2、二次型及其矩阵表示ppt课件

1、15.1 二次型的矩阵表示25.1 二次型的矩阵表示3解析几何中解析几何中选择适当角度选择适当角度,逆时针旋转逆时针旋转坐标轴坐标轴 (标准方程标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心与坐标原点重合的有心二次曲线 222faxbxycy cossincossinxxyyxy22fa xc y 5.1 二次型的矩阵表示4代数观点下代数观点下作适当的非退作适当的非退化线性替换化线性替换 只含平方项的多项式只含平方项的多项式二次齐次多项式二次齐次多项式11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc ycycy (标准形标准形)12(,)

2、nf x xx5.1 二次型的矩阵表示5设设P为数域，为数域，称为数域称为数域P上的一个上的一个n元二次型（元二次型（Quadratic Form）212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x n个文字个文字 的二次齐次多项式的二次齐次多项式12,nx xx, ,1,2, ,ijaP i jn 2222222nna xax x 2333332nna xa x x 2nnnax 5.1 二次型的矩阵表示62. 式式 也可写成也可写成1. 为了计算和讨论的方便为了计算和讨论的方便,式中式中 写成写成 2.ija.2),(11221 njijiijniiiinxxa

3、xaxxxf jixxji 的系数的系数5.1 二次型的矩阵表示7（1） 约定中约定中aij= =aji，ij ，由，由 xixjxjxi，有有212111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xax xax .11 ninjjiijxxa5.1 二次型的矩阵表示8111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 令令 则矩阵则矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵（matrix）.12(,)nf x xx)(nnPA 5.1 二次型的矩阵表示9111211212222121

4、2.(,.,).nnnnnnnnaaaxaaaxX AXx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x （2）令nxxxX215.1 二次型的矩阵表示10于是有于是有12(,.,).nf xxxX AX 1122111nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x ninjjijixax11)( ninjjiijxxa115.1 二次型的矩阵表示112. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具矩阵是一个有力的工具. .AB 若若 且且 ，则，则X

5、 AXX BX ,AABB 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即二次型的矩阵总是对称矩阵，即.AA （这表明在选定文字下，二次型（这表明在选定文字下，二次型 完全由对称矩阵完全由对称矩阵A决定决定.)12(,.,)nf x xxX AX 12,.,nx xx5.1 二次型的矩阵表示12写出矩阵表示写出矩阵表示1. 实数域实数域R上的上的2元二次型元二次型 3. 复数域复数域C上的上的4元二次型元二次型2. 实数域实数域R上的上的3元二次型元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)

6、f x xxxix xx xxi x x 5.1 二次型的矩阵表示13写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵1213231.422x xx xx x 1123231 3 52. (,) 2 4 67 8 5xx xxxx 2113.niijiij nxx x 其中其中214.() ,niixx 11.niixxn 5.1 二次型的矩阵表示14是两组文字是两组文字,关系式关系式1212,;,nnx xxyyy11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y , ,1,2,.ijcP i jn称为由称为由的一个的一个线性替换

7、线性替换; ;1212,nnx xxyyy到到若系数行列式若系数行列式|c|cij| |0,0,则称则称为为非退化线性替换非退化线性替换(non-degenerate linear transformation)(non-degenerate linear transformation). .5.1 二次型的矩阵表示15. .0 xy是非退化的是非退化的.例例1 1cossinsincosxxyyxy 变换变换x y 5.1 二次型的矩阵表示16则则可表示为可表示为 X=CY1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc 令令若若|C| 00，则则为

8、非退化线性替换为非退化线性替换. .5.1 二次型的矩阵表示17B CAC令 | 0C XCY12(,.,)nf x xxX AX ()BC ACC A CC ACB 又又()Y C AC Y ()()CYA CY 12(,.,)nY BYg yyy 12(,.,)nY BYg yyy 是一个是一个 二次型二次型. 12,nyyy5.1 二次型的矩阵表示181. 合同具有合同具有对称性（对称性（symmetrysymmetry）：）：反身性（反身性（reflexivityreflexivity）：）：设设 ，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵,n nA BP 使使 ，则称，则称A与与B合同合同(c

9、ongruent).,n nCP BC AC AE AE ,| 0BC AC C 11()()ACB C 5.1 二次型的矩阵表示193. 与对称矩阵合同的矩阵是与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵对称矩阵. . 2. 合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩. .即即C1C2可逆可逆.1212| | 0,C CCC 1212()()C CA C C 2112()DCC AC C 112212,| 0,| 0BC AC DC BCCC 传递性（传递性（transitivitytransitivity）: :5.1 二次型的矩阵表示20A与与B合同合同. .二次型二次型X AX可经非退化线性替换化为二次型可经非退化线性替换化为二次型Y BY5.1 二次型的矩阵表示21例例2 2证明：矩阵证明：矩阵A与与B合同，其中合同，其中1122,iininAB , ,12, ,ni ii是是1 1, , 2 2, , , , n n的的一个排列一个排列.5.1 二次型的矩阵表示22，或，或X=CY， |C| 0.基本概念基本概念,.n nBCACCP可逆1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX (),ijn nAaAA 11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 5.1 二次型的矩阵表示23基本结论