Chapt1复变函数

1、1物理与电子信息学院物理与电子信息学院数学物理方法数学物理方法教学大纲教学大纲 一目的和要求一目的和要求本课程在高等数学和普通物理学基础上论述数学物理中一些常用的方法。为进一步学习理论课程和专业基础课程打下必备的数学基础，是基础课与专业课间的有机粘结剂，并为今后工作中求解数学物理问题提供有效的手段。学习本课程要求掌握“三基”，即基本概念、基本理论和基本方法；要求能够掌握怎样把物理问题转化为数学问题，以及运用数学来求解物理问题的的一些方法。2二教学安排二教学安排本学期上课时间从2月24日至6月16日共17周，每周4学时，共66学时，其中期中考试(时间另定) 将占用2学时，故实际上课计64学时。教

2、师：许 湘电话63847）QQ:2744829613教材：教材：梁昆淼 编，刘法 缪国庆 修订，数学物理方法Methods of Mathematical Physics（第四版）（第四版）高等教育出版社高等教育出版社4三各章基本要求，讲授内容及学时分配三各章基本要求，讲授内容及学时分配第一篇第一篇 复变函数论复变函数论 (25学时学时) 第一章第一章 复变函数复变函数 (5(5学时学时) )基本要求： 1. 理解解析函数的定义。 2掌握C-R条件与解析函数及调和函数的关系内 容：复数及其运算(复习性质)，初等复变函数，复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数，共轭调

3、和函数，平面标量场及多值函数。第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分 (2(2学时学时) )基本要求： 1.掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关键步骤。 2掌握(234)式及(235)式。内 容：复变函数的积分，单,复通区域上的科希定理和科希公式。5第三章第三章 幂级数展开幂级数展开 (5学时学时) 基本要求： 1. 掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把圆域 内的解析函数展为泰勒级数的方法。 2掌握利用基本公式和有关幂级数的公式，把环域 内的解析函数展为洛朗级数的方法。 3了解孤立奇点的分类。内 容：复数项级数，幂级数，收敛圆，收敛半径，泰 勒级数，解析延拓的概念，洛朗级数，收敛

4、环，奇点分类。第四章第四章 留数定理留数定理 (5(5学时学时) )基本要求： 1. 了解留数的意义。 2熟练掌握求留数的方法。 3熟练掌握利用留数定理计算实变函数定积分的方法。内 容：留数定理，留数的计算，几种类型定积分的计算。 6第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换 (6学时学时) 基本要求： 1. 掌握周期函数、有限区间上的函数展为傅里叶级数的方 法，非周期函数展为傅里叶积分的方法。 2掌握傅里叶变换的基本性质。 3理解 函数的意义，掌握 函数的傅里叶变换。内 容：周期函数、有限区间上的函数的傅里叶级数，非 周期函数的傅里叶积分，傅早叶变换的基本性质，函数及 其傅里叶变换。第六章第六章 拉

5、普拉斯变换拉普拉斯变换 (3学时学时) 基本要求： 1. 掌握拉普拉斯变换的基本性质。 2掌握拉普拉斯逆变换（反演）的基本方法。内 容：拉普拉斯变换，拉普拉斯逆变换的反演，应用例 。 7第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程 (37学时学时) 第七章第七章 数学物理定解伺题数学物理定解伺题 (4学时学时) 基本要求： 1. 掌握数学物理方程导出的步骤。会把一些物理问 题翻译成数学问题。 2掌握有关力学、热学及电学问题的初始及边界条件。内 容：几个方程的导出(均匀弦的微小横振动，扩散方程，热传 导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布方程)，定解条件(初始条件和边界条件，没有初始条件的问题，没有边界条

6、件的问题)。 8第八章第八章 分离变数分离变数(傅里叶级数法傅里叶级数法)法法 (6学时学时) 基本要求： 1. 熟练地掌握分离变数(傅里叶级数)法的基本思想与解 题步骤。 2掌握解含非齐次泛定方程的定解问题的几种方法o 3掌握解含非齐次边界条件定解问题的基本方法。内 容：分离变数法介绍，非齐次方程求解方法(傅里叶级数 法、冲量定理法、特解法)，非齐次边界条件的处理。第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法 本征值问题本征值问题 (6(6学时学时) )基本要求： l. 了解勒让德方程及贝塞尔方程的级数解法，掌握解的 结果。 2掌握施图姆刘维尔本征值问题及其性质。内 容： 球函

