选修变化率与导数PPT学习教案

1、会计学1气气球球膨膨胀胀率率问问题题1 ,):(:,334rrVdmrLV 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343VVrVr 那么的函数表示为体积如果把半径 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?问题导入第1页/共54页 ,.,cmrrLV6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./.Ldmrr6200101 气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrLL1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./.Ldmrr1601212 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均

2、膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,:21均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考VV 2121r Vr VrVVV第2页/共54页高台跳水高台跳水问题问题2 .:,1056942 ttthstmh存在函数关系存在函数关系单位单位与起跳后的时间与起跳后的时间单位单位面的高度面的高度运动员相对于水运动员相对于水在高台跳水运动中在高台跳水运动中人们发现人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 这段时间里在 ./.,smhhvt28121221 这段时间里在播放暂停停止第3页/共54页思考： 何表示？那么问题中变化率该如

3、表示函数关系用如果上述两个问题中的,xf ,1212xxxfxf第4页/共54页新授：一、函数的平均变化率 的到从数我们把这个式子称为函若有211212,xxxfxxxfxf平平均均变变化化率率,1212xxxxxx即表示习惯上用)(y12xxff）（类似地，,.yx于是 平均变化率可表示为第5页/共54页注：;,) 1相乘与而不是是一个整体符号xxxxxxx121,)2即，的一个“增量”可看作是相对于那么，函数的平均变化率还可以表示为：xxfxxf )()(第6页/共54页 ?,1 . 1 . 11212表示什么变化率平均图的图象观察函数思考xxxfxfxyxfOxy 1xf 2xf xfy

4、 12xfxf 12xx 1x2x111 .图图直线AB的斜率AB二、函数的平均变化率的几何意义第7页/共54页例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。(1)解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2 22()2yx xxxxxx 第8页/共54页D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B.

5、6+ t+ C.3+ t D.9+ tA第9页/共54页l2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx第10页/共54页1.1 变化率与导数1.1 .2导数的概念第11页/共54页探究一： 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?hto第12页/共54页 65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的

6、平均速度 并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗第13页/共54页探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，所以，) 0 ()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态49650 t)/(0msthO65496598t 第14页/共54页又如何求瞬时速度呢?我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.第15页/共54页 .,.,;,.,.可以得到如下表格内平均速度

7、和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值正值可以是是时间的改变量任意取一个时刻之前或之后在附近的情况我们先考察vtttttttttt 22222202200222探究二：第16页/共54页t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049

8、.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?第17页/共54页.,1132220 个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322 时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看第18页/共54页 .,.lim,113

9、02113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?0lim t00()( )h tth tt 第19页/共54页定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作0000( )() ()lim. xf xxf xfxx )(0 xf 或 , 即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)

10、(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3注：号一致性时，注意分子分母的符在求x y. 4 第20页/共54页设函数f(x)在x0处可导，则 ()Af(x0)Bf(x0)Cf(x0) Df(x0)C例第21页/共54页跟踪训练1.第22页/共54页2设f(x)在x0处可导，下列式子中与f(x0)相等的是()B第23页/共54页由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:1. 求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求值);()(00 xfxxfy.lim)(00 xyxfx;)()(00 xxfxxfxy一差、二比、三

11、极限第24页/共54页例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.典例分析第25页/共54页 .,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx152721527222 第26页/共54页, 3742

12、xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.运运算算过过程程请请同同学学们们自自己己完完成成具具体体./,;/,.,的速率上升原油温度大约以附近在率下降的速原油温度大约以附近它说明在第与分别为原油温度的瞬时变化率时与第在第hChhChhh0056325362 .,情况附近的变化反映了原油温度在时刻一般地00 xxf第27页/共54页由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率（3）求极限yx00()limxyfxx 第28页/共54页第29页/共54页1.1 变化率与导数1.1 .3导数的几何意义第

13、30页/共54页 ?,.,0000的几何意义是什么呢导数么那附近的变化情况在数反映了函处的瞬时变化率在表示函数导数我们知道xfxxxfxxxfxf第31页/共54页探究：y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.tan,: xyyMQxMP则则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!第32页/共54页PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.第33页/共54页

14、 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:00000()()()limlimxxf xxf xykfxxx 切线 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.切线定义：第34页/共54页要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交

15、点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.PQoxyy=f(x)割线切线T切线定义解析：第35页/共54页导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.即:0()kfx切线 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy /000/0/01y=f(x)P(x ,f(x )f (x )y 2f (x )0,Xf (x )0,X注注：（ ）若若曲曲线线在在点点处处的的导导数数不不存存在在，就就是是切切线线与与 轴轴平平行行。（ ）切切线线与与轴轴正正方方向向夹夹角角为为锐锐角角，切

16、切线线的的斜斜率率为为正正，切切线线与与轴轴正正方方向向夹夹角角为为钝钝角角，切切线线的的斜斜率率为为负负。第36页/共54页 .,.105 . 69 . 4, 31 . 12102附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311 .图图.,的变化情况的变化情况刻画曲线在动点附近刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线利用曲线在动点的切线 .,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210第37页/共54页 .,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线

17、时当00001ttxltthtt .,.,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt .,.,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt .,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll 0l1l2lthO0t1t2t311 .图图第38页/共54页00()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函数在点 处的导数等于函数的导 函 数在点 处的函数值函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:第39页/共54页例1第40页/共54页第41页/共54页第42页/共54页第43页/共54页例2第44页/共54页第45页/共54页第46页/共54页第47页/共54页精彩推荐典例展示例3题型三求曲线过某点的切线方程第48页/共54页第49页/共