适用于任何有合力存在的力系。一个力对某点的矩可用其两个互相一个力对某点的矩可用其两个互相垂直的分力对该点矩的代

4、数和求解！垂直的分力对该点矩的代数和求解！式中为投影式中为投影理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院5rhqqOFn例例已知已知Fn=1400N, ,齿轮的节圆（啮合圆）的半径齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r =60mm，压力角压力角q q=200，求力，求力Fn对对O点的矩。点的矩。nnn()cos78.93N mOMF h Fr F按力矩的定义得按力矩的定义得根据合力矩定理，将力根据合力矩定理，将力Fn分解为分解为圆周力圆周力Ft 和径向力和径向力Fr ,rOqFnFrFtnrttn()()()()cosOOOOMMMMFrqFFFF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南

5、大学土木工程学院6三、平面力偶及其性质三、平面力偶及其性质由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为的力系，称为力偶，记为( (F, , F) )。力偶的两力之间的垂。力偶的两力之间的垂直距离直距离d 称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7大小：大小：FR=F1+F2方向：平行于方向：平行于 F1、F2且指向一致且指向一致作用点：作用点：C处处确定确定C点，由合力距定理点，由合力距定理R12()()()0CCCMFMFMF1

6、20F ACFBC性质性质1 1：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。两个同向平行力的合力两个同向平行力的合力F2F1ABFFFR1FR2FRC21FACBCF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院8力偶无合力力偶无合力 FR=FF=01FFCACBCACB 12FCBCAF两个反向平行力的合力两个反向平行力的合力 大小：大小：FR=F1F2 方向：平行两力方向：平行两力且与较大的相同且与较大的相同 作用点：作用点：C处处 F2F1ABFRCFFABC若若CB=CA=CB+d 成立，且成立，且d00，必有，必有CB即合

7、力作用点在无穷远处，不存在合力。即合力作用点在无穷远处，不存在合力。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院9( )()()OOMMF x dF xFdFF说明：说明： M是代数量，有是代数量，有+、； F、 d 都不独立，只有力偶矩都不独立，只有力偶矩 M=Fd 是独立量；是独立量； M的值的值M=2ABC ； 单位：单位：N m由于由于O点是任取的点是任取的MF d +性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。A

8、BOFdCxF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院10 性质性质3：平面力偶等效定理：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。转向相同，则该两个力偶彼此等效。= = = =由上述证明可得下列由上述证明可得下列两个推论：两个推论：力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的 作用效应。作用效应。只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中 力的大小和相应力偶

9、臂的长短，而不改变它对刚体的作力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作 用效应。用效应。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院11=理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院12同平面内力偶等效定理证明同平面内力偶等效定理证明理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院13力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示的符号表示力偶，的符号表示力偶，M为力偶的矩。为力偶的矩。dFF=M=M理论力学理论力学中南大学土

10、木工程学院中南大学土木工程学院141113MFdF d2224MF dF d M1(F1，F1)， M2(F2，F2)3434FFFFFF343412()MFdFF dF dF dMM在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。 四、四、平面力偶系的合成和平衡平面力偶系的合成和平衡F2F2d2F1F1d1F3F3F4F4dFFd理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院15 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: : 所有各力偶矩的代数和等于零。所有各力偶矩

11、的代数和等于零。( (力偶只能和力偶平衡力偶只能和力偶平衡) ) 121nniiiMMMMMM即即: :0iM 即即ABDM45lABMFBFA理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院16 例例 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束力两点的约束力。00ACMMM 3137NCF 22122418 2(N cm)0.255(N m)22ACCCCCCMF dFFFF 解：注意到解：注意到CB为二力构件，画受力图为二力构件，画受力图理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院17解：解： 1 1、AD为为二力杆。二力杆。2 2、研究对象：

12、整体、研究对象：整体ACMFFl 例例 图示杆系，已知图示杆系，已知M和和l，求，求A、B处约束力。处约束力。ACBDlllMFAFCM作用在作用在AD杆上又如何？杆上又如何？ACBDlllMBC为二力杆为二力杆FAFC02sin45ACMMFFll理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院18作用在刚体上的力可以平行移到作用在刚体上的力可以平行移到同一刚体同一刚体内任意一内任意一 点，但必须同时附加一个力偶。附加力偶的力偶矩点，但必须同时附加一个力偶。附加力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点的矩。等于原来的力对新作用点的矩。证证 力力F 力系力系（ ，）FFF力力力力偶偶, F

