一次函数与反比例函数的应用题型解析

1、LOGO一次函数与反比例函数的应用题型解析DoCUment Serial number UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108 华师大版八年级下册第17章一次函数与反比例函数应用题专训一、利用图象求解析式试题1、（2015辽宁省朝阳，第23题10分）某农场急需镀肥8吨，在该农场 南北方向分别有一家化肥公司A、B, A公司有银肥3吨，每吨售价750元；B 公司有钱肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b （单位：元/千 米）与运输重量a （单位：吨）的关系如图所示.（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；（2）若农场到B公司的路程是农场到A

2、公司路程的2倍，农场到A公司的路 程为m千米，设农场从A公司购买X吨讓肥，购买8吨镀肥的总费用为y元（总费用二购买钱肥费用+运输费用）,求出y关于X的函数解析式（In为常 数），并向农场建议总费用最低的购买方案.考占一次函数的应用.专题：应用题.分析：（1）利用待定系数法分别求出当0WaW4和当a>4时，b关于a的函 数解析式；（2）由于1 x3,则到A公司的运输费用满足b=3a,到B公司的运输费用 满足b=5a-8,利用总费用二购买钱肥费用+运输费用得到y=750x÷3mx÷ （8- x） ×700+5 （8-） -82m,然后进行整理，再利用一次函数的性

3、质确定费 用最低的购买方案.解答：解：（1）当0WaW4时，设b=ka,把（4, 12）代入得4k=12,解得 k=3,所以 b=3a;Slrrh1=12当 a>4,设 b=ma+n,把（4, 12） ,（8, 32）代入得 SIrrbn=32,解得"=5尸 _ 8,所以 b=5a - 8；（2） Vlx3,Ay=750x+3mx+ （8 - x） X700+5 （8 - x） - 82m=（50 - 7m） x+5600+64m,5050当m>F时，到A公司买3吨，到B公司买5吨，费用最低；当m< T时，到 A公司买1吨，到B公司买7吨，费用最低.点评：本题考查了

4、一次函数的应用：分段函数是在不同区间有不同对应方式 的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实 际；解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量 作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.试题2、（2015辽宁省盘锦，第42题14分）盘锦红海滩景区门票价格80元/ 人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日 期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折， 设游客为X人，门票费用为y元，非节假日门票费用 （元）及节假日门票 费用y?（元）与游客X （人）之间的函数关系如图所示.（1）a 二

5、6, b 二 8；（2）直接写出刃、兀与X之间的函数关系式；（3）导游小王6月10 El （非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求考点：一次函数的应用.分析：（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的 值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出力，分x10与x>10,利用 待定系数法求一次函数解析式求出咒与X的函数关系式即可；（3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50 - n）,然后分0n10与n >10两种情况，根

6、据（2）的函数关系式列出方程求解即可.解答：解：（1）由刃图象上点（10, 480）,得到10人的费用为480元， 480a=800×10=6;由兀图象上点（10, 800）和（20, 1440）,得到20人中后10人费用为640 元，640b=,8×10=8:（2）设 y1=k1x,函数图象经过点（0, 0）和（10, 480）,10k1=480,k1=48,y=48x;OWXWlo时，设兀二応X,I函数图象经过点（0, 0）和（10, 800）,AlOk2=SOO,Ak2=SO,° y2=80x,x>10 时，设 y：=kx+b,函数图象经过点（10,

7、800）和（20, 1440）,10k+b=80020k+b=1440,k=64 Ib=I 60,° y：=64x+160：POX （0<x10）；Ay2=L64x+160 （>o）;（3）设A团有n人，则B团的人数为（50-n）,当 0n10 时，48n+80 （50 - n） =3040,解得n=30 （不符合题意舍去），当 n>10 时，48n+64 （50 -n） +160=3040,解得n=20,则 50 - n=50 - 20=30.答：A团有20人，B团有30人.故答案为：6, 8.点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析 式

8、，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意 分情况讨论.试题3、（2015齐齐哈尔，第25题8分）甲、乙两车分别从相距48Okm的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径 C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直 达A地，两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲 车出发所用的时间X （小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是60千米/时,t= 3小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间X的函数关系式，并写出自 变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两

9、年相距120千米.考点：一次函数的应用.分析：（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程 ÷速度二时间，用两地之间的距离除以乙年的速度，求出乙车到达A地用的时 间是多少；最后根据路程÷时间二速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC 两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是 多少即可.（2）根据题意，分3种情况：当0x3时；当3<x4时；34V xW7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间X的函数 关系式，并写出自变量的取值范围即可.（3）根据题意，分3种情况：甲乙两车相遇之前相距120千米；当甲车 停留在C