7、数方程、连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞 尔方程、波动方程、输运方程和亥姆霍兹方程。常点 邻域上的级数解法，正则奇点邻域上的级数解法，施 图姆刘维尔本征值问题。 9第十章第十章 球函数球函数 (6学时学时) 基本要求： 1. 掌握球函数的基本理论。 2. 熟练地掌握轴对称情况下球内、球外、球壳区域上稳定场 问题的求解方法。 3掌握含一般球函数的定解问题。内 容：勒让德多项式、微分表式、正交关系及模、展为广义傅 里叶级数，母函数与递推公式，球函数应用例。第十一章第十一章 柱函数柱函数 (7学时学时) 基本要求： 1. 掌握柱函数的基本理论2熟练地掌握柱内、空心柱体、柱外区域上稳定场问题的求 解方

8、法。 3掌握柱坐标系中含时定解问题的求解方法。 4掌握球坐标系中含时定解问题的求解方法。内 容：贝塞尔函数、递推公式、本征值、正交关系及模、傅里叶 贝塞尔级数、母函数、虚宗量贝塞尔函数、球贝塞尔函数、渐近公式。 10第十二章第十二章 格林函数格林函数 解的积分公式解的积分公式 (4学时学时)基本要求： 1. 掌握泊松方程及含时格林函数的基本理论。 2. 熟练地掌握用冲量定理法求含时格林函数的方法。内 容：泊松方程的格林函数、电像法, 含时格林函数、冲量定理法。第十三章第十三章 积分变换积分变换 (4学时学时) 基本要求： 1.掌握用傅里叶变换方法求解定解问题的基本方法及应用。 2.掌握用傅里叶

9、变换方法求解定解问题的基本方法及应用。内 容：傅里叶变换方法用于求解定解问题的方法，例题； 拉普拉斯变换方法用于求解定解问题的方法，例题。 11四参考书目四参考书目 1郭敦仁，数学物理方法。 2. 四川大学数学系，高等数学，第四册(数学 物理方法)。 3. 吴崇试，数学物理方法 4. 胡嗣柱 倪光炯，数学物理方法 5. 程建春，数学物理方程及其近似方法 6徐世良，数学物理方法解题分析。 教学方法：课堂讲授，课外作业 考试方法：期末70，闭卷笔试, 平时3012 第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第一章第一章 复变函数复变函数1.1 复数与复数运算复数与复数运算（一）复数的基本概念（一）复数的基

10、本概念 1. 定义，z=x+iy, 其中x和 y是实数, 为虚数单位， 实部； 虚部2.复数的几何表示方法：一个复数可用平面上的点表示1) 直角坐标表示1i:Rezx :Imzy zxyo11Z(x,y)13全体复数与平面上的点一一对应全体复数与平面上的点一一对应 复平面复平面 向量表示，向量表示，x, y为分量为分量 142) 极坐标表示利用坐标变换:总起来总起来, , 复数复数z z可有三种表示可有三种表示: : 代数式：代数式： 三角式：三角式： 指数式：指数式：模： , 辐角：,sin,cos ,tg,122yxxyyx| zz Arg e ,sincos指数式，三角式iiz ，e i

11、z ,sinicosz,iyxz153. 辐角主值: 满足的特定值称为主值： 记为 arg z, =Argz=argz+2k， (k=0, 1, 2,.)复数零：辐角无意义复共轭：关于实轴的对称点：2 Arg0z e sinicosi*i，yxz16 复共轭： 关于实轴的对称点(x0,-y0)xyO(x0,y0)zz*-17（二）无限远点： 测地投影NsAAz18 （三）复数的运算（三）复数的运算加减法加减法：乘积乘积：除法：除法：z1z2=(x1 x2)+i(y1 y2)加法满足交换律和结合律z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2 y1)交换律、结合律和分配律222221122

12、222212121yxyxyxiyxyyxxzz19乘、除、乘方、开方运算用指数式（或三角式）较代数式方便 .e )sin(i)cos()i(212121212121zz .e )sin(i)cos()i(212121212121zz20 .e )sini(cosinnnnnnz .e )sini(cos/innnnnnz根式的多值性根式的多值性!0zz 00yyxx复数研究可归结为实数研究21作业 ：1.1习题1 （6）（8）2 （6）（7）3 (2) （3） （5）例 已知一复数Z，画出 ，并指出它们的几何关系。1 1, ,izz zzz221.2 复变函数复变函数（一）复变函数的复变函数