13、F F一、力线平移定理一、力线平移定理力线力线平移平移定理定理2-32-3 平面任意力系的简化平面任意力系的简化ABMABFFFFABF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院19说明说明： 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 ； （例如一个力功丝时容易功坏螺纹或折断丝锥）（例如一个力功丝时容易功坏螺纹或折断丝锥）力线平移的条件是附加一个力偶力线平移的条件是附加一个力偶M，且，且M=Fd ；一个力和一个力偶也可合成为一个力，即力线平移定理的一个力和一个力偶也可合成为一个力，即力线平移定理的 反定理同样成立：力反定理同样成立：

14、力 +力偶力偶 力；力；力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院20OxyijOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR1122nn FFFFFF1122()()()OOnOnMMMMMMFFF二、平面任意力系向一点的简化二、平面任意力系向一点的简化O任选任选O点为点为简化中心简化中心平面任意力系向作平面任意力系向作用面内一点简化得用面内一点简化得一力和一力偶。一力和一力偶。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院21平面汇交力系的平面汇交力系的合力合力FR，不是原来任意力系的合力。，不

15、是原来任意力系的合力。平面力偶系的合力偶平面力偶系的合力偶MO 也不是也不是原来任意力系的合力偶。原来任意力系的合力偶。平面任意力系平面任意力系平面汇交力系平面汇交力系+ +平面力偶系平面力偶系向一点简化向一点简化其中平面汇交力系的合力为其中平面汇交力系的合力为平面力偶系的合力偶为平面力偶系的合力偶为1212()()()()OnOOOnOiMMMMMFMFMFMF R1212nniF = F +F +F = F +F +F =F理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院22原力系各力的矢量和，称为原力系的主矢。原力系各力的矢量和，称为原力系的主矢。( (不是原力系的合力不是原力系

16、的合力) )原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。原力系各力对简化中心的矩，称为原力系对简化中心的主矩。 主矢与简化中心位置无关主矢与简化中心位置无关 (因主矢等于各力的矢量和因主矢等于各力的矢量和)RF2222RRR()()xyixiyFFFFFRRRRcos()cos()iyixFFFiFjFF， 移动移动效应效应主主矢矢大小大小：方向方向：12312 ()()()OOOOiMMMMMFMFMF主矩主矩主矢主矢R1212nniF = F +F +F = F +F +F =F理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院23()OOiMMF 大小：大小： 主矩主矩M

17、O 转向：转向： 转向规定转向规定 + 主矩一般与简化中心有关主矩一般与简化中心有关 （因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和）（因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和）转动转动效应效应雨雨 搭搭固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束车车 刀刀理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院24理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院25AAA 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约束称为称为固定端固定端约束。（与固定铰不同）约束。（与固定铰不同）AMAFAyFAxFAMAFAx 、 FAy 、 MA为固定端的约束力为固定端

18、的约束力;FAx 、 FAy限制物体移动限制物体移动, MA限制物体转动。限制物体转动。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院26 平面任意力系向作用面内一点简化得一力和一力偶，该平面任意力系向作用面内一点简化得一力和一力偶，该力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系对简化中心的主矩。力等于原力系的主矢，力偶矩等原力系对简化中心的主矩。下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。1 1、若、若 ，则力系合成为，则力系合成为合力偶合力偶，合力偶矩等于原，合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩力系对简化中心的主矩MO，此时主矩与简化中心的位置无关此时

19、主矩与简化中心的位置无关。R00OFM ，三、平面任意力系简化结果分析三、平面任意力系简化结果分析2 2、若、若 ，则力系合成为一个，则力系合成为一个合力合力，主矢，主矢 等于等于原力系的合力矢原力系的合力矢 ，合力，合力 通过简化中心通过简化中心O点。点。（合力与简（合力与简化中心位置有关，换个简化中心，主矩不为零）化中心位置有关，换个简化中心，主矩不为零）R00OFM ，RFRFRF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院273 3、若、若 ，则力系仍合成为一个，则力系仍合成为一个合力合力，合力等于，合力等于原力系的主矢。作用点不在简化中心。原力系的主矢。作用点不在简化中心