10、地时；两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度二时间，分类讨 论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可.解答：解：（1）根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，甲车的速度是：（360×2） ÷ （480÷60 -I-I）=720 ÷ 6=120 （千米/小时）t=360÷120=3 （小时）.（2）当 0x3 时，设 y=k1x,把（3, 360）代入，可得3k1=360,解得 k1=120,Ay=I20x （0x3） 当 3<x4 时，y=360. 4<xW7 时，设 y=x+b,把（4, 360）和（7, 0）代入

11、，可得4k2+b=360* 7k2+b=Ork2= - 120解得lb=840y=- 120x+840 (4<x7).(3)(480 - 60 - 120) ÷ (120+60) +1=300÷ 180+1J-8=3 (小时) 当甲车停留在C地时，(480 - 360+120) ÷60=240 ÷ 6=4 (小时) 两车都朝A地行驶时，设乙车出发X小时后两车相距120千米，则 60x - 120 (X - 1) - 360=120,所以 480 - 60x=120,所以 60x=360,解得x=6.综上，可得卫小时、4小时、6小时乙车出发3 J 口

12、、L后两车相距120千米.故答案为：60、3.点评：(1)此题主要考查了一次函数的应用问题，要熟练掌握，解答此题 的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注 意自变量取值范围的划分，既要科学合理，乂要符合实际.(2)此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度X 时间二路程，路程÷时间二速度，路程÷速度二时间.试题4、（2015吉林，第22题7分）一个有进水管与出水管的容器，从某时 刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水 量和出水量有两个常数，容器内的水量y （单位：L）与时间X （单位：min） 之

13、间的关系如图所示.（1）当4x12时，求y关于X的函数解析式；（2）直接写出每分进水，出水各多少升.分析：（1）用待定系数法求对应的函数关系式；（2）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量 变化求解.解答：解：（1）设当4x12时的直线方程为：y=kx+b （k0）I图象过（4, 20）、（12, 30）,r20=4k+b30=12k+b,解得：（b=15,_5Ay=Ix+15 （4x12）:（2）根据图象，每分钟进水20÷4二5升，设每分钟出水m升,则5×8 - 8m=30 - 20,解得：In= 4 .故每分钟进水、出水各是5升、Z升.点评：此题

14、考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后根据题 意利用待定系数法确定函数的解析式，接着利用函数的性质即可解决问题. 试题5、（2014舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度 白酒后，小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间X （时）的关系 可近似地用二次函数y= - 200Y+400,v刻画；小时后（包括小时）y与X可近 似地用反比例函数T= （Qo）刻画（如图所示）.（1）根据上述数学模型计算： 喝酒后儿时血液中的酒精含量达到最大值最大值为多少 当尸5时，_尸45,求R的值.（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫 升时属于“酒后

15、驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员 晚上20： 00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7： 00能否驾车去上班请说 明理由.考点： 二次函数的应用；反比例函数的应用分析：（1）利用 y= - 200Y+400- - 200 （- 1） '+200 确定最大值;直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（2）求出尸11时，y的值，进而得出能否驾车去上班.解答：解：（1）y= - 200Y+400,= - 200 （X-I） 00,喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200 （毫克/百毫升）； *.* 当 尸5 时，尸45, y= （k> 0）,.,.A=XF

16、=45 × 5=225 ；（2）不能驾车上班；理由：I晚上20： 00到第二天早上7： 00, 一共有11小时，225225：将 A=Il 代入 T= X ,则 y= 11 >20,第二天早上7： OO不能驾车去上班.点评：此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键.二、利用表格求函数解析式试题1、(2015青海，第25题8分)某玩具商计划生产A、B两种型号的玩 具投入市场，初期计划生产100件，生产投入资金不少于22400元，但不超 过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具.假设生产的这两 种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成

17、本和售价如表：型号AB本TG) 成<200240售价(元)250300(1) 该玩具商对这两种型号玩具有哪儿种生产方案(2) 该玩具商如何生产，就能获得最大利润考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用.分析：(1)设该厂生产A型挖掘机X台，则生产B型挖掘机IOO-X台，由 题意可得：22400200x+240 (IOO-X) 22500,求解即得;(2)计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案.解答：解：(1)设该厂生产A型挖掘机X台，则生产B型挖掘机(IOO-X) 台，由“该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元”和表中生 产成本可得：22400200x+

18、240 (100 - x) 22500,x40,为整数，.x 取值为 38、39、40.故有三种生产方案.即：第一种方案：生产A型挖掘机38台，生产B型挖掘机62台；第二种方案：生产A型挖掘机39台，生产B型挖掘机61台；第三种方案：生产A型挖掘机40台，生产B型挖掘机60台.(2)三种方案获得的利润分别为：第一种方案:38 ×(250 -200 )+62×(300- 240)=5620；第二种方案：39X(250 -200)+61 X(300- 240)=5610；第三种方案：40 X(250 -200)+60 ×(300- 240)=5600.故生产A型挖掘机