13、的定义：若在复数平面上存在一个点集 E, 对于E 的每一点z，按照一定的规律，有一个或多个复值 w 与之相对应，则称w 为z 的复变函数: Ezzfw ),(zwE23（二）区域的概念： 解析函数的定义域是满足一定条件的点集，解析函数的定义域是满足一定条件的点集， 称为称为区域区域邻域、内点、外点和边界点 z0: 外点 z0: 内点z0z0 的邻域z0:边界点Bl24区域：1、全由内点组成；2、具有连通性。( (开开) )区域区域: : 闭区域闭区域: :圆型区域的例：00rzz为开区域；为闭区域00rzzxyor0z0BlBB25（三）复变函数例1. 多项式 )为整数( 2210nzazaz

14、aann)为整数和( 22102210nmzbzbzbbzazazaammnn az 为复常数 ,210210abbbbaaaann )sini(coseeeeeiizyyxyxyx2. 有理分式3. 根式26，)为复数 ( ,Arg|ln)|ln(| ln),(21 cosh),(21 sinh),(21cos),(21sinlnArgsezzizezzeezeezeezeeizzsszizzzziziziziz27* * 与实函数比较，异同与实函数比较，异同 三角函数三角函数 f(z)=sinz，cosz(1)实数周期 2；(2) 当 (3) 同样有公式zzycos sin ,和21212

15、1212121sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(zzzzzzzzzzzzxxzxxzyyyy22222222sincos2ee21cos cossin2ee21sin28zzzfzcosh ,sinh,e)(具纯虚数周期 ， 而对应的实函数为非周期函数i2zln为无穷多值的多值函数，负实数的对数仍有意义记),(),()(yxivyxuzf),(),(),(),(lim)()(lim00000000yxvyxvyxuyxuzfzfyyxxzz29例1. w=z2 ； u(x,y)=Re(z2) x2- y2， v(x,y)=Im(z2)=2xy，3031例2.

16、w=z3 u(x,y)=Re(z3); v(x,y)=Im(z3)3233例3. w=1/z=u(x,y)+iv(x,y)3435例4. f(z)=z-2=u(x,y)+iv(x,y)3637例5. 指数函数 f(z)=ez = ex+iy=excosy+iexsiny3839例6. f(z)=sin(10z)=u(x,y)+iv(x,y)4041例7. f(z)=sinh(10z) =u(x,y)+iv(x,y)4243 ,f zu x yiv x y作业 1.2习题2 （1）（3）（5） (7)3 441.3 1.3 导导 数数一、 导数的定义： 设 为单值函数，即对于B上的每一个z值，有

17、且只有一个w值与之相对应。如果对于B上的某点z, 极限存在，且与z0 的方式无关，则称函数 w =f(z) 在 z 点可导，此极限定义为函数 w=f(z) 在z点的导数（或微商）， 记为Bzzfw )(zzfzzfzwzz)()(limlim00)( )(zfdzzdf或45与实变函数导数的区别：实变函数：x0；复变函数：z0z0 方式图示xyo z02、z=iy1、z=x3、z=x+iy46二、求导公式二、求导公式,dddd)(dd,dd/1dd,)(dd,dddd)(dd,dddd)(dd222121212121212121zwwFwFzwzzwwwwwwwwzzwwwzwwwzzwzww

18、wz,1lndd,sincosdd,cossindd,eedd,dd1zzzzzzzzzznzzzzznn47 必须指出，复变函数和实变函数的导必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同这是因为实变数大的不同这是因为实变数xx只能沿着实只能沿着实轴逼近零、复变数轴逼近零、复变数z z 却可以沿复数平面却可以沿复数平面上的任一曲线逼近零因此，与实变函数上的任一曲线逼近零因此，与实变函数的可导相比，复变函数可导的要求要严格的可导相比，复变函数可导的要求要严格得多得多48三、柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程证明：1、