20、。R00OFM ，ooRFOMooRFRFRFdooRFd=ROMdFRR()()OOOiMFF dMMF合力矩定理合力矩定理4 4、若、若 , , 则该力系平衡，下节专门讨论。则该力系平衡，下节专门讨论。R00OFM ，理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院28Rd( )dFq xx 0R0( )d( )dlOlxq xxMdFq xxdxAOq(x)lxdxMOR0( )dlFq xx 主矢：主矢：取取O点为简化中心，将力系向点为简化中心，将力系向O点简化。点简化。0( )dlOMxq xx主矩：主矩：力系可进一步简化为一合力，其作用线距力系可进一步简化为一合力，其作用线

21、距O点的距离为：点的距离为：四、平行分布荷载的简化四、平行分布荷载的简化RdFRFFR集度为集度为q(x)kN/m或或N/m的任意平行分布力如图。的任意平行分布力如图。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院29结论：结论： 合力的大小等于线荷载所组成几何合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。图形的面积。合力的方向与线荷载的方向相同。合力的方向与线荷载的方向相同。合力的作用线通过荷载图的形心。合力的作用线通过荷载图的形心。2、三角形荷载、三角形荷载12FqlF23l3lq可以看作一个三角形荷载和一个可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加均布荷载的叠加平行分布荷载简化的

22、特例平行分布荷载简化的特例1、均布荷载、均布荷载FqlqF2l2l3、梯形荷载、梯形荷载q2q1l11Fql2211()2Fqq l理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院30 设合力作用线上任一点的坐标为（设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，将合力沿作用线移动到此点，则将合力沿作用线移动到此点，则3.3.求合力作用线方程求合力作用线方程AOC70.84FRFRyFRxxyRRROOyxyxMMx Fy FxFyF F可得合力作用线方程可得合力作用线方程2355kN m670.1kN232.9kNxy 即即670.1kN232.9kN2 355kN m0 xy (x,y)理

23、论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院31一、平面任意力系的平衡条件一、平面任意力系的平衡条件2-4 2-4 平面任意力系的平衡条件及方程平面任意力系的平衡条件及方程 平面任意力系平衡的必要和充分条件为平面任意力系平衡的必要和充分条件为： 力系的主矢力系的主矢 和对任一点的主矩和对任一点的主矩 MO 都等于零都等于零，即即： RF22R()()()xyOOiFFFMM F理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院32上式只有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式只有三个独立方程，只能求出三个未知数。二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程00()0 x

24、yOiFFMF基本式基本式0()0()0FFxABFMM二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不垂直垂直 AB 连线连线()0()0()0ABCMMMFFF三矩式三矩式条件：条件：A，B，C 三点不共线三点不共线理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院33 平面平行力系为平面任意力系的特殊情平面平行力系为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则平衡方程，选如图的坐标，则S SFx=0=0自然满自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：足。于是平面平行力系的平衡方程为：0()0yOFMF；平面平行力系的平

25、衡方程也可表示为二矩式：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：()0()0ABMMFF；其中其中AB连线不能与各力的作用线平行。连线不能与各力的作用线平行。力的作用线在同一平面且相互平行的力系称力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系平面平行力系。OxyF2F1F3Fn三、平面平行力系平衡方程三、平面平行力系平衡方程理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院34例例 一种车载式起重机，车重一种车载式起重机，车重G1= 26kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重G2 = 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31kN。尺寸如图所示。设伸臂

26、在起重机对称面内，且放在图示尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。G2FAG1G3GFB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院35解：解： 1、取汽车及起重机为研取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。究对象，受力分析如图。2、列平衡方程列平衡方程GG2FAG1G3FBAB3.2.5 m1.8 m2.0 m0F 1230ABFFGGGG 0BMF 21(2.5m 3m)2.5m2m(1.8m 2m)0AGGGF理论力学理论力学中南大学土木工程学院

