广东高考数学理科试题及答案

1、2012年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题 5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.,一 ,5 6i设i为虚数单位，则复数 56A. 65i6 5i6 5i2.设集合1,2,3,4,5,6 ,M1,2,4 ，则 CU M3.4.5.6.7.A. U若向量A.(1,3,53,5,62,4,6uuuBAuuu(2,3), CA2, 4) B下列函数中，在区间A. y已知变量A. 12(4,7)(2,4)(0,ln(x 2)x, y满足约束条件某几何体的三视图如图A. 12C. 57unr ,则BCC . (6,1

2、0)）上为增函数的是6, 10)3x的最大值为1所示，它的体积为.45.8141AB9321C. -D99对任意两个非零向量6B,定义ocQ8.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 的概率是俯视困,若向量a,b满足|a |（0,一），且a ob和boa都在集合 n|n Z 中，则aob = 42SI|b| 0, a,b的夹角2)从成绩不低于 80分的学生中随机选取 2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为A.、填空题：本大题共.1 C7小题，考生作答6小题，每小题5. 25分，满分30分。14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2参

3、数方程分别为（一）必做题（913题）9 .不等式| X 2 | | X | 1的解集为 o.21、6310 . （x）的展开式中X的系数为 o （用数字X作答）211 .已知递增的等差数列an满足a1 1,a3 a2 4,则an 012 .曲线y x3 x 3在点（1,3）处的切线方程为。13 .执行如图2所示的程序框图，若输入 n的值为8,则输出s的值为（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）x tx2 cos厂（t为参数）和（为参数），则曲线C1和C2y - ty2 sin的交点坐标为。15 .（几何证明选讲选做题）如图3,圆。的半径为1, A,B,C为圆周上的三点，满足 ABC

4、30 ,过点A作圆。的切线与 OC的延长线 交于点P ,则PA 。三、解答题：本大题共 6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16 .（本小题满分12分）已知函数f（x） 2cos（ x ）（其中 0,x R）的最小正周期为101）求 的值；一-56 _5162）块,0,-2, f （5）5, f （5）17,求 cos（ ）的值。17 .（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 所示，其中成绩分组区间是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,1001）求图中x的值；求的数学期望。18 .(本小

5、题满分13分)如图5,在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面ABCD ,点E在线段PC上，PC 平面BDE(1)证明：BD 平面PAC(2)若PA 1,AD 2,求二面角 B PC A的正切值。19 .(本小题满分 14分) n 1设数列 a 的前n项和为Sn ,满足2Sn an 1 21,n(1)求a1的值;20.(2)(3)求数列 an的通项公式;一,一 _ 1证明：对一切正整数 n,有一a1(本小题满分14分)a21an在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2 x 2 a2721(ab0)的离心率为圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.2 一 .、y 1相交于不(

6、1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点 M (m,n),使得直线l : mx ny 1与圆O:x2同的两点A,B ,且 AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在,请说明理由。21.(本小题满分14分)设 a 1,集合 A x R|x 0 ,B x R|2x2 3(1 a)x 6ax 0 , D AI B(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f(x) 2x3 3(1 a)x2 6ax在D内的极值点。2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案：1 8: DCAAB CDB注：第8题解析：因为aob”回cos cos 二, b

7、b |b|2boa 叱回cos cosa a |a |且a ob和boa都在集合21Z中,所以，boa 回cos|a|b|a|1|a |,所以 aob -cos2cos|b|_2_2cos22所以aob 2,故有aob 1 29. (,2（写成集合形式也给分x | x1、-)10. 2011.22n 112. 2x y 1 013. 814.(1,1)15.3第9题注解:|x2| |x| 1|x-(-2)Hx-0|1即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数f(x) 2c

8、os( x)(其中 0,xR）的最小正周期为10（1）求 的值;(2)设0,-, f(553_，-2解：（1）由题息一10 ,解得6,f(551。5马芷求cos(617）的值2cos(2)由题2cos2)1617sincos所以cos( )cos coscos58170,-,可得2sin5 ,1517sinsin_817151713o8517.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 所示，其中成绩分组区间是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100（1）求图中x的值;求的数学期望。解：(1)由题意：(0.054

9、 0.01 0.006 3 x) 10 1 ,解得 x 0.018;(2) 8090 分有 50 0.018 109人;90100分有 50 0.006 10 3 人。所有可能的取值为0, 1, 2- _12故E 01222218.(本小题满分13分)PA 平面ABCD，点E在线段PC上,如图5,在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形,PC 平面BDE(1)证明：BD 平面PAC(2)若PA 1,AD 2,求二面角 B PC A的正切值。(1)证明：: PA 平面ABCD , PA BD ； : PC 平面 BDE , PC BD。又 PAI PC P, BD 平面 PAC o(2)解：设