19、实轴方向 , z=x2、虚轴方向 , z=iy xvixuxviux0lim0y0 xxyo z02、z=iy1、z=xyuiyvyiviuy0lim49yuiyvxvixu 3、f(z)可导， 与z0 的方式无关，因此从而： C-R方程是可导的必要条件。方程是可导的必要条件。dzdf /柯西柯西-黎曼（黎曼（Cauchy-Riemann）方程）方程yuxvyvxu ,50例:, 0 , 0 , 0 , 1yvxvyuxu不满足C-R条件, 00 , 0 , 1 , 0 yizwyizwhenxxzwxzwhen事实上, 0 , ,Revxuxzw51又例：又例：zzzfImRe)(, 0),

20、( ,),(yxvxyyxu , |),( , 0),(xyyxvyxu在一、三象限：在一、三象限：在二、四象限：在二、四象限：从而在从而在 z0, 00lim)0 , 0()0 ,(lim000 xxuxuxuxxz, 00lim)0 , 0(), 0(lim000yyuyuyuyyz52, 00lim)0 , 0()0 ,(lim000 xxvxvxvxxz, 00lim)0 , 0(), 0(lim000yyvyvyvyyz满足C-R条件。然可导否？然可导否？试令 恒定， 0即0iez53而在二、四象限而在二、四象限,|sincos|lim00izzeizf,sincossin)(cos

21、)(lim)0()0(limlim0000iizzzeezfzfzf则在一、三象限则在一、三象限54可导的充要条件可导的充要条件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏导数存在、连续，且满足C-R条件, 则复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 可导。yvxvyuxu , , ,满足满足C-R条件。条件。可见可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件条件不是复变函数可导的充分条件沿实轴或虚轴， z, 2/or 00lim00zzzf55证明：证明： 偏导连续，增量偏导连续，增量 可表为：可表为：,4321yxyyvxxvvyxyyuxxuuvu ,4 , 3 , 2 , 1 , 0lim0

22、iiz其中56,)()(lim0 xvixuyixyixxviyixxuz,limlim00zyyvxxviyyuxxuzviuzfzz利用利用C-R条件，则条件，则从而从而57,1 ,1vuvu极坐标中的极坐标中的C-R方程：方程：极限极限 是与是与 的方式无关的有限值的方式无关的有限值若复变函数可导，则其实部和虚部通过若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R而联系起来而联系起来zfz0lim0z5858例子例子：1、f(z)=z2 在 z0 点的导数：2、f(z)=|z|2 在 z0 点的导数:0002020002)2()()( limlimzzzzzzzzfzzzzzzzzzzzz*li

23、mlim00*0202005959)(tan ,*lim120*000*0 xyezzzzzziz 如果 z0=0, 0*limlim00*020200zzzzzzzzzz如果 z00, 可导!不可导!60故极限与方向 有关，z0 点不可导! z zxyoxyz=z0+zz061 复变函数求导方法复变函数求导方法( (如果存在）如果存在）: :一、 已知 f(z), 求导: 与实变函数求导类似。二、已知 u(x,y)+iv(x,y), 求导:(1.3.2) and (1.3.1) yuiyvxvixudzdw;1nnnzdzdwzw;cossinzdzdwzw6233222222323)()(

24、3 2)(3 )-(3-6)3(3)(izzfziizixyyxiyxixydzdfxyxiyxyzf例：631.4 解析函数解析函数一、 解析函数的解析函数的 定义：如果单值函数f(z) 在点 z0及其邻域内处处可导，则称 f(z) 在 z0 点解析。又若f(z)在区域B上每一点都解析（可导），则称 f(z)是区域B上的解析函数 z0 点可导与 z0 点 解析的区别: 函数 f(z)=|z|2 (1.4例2)在 z=0 点可导，而在其他点均不可导，故 z=0 点不解析。 z0z0 邻邻域域64可导与解析的关系可导与解析的关系z0 点解析点解析z0 点可导点可导区域上可导区域上可导区域上解析区

25、域上解析不一定！65二. 解析函数的性质：若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上解析，则 1、u(x, y)=C1 与 v(x, y)=C2 互相正交;将C-R方程两边对应相乘, 得 u(x, y)=C1 与与 v(x, y)=C2 互相正交互相正交;xvyuyvxu ;0yvyuxvxu0vu66例1、f(z)=z=x+iy x=C1, y=C2xyoy=C2x=C167例2、f(z)=lnz=ln(x2+y2)1/2+iArg z x2+y2=C1, Arg z=C2oxyx2+y2=C1Argz=C268例3、f(z)=z2=x2-y2+2ixy x2-y2=C1, xy=C2012