27、中南大学土木工程学院364、不翻倒的条件是：、不翻倒的条件是：FA0， 所以由所以由上式可得上式可得故故最大起吊重量为最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN3 3、联立求解、联立求解12AFGGGG12122.57.5kN5.5GGGG2FAG1G3FBAB3.2.5 m1.8 m2.0 m理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院37当：独立方程数目当：独立方程数目未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）一、静定与静不定

28、问题的概念一、静定与静不定问题的概念2-52-5 静定与静不定静定与静不定 物系的平衡物系的平衡两个独立方程，只能求两个独立未知数。两个独立方程，只能求两个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。0iM 平面平面力偶系力偶系 平面平面任意力系任意力系 平面平面汇交力系汇交力系0 xF 0yF ()0OiMF0 xF 0yF 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院38理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院39 静不定问题在变形体力学静不定问题在

29、变形体力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）弹力）中用位移谐调条件来求解中用位移谐调条件来求解。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院40二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。外力、内力都是某研究对象而言的，外力、内力都是某研究对象而言的，对不同的研究对象而言，可转换。对不同的研究对象而言，可转换。理论力学

30、理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院41物系平衡的特点：物系平衡的特点： 物系静止，物系中每个单体也是平衡的；物系静止，物系中每个单体也是平衡的； 每个单体可列每个单体可列3 3个平衡方程，整个系统可列个平衡方程，整个系统可列 3 3n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n个物体）个物体）解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法： 由整体由整体 局部局部 由局部由局部 整体整体 由物体系统问题性质决定由物体系统问题性质决定物系由平行结构组成物系由平行结构组成物系中各部分相互约束，物系中各部分相互约束，各自都不能独立存在。各自都不能独立存在。物系由基本结构和附属结构组成物系由基本结

31、构和附属结构组成基本结构可独立存在，附基本结构可独立存在，附属结构依附基本机构存在。属结构依附基本机构存在。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院42 三、解题步骤与技巧三、解题步骤与技巧 解题步骤解题步骤 解题技巧解题技巧 选研究对象选研究对象 选坐标轴最好是未知力选坐标轴最好是未知力 投影轴；投影轴； 画受力图（受力分析画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；取矩点最好选在未知力的交叉点上； 选坐标、取矩点、列选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。平衡方程。 解方程求出未知数解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。灵活

32、使用合力矩定理。四、注意问题四、注意问题 力偶在坐标轴上的投影不存在；力偶在坐标轴上的投影不存在； 力偶矩力偶矩M =常数，它与坐标轴和取矩点的选择无关。常数，它与坐标轴和取矩点的选择无关。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院43例6 例例 求图示多跨静定梁的支座约束力。求图示多跨静定梁的支座约束力。解：先以解：先以CD为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqFCBq22FAD13FCxF

33、CyFDqFFAxFAyFDFBq132BFFq1122AyFFq解得解得CDCBAD理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院44l/8/8qBADMFCHEl/4/4l/8/8l/4/4l/4/4例例 组合梁组合梁AC和和CE用铰链用铰链C相连，相连，A端为固定端，端为固定端，E端为活动铰链支座。端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：受力如图所示。已知： l =8 m，F=5 kN，均布荷载集度，均布荷载集度q=2.5 kN/m，力，力偶矩的大小偶矩的大小M= 5 kNm，试求固端，试求固端A，铰链，铰链C和支座和支座E的约束力。的约束力。解解:1.取取CE段为研究对象段为研

34、究对象 4. .联立求解联立求解 FE=2.5 kN， FC=2.5 kN3.列平衡方程列平衡方程0yF 04CElFqF 0CMF 0482ElllqMF 2.受力分析如图受力分析如图CEqMl/4/4l/4/4FCFED理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院456. .列平衡方程。列平衡方程。7. .联立求解联立求解 FA= 15 kN， MA= 2.5 kNm5. .取取AC段为研究对象，受力分析如图。段为研究对象，受力分析如图。0yF 04AClFFFq 0FAM308482ACllllMFqF MAFql/4/4BACHl/8/8l/8/8FA理论力学理论力学中南大

35、学土木工程学院中南大学土木工程学院46例例5 例例 求图示三铰刚架的支座约束力。求图示三铰刚架的支座约束力。解：以整体为研究对象，受力如图。解：以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaFCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy解得：解得：3124ByFFqa1142AyFqaF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院47例5再以再以AC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF解得：解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCx

36、FCyAFCCBqaaaAF理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院48例例 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为处均为光滑铰链，物块重为G，通过绳子绕过滑，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆轮水平地连接于杆AB的的E点，各构件自重不计，试求点，各构件自重不计，试求B处的约束力。处的约束力。 FAyFAxFCxFCyG解、解、1.取整体为研究对象。取整体为研究对象。2.受力分析如图受力分析如图3.列平衡方程列平衡方程解得解得 2.5CxFG 0AMF520CxrGrF0FCM520AxrGrF解得解得 2.5AxFG若若理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院49

37、GFCxDCBFTFByFBxFCyFBxFAyFAxFByFE4.取杆取杆CD连滑轮为研究对象，受力分析如图。连滑轮为研究对象，受力分析如图。5.列平衡方程列平衡方程T00 xCxBxFFFF T0 250CByMrFrGrF F求解可得求解可得1.52BxByFGFG ，若取杆若取杆AB为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。00 xAxBxEFFFF 0220FABxByEMrFrFrF联立求解才得结果。联立求解才得结果。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院50DKCABEqP例例 如图所示，如图所示，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为定滑轮半径为

38、R，动滑轮半径为，动滑轮半径为r，且且R=2r=l，q q=45已知重力已知重力P 。试求：。试求：A，E支座的约束力及支座的约束力及BD杆所受的力。杆所受的力。解、解、1. 选取选取整体整体研究对象，受力分析如图所示。研究对象，受力分析如图所示。FAFExFEy2.列平衡方程列平衡方程5022020cos4500sin450EAxAExyAEyMFlPlFFFFFFPF3.解平衡方程得解平衡方程得5 28513sin4588AExEyAFPPFPFPF；理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院51 4. 选取选取DCE研究对象，受力分析如研究对象，受力分析如图所示。图所示。E

39、CKD5.列平衡方程列平衡方程6.解平衡方程解平衡方程DKCABEqP 0cos45220CDBKExMFFlFlFl 3 28DBPFFKFEyFExFDBFCyFCx2KPF式中式中顺时钟取正顺时钟取正若取若取AB为对象，如何画受力图？为对象，如何画受力图？理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院52例9例例图示结构，各杆在图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，处均为铰接，B处为光滑处为光滑接触。在接触。在C、D两处分别作用力两处分别作用力F1和和F2，且，且F1=F2=500N，各杆，各杆自重不计，求自重不计，求H处的约束力。处的约束力。解：先以整体为研究对象，受力如

40、图。解：先以整体为研究对象，受力如图。()0:AMF214260BFFF解得：解得：1000NBF 2m2m2m2m2m2mADEHGBCF1F2F1F2ADEHGBCFAxFAyFB理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院53例9再以再以DH为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。2()0:220EHyMFFF解得：解得：2500 NHyFF 最后以杆最后以杆BG为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。()0:GMF4220BHyHxFFF解得：解得：1500 NHxF DEHF2FEyFHyFHxFExFBHGBFGyFGxFHyFHx2m2m2m2m2m2mADE

41、HGBCF1F2理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院54ABCD例10例例三根等长同重均质杆三根等长同重均质杆(重重W) 在铅垂面内以铰链和绳在铅垂面内以铰链和绳EG构成正方形。已知：构成正方形。已知：E、G是是AB、BC中点，中点，AB水平，求水平，求绳绳EG的张力。的张力。解解1：取：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为分析，受力如图。不妨设杆长为l。()0:BMFTsin450(1)22AyllF lWF再以整体为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。0:yF30(2)AyDyFFWFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDyABCDEG

42、理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院55例10最后以最后以DC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。0(3)2DylF lW联立求解联立求解(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)得：得：T42FW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyW解解2：先以：先以BC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。Tsin450(4)2CxlFlF 再以再以DC为研究对象，受力如上图。为研究对象，受力如上图。FCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0 xF0(5)DxCxFFABCD理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院56例10联立求解联立求解(4