10、AC, BD交于O ,连结OE ,由题PC BE, PC OE ,所以 BEO即为二面角B PC A的平面角。由(1)知，BD AC ,所以四边形ABCD为正方形，易得 OC 1 AC衣,PCJpA2AC27?8 3。2由(1)知 OEC PAC90 又OCE PCA,有OEC : PAC,拓 OE OCOC,2OB故 ，OE PA 。在Rt BOE中，tan BEO 3。PA PCPC3OE所以二面角B PC A的正切值为319.(本小题满分 14分)n 1*设数列 4的前n项和为Sn ,满足2Sn an 1 21,n N ,且4岛 5,a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列 an的通

11、项公式； .1113(3)证明：对一切正整数 n ,有一一 L -a a? an 22a122解：(1)由题 2(22(a2a2)5)a3ai(2)当n 1时,ai1;当n 2时,2Snan 1由-得:2anan 1故包12n首项为a2 22123 1,解得an 2n ,整理得(n 2)为公比为an3n 2n ,经验证当n综上an3n2n(n N*)aia2a32Sn5 ,故19an 12n2n,1.1(2an 12n 111)，(3)当 n又因为a22 2 (2所以,所以,an20.(本小题满分在平面直角坐标系点到Q(0,2)3 .-的等比数歹U,21 时，a111),所以，an2n(n 1

12、) 1(71_! la2a314分)an/3 n(A2n(n1),n2(1-) nxOy中，已知椭圆的距离的最大值为(1)求椭圆C的方程;2 y b21(a0)的离心率为3.(2)在椭圆C上，是否存在点 M (m,n),使得直线l : mx的两点A,B ,且 AOB的面积最大？若存在，求出点解:在，请说明理由且椭圆C上的ny 1 与圆 O：x22y 1相交于不同M的坐标及对应的AOB的面积；若不存22222212c a ,所以 b a c -a3322设P(x, y)是椭圆C上任意一点，则y 4 1所以x2 a2 b2a2(12 c 2a 3y29布时,1时，|PQ|有最大值 Ja2 6 3,

13、可彳a a当器，所以b与时,3| PQ |有最大值J(2a 2)23,可舍去。所以b 1,c.2故椭圆C的方程为:1.(2)因为2M (m,n)在椭圆C上，所以m 31,设 A(x1,y1)，B(X2,y2)ny2yn2)2 mx所以,24m4(m2n2)(1n2)2/24n (m1)4 n2(22)，一 2，可得n 4并且:2m所以,所以,mx设点所以X1X2yy2|ab|-2， X1X2m nmx1 1 mx2,(x1 x2)2 (y1, oz 1 n222(22m nny 1的距离)2 n2 n1 m(x1 x2)2m XiX221 m22m n222V1 X2 V2 2(XiX2 Yi

14、Y2)2m2)n2J1六(亦可1ABi Gd2d为圆心到直线O到直线AB的距离为h,则1 m2n2(1n2)1 2” ,-n (1,3),所以,2SV0AB面积最大，最大为(3，1)SVOAB t(1 t)_, , i 所以，当t 时,2此时，M (0, ,2)21.(本小题满分14分)设 a 1,集合 A x R|x 0 ,B x R|2x2 3(1 a)x 6ax 0 , D AI B(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f(x) 2x3 3(1 a)x2 6ax在D内的极值点。解：(1)对于方程 2x2 3(1 a)x 6a 0判别式 9(1 a)2 48a 3(a 3)(3a 1

15、)因为a 1 ,所以a 3 0当1 a 1时， 0,此时B R,所以D (0,)； 3当 a 1时， 0,此时 B x|x 1,所以 D (0,1)U(1,); 312当a 一时， 0,设万程2x 3(1 a)x 6a 0的两根为x1,x2且x1 x2,则 33(1 a) 、3(a 3)(3a 1)3(1 a) 、3(a 3)(3a 1)为 ,x24413当 0 a 一时，x1 x2 -(1 a) 0 , x1x2 3a 0 ,所以 x1 0,x2 032止匕时，D (x,Xi)U(X2,)当a 0时，x1x2 3a 0 ,所以为0, x2 0此时，D (X2,) (3(1a- 3(13)(3a 1),)4(2) f (x) 6x2 6(1 a)x 6a 6(x 1)(x a) , a 1所以函数f (x)在区间a,1上为