26、34012345 x yx2-y2=C1 xy=C2 692、2u=0 和 2v=0, 即 u 和 v 是调和函数;将前式对x求导,后式对y求导, 相加, 得同理可得 共轭调和函数xvyuyvxu ; 02222yuxu; 02222yvxv70三三. 确定解析函数确定解析函数 给定给定，求，求vyyvxxvvddd(1.4.4) ,dddyxuxyuvxuxxuyuyuy2222验证：从而（1.4.4）为全微分式71（1）曲线积分法 全微分的积分与路径无关， 可选择特殊路径完成积分（2）凑全微分显式法（3）不定积分法72例1. 已知解析函数f(z)的实部 求虚部和这个解析函数。解： （1）曲

27、线积分法 调和函数验证22),(yxyxu , 2 , 22222yuxu73 ,2 ,2xyvyxv ,d2d2dyxxyv ,d2d2),(Cyxxyvyxoxy(x,0)(x,y) , 2d2 d2d2d2d2),(,0)(),(,0)()0 ,(0,0)CxyCyxCyxxyyxxyvyxxyxxx ,2 ,2yyuxxuC-R74（2）凑全微分显式法 ),2d(d2d2dxyyxxyv ,2Cxyv（3）不定积分法 ),(2)(d2xxyxyxv ),( 2xyxv, 0)( x,)(Cx ,)2()(222iCzCxyiyxzf结果75例2. 已知解析函数f(z)的虚部 求实部u(

28、x,y)和这个解析函数。解： (凑全微分显式法) ,),(22yxxyxv,2sin2)cos1 (cosv ,2cos2 ,2sin21vv ,2sin2 ,2cos21uu76 ,2cos2d2cosd2d2cos2 d2sin2d2cos21ddduuu ,2cos222CyxxCu ,22sini2cos2 2sin2i2cos2)(CzCCzf77 作业 1.4习题 1 2 （1）（4）（6） 781.5 平面标量场平面标量场平面标量场的概念平面标量场的概念平面静电场平面静电场电势为调和函数电势为调和函数存在解析函数存在解析函数, 称为静电场称为静电场的复势的复势设设u为电势为电势,

29、 u=c1为等势线族为等势线族v=c2为电力线族为电力线族 ABdsnE79电通量BAnsENdds 之方向余弦ds 法线之方向余弦,d ,ddsyndsxnyx,d ,ddsxndsynyx80sxyusyxununEEndddd. ),(),(d dddd1122BABABAyxvyxvvxxvyyvxyuyxuN于是这样，即，即，v(x,y) 在在A和和B两点取值之差就是两点取值之差就是A和和B两点两点之间穿过的电通量，之间穿过的电通量， v(x,y) 称为称为通量函数通量函数81例1 分析由,2i)(222xyyxzzf,2).(,).(22xyyxvyxyxu描述的场解：82平面静电

30、场（无旋流速场）u=常数电力线（等速度线）v=常数等势线（流线）83例2. 已知平面静电场的电力线为抛物线族 求等势线。解： 解出cxcy222（参数 ）0c22yxxccyxx2222yxxv),( ),(22yxxttFv若取, 0c22yxx并非调和函数！取！F（t）待定84.1)( 22yxxtFxv.)( 1)( 1)( 1)( 2/32222222/32222222222yxytFyxxtFyxxyxtFyxxtFxv.)( )( 2/322222222yxxtFyxytFyv85. 0)( 1)( 122222tFyxtFyxx. 0)( )( 222tFtFxyx.21)( )( ttFtF.)( tCtF.)(21CtCtF.222121CyxxCCtCv代入拉氏方程即亦即积分一次再积分一次于是有86.2cos221CCu.2cos221常数CC0)( 222ccxcy引用前节结果，得等势线方程为变换到直角坐标常数2221CyxxC即cyxx22令得87带电金属平板的静电场， ：金属板 ：等势线； ：电力线xy 作业 1.4习题 2,388 1.6 多值函数多值函数一、定义：对于自变数z的每一个值，有不止一个函数值w与之相对应， w 便称为z的多值函数。二、 1. 多值性zw ii(Argz)/2ee |rzzw), 2 , 1 , 0( arg21 Arg