43、)(4)、(5)(5)、(6)(6)即可的同样结果。即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。最后以整体为研究对象，受力如图。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院57例12例例 两根铅直梁两根铅直梁AB、CD与水平梁与水平梁BC铰接，铰接，B、C、D均为光滑均为光滑铰链，铰链，A为固定支座，各梁的长度均为为固定支座，各梁的长度均为l=2m，受力情况如图，受力情况如图所示。已知水平力所示。已知水平力F=6 kN，M=4 kNm，q0=3 kN/m。求固。求固定端定端A及铰链及铰链C

44、的约束力。的约束力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解解: (1) 取取BC分析分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl求得结果为正说明与假设方向相同。求得结果为正说明与假设方向相同。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院58例12(2) 取取CD分析分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得结果为正说明与假设方向相同。求得结果为正说明与假设方向相同。ABCDF2l/3l/2 Mq0理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院59例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBC

45、A(3) 取取AB、BC分析分析010:02xAxCxFFq lF01143 21kN22AxCxFFq l 0:0yAyCyFFF2 kNAyCyFF0()0:11023AACyCxMMMq llFlFl F6 kN mAM 求得结果为负说明与假设方求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院60ABED例13解：本题为求二力杆（杆解：本题为求二力杆（杆1）的内力）的内力FA1或或FC1。为。为此先取杆此先取杆2、4及销钉及销钉A为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。FF

46、A1FEyFExFND1NN1NN()0:()0(a)2222()0(a1)2222EABDABDMbbbbFFxFFbbbbFF xFFF例例 编号为编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，的四根杆件组成平面结构，其中其中A、C、E为光滑铰链，为光滑铰链，B、D为光滑接触，为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅上作用一铅垂向下的力垂向下的力 F，试证明无论力，试证明无论力 F 的位置的位置 x 如何改如何改变，其竖杆变，其竖杆 1 总是受到大小等于总是受到大小等于F 的压力。的压力。ax1234EACBDFb上式中上式中FND和和FNB

47、为未知量，必须先求得；为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆为此再分别取整体和杆2为研究对象。为研究对象。FNB理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院61例13ABFFAyN()0:0CDMFbFxF取整体为研究对象，受力如图。取整体为研究对象，受力如图。FNBFAxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平杆取水平杆2 2为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。NBFxFb代入（代入（a a）式得）式得1AFF FA1为负值，说明杆为负值，说明杆1受压，且与受压，且与x无关。无关。xFFNDFCyFCx理论力学理论力学中南大学土木工程学院

48、中南大学土木工程学院62ABCDERG60cm30cm40cm30cmMW例例构架如图所示。重为构架如图所示。重为W的重物用细绳绕过半径的重物用细绳绕过半径R=10cm的滑轮连接在杆的滑轮连接在杆CD上，杆上，杆BC上作用着一力偶矩上作用着一力偶矩M=60W(Ncm)力偶，其它尺寸见图。不计力偶，其它尺寸见图。不计各杆及滑轮和细绳的重量。求杆各杆及滑轮和细绳的重量。求杆AC的内力和铰链的内力和铰链D处的约束力。处的约束力。2010级考题级考题解：以整体为对象，画受力图解：以整体为对象，画受力图（图（图4分）分）FAxFAyFBxFBy( )0401000BAxMFFWM FAx =4W（方程及

49、结果各（方程及结果各1分，共分，共2分）分）FDxWFDyFCxCDGFCy以以CD为对象，画受力图为对象，画受力图（图（图4分）分）()0300CDxDyMFFFW (1)（1分）分） 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院63以以ADE为对象，画受力图为对象，画受力图（图（图4分）分）FACFAyWFDyDFAxAFDxWE31.52DyFWW FDy代入方程代入方程(1)得得 30.3758DxFWW3005xAxACDxFFFFW 354.3758ACFWW （方程及结果各（方程及结果各1分，共分，共5分）分） 思考：还可以考虑用什么研究对象求解？思考：还可以考虑用什

50、么研究对象求解？FBxFByCBMFCxFCy( )0300CByMFFM 4( )060603005DACAyMFFFW 3005xAxACDxFFFFW 2ByFW整体整体43AxAyFWFWADE4005yAyACDyFFFFW ( )060900ADyMFFW 理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院64由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架桁架2-62-6 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院65理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院66 桁架是

