高阶系统及稳定性判据根

1、mnszsKasasasabsbsbsbsDsMsnjjmiinnnnmmmm 1101110111)()()()()( 高阶系统传函高阶系统传函3.4 高阶系统的动态性能闭环主导极点闭环主导极点: :距虚轴较近，而且附近又没有零点的极点对系统距虚轴较近，而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用。的动态性能起主导作用。偶极子：偶极子：靠的很近，作用可以相护抵销的闭环零极点对（不十靠的很近，作用可以相护抵销的闭环零极点对（不十分靠近虚轴，且零极点距虚轴距离是其相互之间距离的分靠近虚轴，且零极点距虚轴距离是其相互之间距离的1010倍以倍以上）上）高阶系统性能的估算零点、极点法高阶系统性能

2、的估算零点、极点法估算思路：估算思路：略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低略去非主导极点和偶极子，用主导零极点对应的低阶系统估算高阶系统的性能指标。阶系统估算高阶系统的性能指标。(s2+2s+5)(s+6)301(s) =(s2+2s+5)52(s) = %= 19.1% ts= 3.89s %= 20.8% ts= 3.74s1= (s+2)2+42202= (s+2)2+42(s+2)(s+3)1203= (s+2)2+42(s+2)(s+3)4.95(s+2)2+4.524= (s+2)(s+3)6注：注：在做变换时，要保在做变换时，要保证前后闭环增益不变证前后闭环增益不变方法一

3、步骤：方法一步骤：（1 1）由传递函数得到闭环零极点图）由传递函数得到闭环零极点图 （2 2）略去非主导零极点（）略去非主导零极点（5 5倍于主导极点距虚轴的距离）倍于主导极点距虚轴的距离） （3 3）略去不非常靠近原点的偶极子）略去不非常靠近原点的偶极子 （4 4）利用下表的估算公式，进行动态性能计算）利用下表的估算公式，进行动态性能计算高阶系统的时域处理方法高阶系统的时域处理方法方法二步骤：方法二步骤：仿真仿真估算公式估算公式稳定性的概念稳定性的概念 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制

4、理论的基的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。稳定的充要条件稳定的充要条件 系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半或所有闭环特征根均位于左半s s平面。平面。0)(lim tkt根

5、据系统稳定的定义，若根据系统稳定的定义，若 , , 则系统是则系统是稳定的。稳定的。 )()( )()()( )()()()(2121nnmmsssazszszsbsDsMs niiinnsAsAsAsAssC12211)()( nititnttinieAeAeAeAtk1212)( 0lim)(lim1 nitittieAtk ni, 2, 1 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件0 i 系统稳定的充分条件系统稳定的充分条件0 i ni, 2, 1 0)(1 nittiieAtk 劳斯判据劳斯判据-代数稳定判据代数稳定判据0)(0111 asasasasDnnnn(1)(1)必要条件必要条件

6、)0( na0 ia1, 2, 1, 0 ni)3)(2)(1()( ssssD)3)(23(2 sss611623 sss0128296)(2345 ssssssD08964)(245 sssssD010275)(234 sssssD例例1 1不稳定不稳定不稳定不稳定可能稳定可能稳定说明：说明：满足必要条件的系统未必稳定，但对于一阶、二阶系统，必要条件也是其充分满足必要条件的系统未必稳定，但对于一阶、二阶系统，必要条件也是其充分条件。条件。0)(012211 asasasasasDnnnnnn(2) (2) 劳斯（劳斯（RouthRouth）判据：在满足必要条件的基础上用于判定系）判据：在满

7、足必要条件的基础上用于判定系统的稳定统的稳定4321bbbb0321sssssnnnn 0a642 nnnnaaaa7531 nnnnaaaa4321cccc13211 nnnnnaaaaab15412 nnnnnaaaaab17613 nnnnnaaaaab121311bbaabcnn 131512bbaabcnn 141713bbaabcnn 建立劳斯表建立劳斯表步骤步骤：（：（1 1）将系统的特征方程按降幂次排列）将系统的特征方程按降幂次排列（2 2）将方程的各系数间隔填入前两行）将方程的各系数间隔填入前两行（3 3）依次计算出其余各项）依次计算出其余各项劳斯表第一列元素变号劳斯表第一列

