数学建模实验指导

1、.综合实验一：改进技术的最佳实施问题 一、实验目的及意义 1. 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； 2. 训练综合应用经营管理 、函数拟合和非线性规划的知识分析和解决实际问题； 3. 熟练应用 matlab 软件的优化工具箱、函数拟合等功能，设计 matlab 程序来求解其中的数学模型； 4. 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 5. 培养团结协作的精神。 通过多人合作完成该实验，学习如何分工合作，学习如何从 模糊而不太精确 的信息中，经查阅资料、分析 和讨论，弄清受制约的因素，与其他方面之间的关系，各种可行方案，特别要弄清要达到的目标，以及公司现阶段的总体经营目标和策略。学习在做

2、出对任务及其目标的精确陈述的基础上，建立数学模型，确定求解方法求出结果，对模型及结果进行检验。这对于培养团队精神，提高学生综合处理问题的能力是很有意义的。 二、实验内容 1. 数学建模的基本要素和步骤； 2. 函数拟合与优化技术的灵活应用； 3. 熟悉使用 MATLAB 语言的编程要领； 三、实验步骤 1. 归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述； 2. 根据问题的条件和要求作出合理假设； 3. 建立函数拟合与优化模型； 4. 编写 M 文件 , 保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析和灵敏度分析； 5. 分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路

3、； 6. 写出论文。 四、实验要求与任务 学生 2 3 人自由组合解决下述问题，写出论文，论文应包括：1. 摘要（ 300 字左右）；2. 问题的重述 3. 模型假设及符号说明；4. 问题的分析及模型的设计（可设计多个模型）；5. 求解方法、结果的分析和检验；6. 模型的优缺点及改进方向； 7. 作为附录附上必要的计算机程序。 改进技术的最佳实施问题 维那高技术研究所是开发军用光学仪器的机构。它所属的公司也生产民用照相机，该研究所开发了一种新的军用数字技术被允许商用。公司对新老两种类型的相机拥有专利，老型 号为 W100 ，新型号为 W200X 。公司计划将它现有的工厂升级，以便能生产 W20

4、0X 型的相机。 公司现在拥有三个生产企业，都生产普通的 W100 型相机。这些企业需要一定费用才能升级（技术革新和工人培训）。工人数和升级费用如下： 工厂 工人数 升级费 Gotham 30 $100,000 Bludhaven 40 $175,000 Metropolis 60 $200,000 Gotham 离维那高技术研究所很近， Metropolis 是最新最大的工厂。升级涉及到添置新机器，机器改造和工人培训。升级过程要花一个星期，在此期间，工厂将停产。一旦工厂升级，将能生产两类相机。升级只在一个月的第一个星期进行。 公司在过去几个月进行了大量市场调研， W100 型相机现在的批发价

5、为 $50 ，他们对 W200X 新型相机的需求进行了预测，收集到以下每种相机一个月需求随价格变化的数据： W100 ：价格需求量 W200X ：价格 需求量 30 15850 40 27000 50 11300 75 16500 60 9350 95 12100 75 6650 125 5400 100 1950 150 2950 市场部现在用一个线性模型来表示这个价格需求关系。 公司现在是以 $15/ 小时付给工人工资，工厂一个星期运作 40 小时。由于合同的关系，工人数不能改变。一个 W100 型相机的零件成本为 $5 ，需要 1.5 人小时的工作量；一个 W200X 型相机的零件成本为

6、 $8 ，需要 1.75 人小时的工作量。这些费用是原材料费用的平均值，它也包括从精密相机零件和镜头到组装，测试和包装全过程的费用。另外，每个相机还利用大量由维那计算机工业公司提供的计算机芯片，芯片的费用已包括在材料费中了。每个 W100 型相机要用两个老芯片，每个 W200X 型相机要用两个新芯片，维那计算机工业公司按照下列生产方程来提供这些芯片： 8* 老芯片数 +3* 新芯片数 100,000/ 月 公司老板想知道下一个月可达到的最大利润，在下个月的第一周几个工厂升级，每种相机的产量和定价。他想在引入新的生产线后得到尽可能高的利润。他的指导思想是让生产与需求相适应，使手上的发明尽量少，反

7、对由于会有额外的费用，把任何有意义的发明束之高阁。 两位副总裁.提出了他们各自的观点。瑞克认为只让 Gotham 厂升级，这样可使新技术离研究基地近，减少不可预期的问题，公司慢慢向新技术过渡。他建议优先保证这个新工厂的材料，制造尽量多（不超过需求）的新相机。凯尔则比较激进，想让所有工厂都立即升级，她认为最初的投入可使他们以引人注目的方式导出新产品，打好一个坚实的基础以保持成功。一旦所有工厂都升级，她建议建立在剩余时间内产品的最佳搭配。 假设你是决策部的成员，你必须研究每一个提案，包括你自己的提案至少一个，总裁希望你基于你的研究推荐一个你认为最好的方案，他也关注非货币损失和利益。你的报告应包括问