19、38台，生产B型挖掘机62台的方案获得利润最大.点评：本题考查了一次函数的应用一元一次不等式组的应用，解决问题的关 键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.试题2、(2015天津,第23题10分)(2015天津)1号探测气球从海拔5m 处出发，以lm/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出 发，以0. 5mmin的速度上升，两个气球都匀速上升了 50min.设气球球上升时间为Xmin (0x50)(1 )根据题意，填写下表：上升时间min1030 X1号探测气球所在位置的海 拔/m1535 x+52号探测气球所在位置的海 拔/m2030 +15(II) 在某时刻

20、两个气球能否位于同一高度如果能，这时气球上升了多长时 间位于什么高度如果不能，请说明理由；(III) 当30x50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米考点：一次函数的应用.分析：(I )根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上 升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0. 5mmin的速度上 升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；(II)两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答；(In),由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个 气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym,则y= (x+5) - (+15) =- 10,根 据X

21、的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答.解答：解：(I )根据题意得：1号探测气球所在位置的海拔：m1=x+5, 2号 探测气球所在位置的海拔：m2=+15;当 X二30 时，m1=30+5=35;当 X二 10 时，业二5+15二20, 故答案为：35, x+5, 20, +15.(Il)两个气球能位于同一高度，根据题意得：x+5=+15,解得：x=20,有 x+5=25,答：此时，气球上升了 20分钟，都位于海拔25米的高度.(In)当 30x50 时，由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym,则 y= (x+5) - (+15)

22、=- 10,.>o,.y随X的增大而增大，当x=50时，y取得最大值15,答：两个气球所在位置海拔最多相差15m.点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数 解析式.试题3、（2015湖北十堰，第23题8分）为支持国家南水北调工程建设，小 王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时， 所得利润y（元）与种植面积m （亩）满足关系式y=1500m;超过20亩时， y=1380m+2400而当种植樱桃的面积不超过15亩时,每亩可获得利润1800 元；超过15亩时，每亩获得利润Z （元）与种植面积X （亩）之间的函数关 系如下表（为所学过的一次函

23、数、反比例函数或二次函数中的一种）X （亩）20253035Z （元）1700160015001400（1）设小王家种植X亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于X的函数 关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种 植草莓和櫻桃，当种植樱桃面积X（亩）满足0<x<20时，求小王家总共获 得的利润W （元）的最大值.考点：一次函数的应用.分析：（1）根据图表的性质，可以得出P关于X的函数关系式和出X的取值 范围.（2）根据利润二亩数X每亩利润，可得当0<xW15时 当15<x<20 时，利润的函数式，即可解题；解答：解：（1）观察图表的数量

24、关系，可以r1800x （0<x15）得出P关于X的函数关系式为：P 20x+2100 Cx>15）（2）利润二亩数X每亩利润，当 0VxW15 时,W=1800x+1380 （40 -） +2400=420x÷55200;当 X二 15 时，W 有最大值,W 最大=6300+55200二61500；当 15<x<20, W= - 20x+2100+1380 （40 -） +2400二-1400x+59700;V - 1400x÷59700<61500;Ax=15时有最大值为:61500元.点评：本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是分

25、析题意，找到 关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是一次函数的性质.试题4、（2015辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某 种蔬菜，己知这种蔬菜的批发量在20千克60千克之间（含20千克和60千 克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八 折，但批发总金额不得少于300元.（1）根据题意，填写如表：蔬菜的批发 量（千克） 25607590 所付的金额（元） 125300300360（2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的l销售量y （千克）与零售价X （元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与X之间的函数关系式;（3）若该蔬菜经销商每日销

26、售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不 变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当口利润最大最大利考点：二次函数的应用；一次函数的应用.分析：（1）根据这种蔬菜的批发量在20千克60千克之间（含20千克和 60千克）时，每千克批发价是5元，可得60× 5=300元；若超过60千克时， 批发的这种蔬菜全部打八折，则90×5×=360元；（2）把点（5, 90） ,（6, 60）代入函数解析式y=kx+b （k0）,列出方程组，通过解方程组求得函数关系式；（3）利用最大利润=y （-4）,进而利用配方法求出函数最值即可.解答：解：（1）由题意知：当蔬菜批发量