8、元素变号 2 2次，有次，有2 2个正根，系统不稳定。个正根，系统不稳定。33184 5335335275 10501105 331845331052533 10331841051033184 1010 例例2 2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定。劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定。且第一列元素符号改变的且第一列元素符号改变的次数次数就是特征方程中正实部根的个数就是特征方程中正实部根的个数 劳斯表第一列元素变号劳斯表第一列元素变号 2 2次，有次，有2 2个正根，

9、系统不稳定个正根，系统不稳定。 2 230 例例3 3：D(s)=sD(s)=s3 3-3s+2=0-3s+2=0 判定在右半平面的极点数。判定在右半平面的极点数。 (3) (3) 劳斯判据特殊情况处理劳斯判据特殊情况处理202 某行第一列元素为某行第一列元素为0 0，而该行元素不全为而该行元素不全为0 0时时: :将此将此0 0改为改为e ，继续运算。继续运算。s5s4s3s2s1s002552 s出现全零行时：出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，用上一行元素组成辅助方程，将其对将其对S S求导一次，求导一次，用新方程的系数代替全零行用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。系数，之后

10、继续运算。3163805 25 0 0 1025 0 例例4 4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25=0 0102552 ssdsd注：注：计算中出现全零行，表示系统存在大小相等方向相反的（实的或虚的）对根，计算中出现全零行，表示系统存在大小相等方向相反的（实的或虚的）对根，该对根是特征方程的解。该对根是特征方程的解。辅助方程的解就是原特征方程的部分特征根(4) (4) 参数变化对稳定性的影响参数变化对稳定性的影响例例 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统 能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益能否稳定，

11、若能稳定，试确定相应开环增益K K的范围。的范围。解解 依题意有依题意有 223)1(9131)( ssKssKsG 01969193)(22 KsKssKssD 01069KK132 K注：系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系注：系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系 相对稳定性的定义相对稳定性的定义 一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根而虚轴是系统的临界边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离和虚轴的距离表示系统的相对稳定性或稳定裕度。表示系统的相对稳定性或稳

12、定裕度。 一般来说，一般来说，愈大则系统的稳定度愈高。愈大则系统的稳定度愈高。s平面平面0j 利用劳斯稳定判据判断系统的稳定度利用劳斯稳定判据判断系统的稳定度方法：以方法：以s=z-代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在s平面中平面中s=-直线的左半部直线的左半部分，即具有分，即具有以上的稳定裕度。以上的稳定裕度。 sR sC(3)(10)gKs ss例例 若要系统具有若要系统具有=1 以上稳定裕度量，试确定以上稳定裕度量，试确定K。解解 系统的闭环传递

13、函数为系统的闭环传递函数为 特征方程为：特征方程为： 32( )( )1330ggKC sR ssssK3213300gsssK1 zs将将代入特征方程代入特征方程32(1)13(1)30(1)0gzzzK32107(18)0gzzzK18010 7(18)0ggKK 1888gK根据劳斯判据，稳定的充要条件是根据劳斯判据，稳定的充要条件是则则0.62.93K) 1()(221sTsKKKsGmm32120mmT ssKKK K K，（6）结构不稳定系统及其改进）结构不稳定系统及其改进 结构不稳定系统结构不稳定系统开环传递函数：开环传递函数：特征方程：特征方程： 有缺项，该系统不稳定。有缺项，

14、该系统不稳定。)(sR( )C s2Ks1mmKT s1Ks电动机电动机减速器减速器不再缺项，只要适当选择参数，便可以使系统稳定。不再缺项，只要适当选择参数，便可以使系统稳定。HKKsKsXsY1111)()() 1()()(121sTsKKsKKKsGmHmk0)(1sGk0)1 (211213KKKsKKsTKKsTmHmHm改变积分环节的性质改变积分环节的性质积分环节变为惯性环节积分环节变为惯性环节总前向通道传递函数为总前向通道传递函数为特征方程：特征方程：也可对电动机与及减速器加反馈以改变积分性质来实现：也可对电动机与及减速器加反馈以改变积分性质来实现：特征方程：特征方程：0)(1sGk一定条件下，引入开环零点，可增加稳定性。一定条件下，引入开环零点，可增加稳定性。023KsKssTdm0,0,mdmTKT引入比例引入比例-微分环节微分环节稳定的充要条件是稳定的充要条件是: :注意的几个问题注意的几个问题(1) (1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型( (控制量、扰控制量、扰动量），形式（阶跃、斜坡、加速度）无关。动量），形式（阶跃、斜坡、加速度）无关。 (2) (2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。nnnmsCsCsCssszszszsKs 2