8、题陈述，方案（至少三个）的模型和分析，寻求最佳策略的方法，问题的详细解答，结果的分析。实验二：人口增长模型及其数量预测一、实验目的及意义 1. 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； 2. 训练综合应用数学模型 、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； 3. 应用 matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计 matlab 程序来求解其中的数学模型； 4. 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化

9、迭代过程收敛 。 二、实验内容 1. 数学建模的基本方法； 2. 查阅资料理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型； 3. Matlab 软件中曲线拟合函数的异常情况处理； 4. 误差分析与模型检验。 三、实验步骤 1. 分析理解 Malthus 人口指数增长模型和 Logistic 模型 ； 2. 利用 Matlab 软件求解上述两个模型； 3. 设计数据拟合方法； 4. 编写 M 文件 , 保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ，并进行误差分析； 5. 利用至少两种模型预测人口数量； 6. 分析、整理和总结，写出实验报告。 四、实验要求与任务 从 1790

10、 1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表综 2.1 所示： 表综 2.1 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口 ( × 10 6 ) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口 ( × 10 6 ) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980   人口 ( × 10 6 ) 123.2 131.7 150.

11、7 179.3 204.0 226.5   用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus) 人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 2010 年的人口数量。 提示 1 ： Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻 t 的人口为 x ( t ），（即 x ( t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为 x 0 ，于是得到如下微分方程： 提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为 x 的减函数

12、，如设 r(x)=r(1-x/) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ， 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分方程：   实验三：River-bay 系统水污染问题一、实验目的及意义 1. 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； 2. 综合应用数学模型、高等数学、微分方程以及河流污染 的知识建立 河湾中水污染状况的数学模型 ； 3. 熟练应用 matlab 软件求微分方程数值解和解析解的功能，设计 matlab 程序来求解其中的数学模型； 通过该实验，学习如何根据对象的特征和建模目的， 抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的理想化假

13、设，并根据假设建立数学模型的方法。加强对数学概念的实际意义和实际问题的数学描述的训练，培养对事物的洞察力和判断力都 是很有意义的。 二、实验内容 1. 数学建模的基本要素和步骤； 2. 用 Matlab 软件求微分方程的数值解和精确解； 3. 分析微分方程解的性态及其实际意义。 三、实验步骤 1. 归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述； 2. 根据问题的条件和要求作出合理假设； 3. 建立微分方程模型； 4. 编写 M 文件 , 保存文件并运行观察运行结果 ( 数值或图形 ) ； 5. 分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路； 6. 写出论文。 四、实验要求与任务 解

14、决下述问题，写出论文，论文应包括： 1 ）摘要； 2 ）问题的重述 3 ）模型假设及符号说明； 4 ）问题的分析及模型的设计； 5 ）求解方法、结果的分析和检验； 6 ）模型的优缺点及改进方向； 7 ）作为附录附上必要的计算机程序。 River-bay 系统水污染问题： 一条河流和河湾与大湖相连，位于湾上游的小河是造成湾污染的主要因素，另有一座铝厂恰好建在湾旁 , 也造成污染。当湾中污染物平均浓度达到 1.6mg/l 时，铝厂将被迫暂时关闭。假使该湾的容量为 4,000,000 公升 ， 流入和流出河湾的水流速度均为 40,000 公升 / 天，若当前该河湾水中的污染物浓度为 0.8mg/l

15、， 河水中污染物的浓度为 0.5mg/l 。 要求 1. 建立湾中水污染状况的模型； 2. 计算 30 天后该河湾水的污染物浓度； 3. 该河湾水的污染物浓度是否能达到一个稳定值？ 4. 如将 4,000,000mg 污染物瞬间排入河水中，求铝厂最多在多长时间之后必须关闭； 列出并讨论影响河湾污染的模型中未考虑到的因素至少四种。 实验四：炮弹发射角的确定一、实验目的及意义 1. 学习由实际问题去建立数学模型的过程； 2. 训练综合应用物理 学、解析几何、高等数学和微分方程的知识分析和解决实际问题； 3. 熟练应用 matlab 软件的作图，方程求解，微分方程求解等功能来求解其中涉及的数学问题；

16、 4. 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力 通过该实验，学习如何灵活应用力学、运动学及数学的知识建立数学模型，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想。这对于学生深入理解数学、物理概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。 二、实验内容 1. 建立两种描述炮弹发射轨迹的数学模型（忽略和考虑空气阻力两种情况）； 2. 用 Matlab 软件求解方程和微分方程； 3. 结合实际对解的合理性进行分析。 三、实验步骤 1. 建立描述在忽略空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型； 2. 借助 Matlab 软件，用图形放大法和迭代法求解方程组模型； 3. 建立描述在考虑空气阻力情况下炮弹发射轨迹的数学模型； 4. 编写 Matlab 程序 , 求解第二个模型； 5. 结合实