27、为60千克时：60X5=300 （元）,当蔬菜批发量为90千克时：90×5×=360 （元）故答案为：300, 360：（2）设该一次函数解析式为y=kx+b （k0）,把点（5, 90） ,（6, 60）代入，得5k+b=90k+b=60,Jk二 _ 30解得b=240 .故该一次函数解析式为：y= - 30x+240;（3）设当日可获利润W （元），日零售价为X元，由（2）知，W= （ - 30x+240） （x - 5× ） = - 30 （- 6） 2+120,最大利润为120元.点评：此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，得出y与X的 函数关系

28、式是解题关键.三、利用等量关系求函数解析式试题1、（2015,福建南平，23,分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某 水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，己知第一、二次进货价 分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元.（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a, b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了 X箱，其余的按每箱35元 全部售完. 求商丿占销售完全部杨梅所获利润y（元）与X （箱）之间的函数关系式； 当X的值至少为多少时，商店才不会亏本.（注：按整箱出售，利润二销售总收入-进货总成本）考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用.分析

29、：（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）根据利润二销售总收入-进货总成本，即可得出结果；商店要不亏本，则yM0,得出不等式，解不等式即可.ra÷b=40解答：解：（1）根据题意得：l40b-50a=700,ra=10解得：lb=30;答：a, b的值分别为10, 30；（2）根据题意得：y=60x+35 （40 -） - （IOX50+30X40）,y=25x 一 300；商店要不亏本，则y$0,25- 3000,解得：x12;答：当X的值至少为12时，商店才不会亏本.点评：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出 等量关系列出方程组或得出函数关系

30、式或由不等关系得出不等式是解决问题 的关键试题2、（2015黄冈，第23题10分）我市某风景区门票价格如图所示黄冈赤 壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游 玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人.设甲团队人数 为X人,如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W元.（1）求W关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最 多可节约多少钱；（3 “）五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超 过50人时，门票价格不变；人数超-过50人但不超过100人时

31、，每张门票 降价a元;人数超过100人时，每张门票降价2a元.在（2）的条件下，若 甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400元，求 a的值.考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用. 分析：（1）根据甲团队人数为X人，乙团队人数不超过50人，得到XM 70,分两种情况：当 70x100 时，W=70x+80 （120 -X）= - 10x+9600,当 100<x <120 时，W=60x+80 （120 -X）= - 20x+9600 ,即可解答；（2 ）根据甲团队人数不超过100人，所以x100,由W二-10x+9600,根据 70

32、x100,利用一次函数的性质，当x=70时，W最大=8900 （元），两团联合购 票需 120X60=7200（元），即可解答；（3 ）根据每张门票降价a元，可得W二（70 -a ） x+80 （120-X）= - （a+10 ） x+9600 ,利用一次函数的性质，x=70时，W最大二-70a+8900 （元），而两团 联合购票需120（60 -2a ） =7200 - 24Oa （元），所以-70a+8900 - （7200 - 240a ） =3400,即可解答.解答：解：（1） I甲团队人数为X人，乙团队人数不超过50人，A 120 - x50,.xM70,当 70x100 时，W=7

33、0x+80（120 -X）= - 10x+9600,当 100<x <120 时，W=60x+80(120 -X) =20x+9600 ,II-IO乂+9600 (70<x<100)综上所述，W二'-20x+9600 (100<<120)（2 ） I甲团队人数不超过100人,x100,.,.W= - 10x+9600,V70x100,x=70 时，W 最大=8900 (元)，两团联合购票需120X60二7200 (元)，最多可节约8900 - 7200=1700 (元).(3 ) Vx100,.,.W= (70 -a ) x÷80 (120

34、 -X )= - (a+10 ) x+9600 ,x=70 时，W 最大二-70a+8900 (元)，两团联合购票需120(60 - 2a ) =7200 - 24Oa (元)，T - 70a+8900 - (7200 - 24Oa ) =3400 ,解得：a=10点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数 解析式，利用一次函数的性质求得最大值.注意确定X的取值范围.试题3、（2015齐齐哈尔,第27题10分）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购 进A、B两种礼盒，己知A、B两种礼盒的单价比为2： 3,单价和为200元.（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元（2）该店主购进

35、这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有儿种进货方案（3）根据市场行情，销售一个A钟礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可 获利18元.为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金 捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出 后所有方案获利相同，In值是多少此时店主获利多少元考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用.分析：（1）利用A、B两种礼盒的单价比为2： 3,单价和为200元，得出等 式求出即可；（2）利用两种礼盒恰好用去9600元，结合（1）中所求，得出等式，利用两 种礼盒的数量关系求出即可；（3）首先表示出店主获利，进而利用a, b关系得出符合题意的答案.解答：解：（1）设A种礼盒单价为2x元，B种礼盒单价为3x元，依据题意 得：2x+3x二200,解得：x=40,则 2x=80, 3x=120,答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依据题意可得：80a+120b=9600i a3