51、由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状桁架是由杆件彼此在两端用铰链连接形成的几何形状不变的结构。不变的结构。桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为桁架中所有杆件都在同一平面内的桁架称为平面桁架平面桁架。桁架中的铰链接头称为。桁架中的铰链接头称为节点节点。 为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设：为简化桁架计算，工程实际中采用以下几个假设： (1)桁架的杆件都是直杆；桁架的杆件都是直杆； (2)杆件用光滑铰链连接；杆件用光滑铰链连接； (3)桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内；桁架所受的力都作用到节点上且在桁架平面内； (4)桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端桁架杆件的重量

52、略去不计，或平均分配在杆件两端 的节点上。的节点上。这样的桁架，称为这样的桁架，称为理想桁架理想桁架。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院67桁架的实际节点桁架的实际节点焊接或铆接，杆的端点不焊接或铆接，杆的端点不能转动，可承受力矩。能转动，可承受力矩。理想节点理想节点光滑铰链，不能光滑铰链，不能承受力矩承受力矩实际节点变为理想节点，所得结果是偏于安全的。实际节点变为理想节点，所得结果是偏于安全的。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院68理想桁架理想桁架杆件杆件节点节点理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院69桁架的优点：轻，充分发挥材

53、料性能。桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。桁架的特点：桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接；杆端铰接； 外力作用在节点上。外力作用在节点上。 力学中的桁架模型力学中的桁架模型三角形有稳定性三角形有稳定性(a)(b)(c)理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院70工程力学中常见桁架的简化计算模型工程力学中常见桁架的简化计算模型理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院71理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院72理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院73总杆数总杆数mn总节点数总节点数32

54、 nm32(3)mn理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院7432 nm平面复杂（超静定）桁架平面复杂（超静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架平面简单（静定）桁架32 nm非桁架（机构）非桁架（机构）理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院75 桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架桁架内每个节点都受平面汇交力系作用，为求桁架内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，内每个杆件的内力，逐个取桁架内每个节点为研究对象，求桁架杆件内力的方法即为求桁架杆件内力的方法即为节点法节点法。一、节点法一、节点法例例 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点平面桁架

55、的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载处受一集中荷载F = 10 kN的的作用。试求桁架各杆件所受的内力。作用。试求桁架各杆件所受的内力。2mF2mABCD3013425解：先以整体为研究对象，受力如图。解：先以整体为研究对象，受力如图。00 xAxFF 00yAyByFFFF ()0240AByMFF F5 kNByF5 kNAyFFByFAyFAx理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院76再分别以节点再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210cos300 xAxFFFF10sin300yA

56、yFFF节点节点A410cos30cos300 xFFF3140()sin300yFFFF节点节点C5200 xFFF节点节点D解上述解上述5 5个方程得个方程得1234510 kN8.66 kN10 kN10 kN8.66 kNFFFFF ，其中其中1，4杆受压。杆受压。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院77312F =0，且FF二、特殊杆件的内力判断二、特殊杆件的内力判断120FF两杆节点无荷载、且两杆不在两杆节点无荷载、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。一条直线上时，该两杆是零杆。 L型型三杆节点无荷载、其中两杆在三杆节点无荷载、其中两杆在一条直线上，另一杆必为

57、零杆一条直线上，另一杆必为零杆 T型型F1F2F1F3F2L型节点受外载，且外荷载沿型节点受外载，且外荷载沿其中一根杆作用，则另一根杆其中一根杆作用，则另一根杆为零杆。为零杆。F1F2F210FFF ，内力为零的杆件称为零杆。内力为零的杆件称为零杆。以下可直接判断零杆。以下可直接判断零杆。理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院780用零杆判别法确定下列桁架中的零杆用零杆判别法确定下列桁架中的零杆000 0000零杆在桁架中不能拆去，但零杆在桁架中不能拆去，但进行受力分析时可以不考虑。进行受力分析时可以不考虑。FBA153427698ACDEHBGKFFBA0000000理论力学理论力学中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院79 用假想的截面将桁架截开，因为桁架所有的杆件都是用假想的截面将桁架截开，因为桁架所有的杆件都是直的二力杆，所以，每根杆截开后都只有沿杆轴线