全国高中数学联赛河北省预赛高三数学试题解析版

1、2018 年全国高中数学联赛河北省预赛 高三数学试题 一、填空题 1 若丄匚,且# + 2-可二 1,则 z-2-2i 的最小值为 _ . 【答案】3 【解析】 试题分析：设 Z=a+bi （a, b R）,满足|Z-2-2i|=1 的点均在以 Ci（2, 2）为圆 心，1 为半径的圆上，所以|Z+2-2i|的最小值是 G, C2 连线的长为 4 与 1 的差，即为 3. 【考点】复数模的几何意义及数形结合的思想方法， r x3 + sinx3a - 0, x.y E 2 若 J I |9y3 + 扣心 y + u = 0, 6 &.,，且满足 那么 cos(x + 36) = _ |

2、 【答案】1 【解析】【详解】 x3 + sinx - 3a = 0, r 把已知条件变形为 函数八r +潍；在 上为增函数 且是奇函数，另A - 丁,故*-匕即x + 3y = d,所以cos（x + 3y二 1.|. S A AOS + 上* BOC + 3$ H COA 3.设点 O 为三角形 ABC 内一点，且满足关系式： 九阿； _ 11 【答案】盲 【解析】【详解】 将 0A + 208 + 3OC-3AB + 2BC + CA化为30A + OB + 20C = 0 , |(必 + + 2(0 A + 0C) = 6|. 设 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则心订 C：. 4

3、 ABC 的面积为 S,由几何关系知: , $ A AOB + 2$ 右 ROC + CO11 所以 S A ABC 6 2 2 4 过动点 M 作圆： x 2 y 2 1 的切线MN，其中N为切点，若 MN MO （ O为坐标原点），贝U MN的最小值是 _ 【答案】L1 8 【解析】 解答：由圆的方程可得圆心 C 的坐标为(2,2),半径等于 1. 由 M(a,b),则| MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7， | MO|2=a2+b2. 由 | MN|=| MO|,得 a2+b2?4a?4b+7=a2+b2. 整理得：4a+4b?7=0. a, b 满足

4、的关系为：4a+4b?7=0. 求丨MN|的最小值，就是求丨 M0的最小值。 在直线 4a+4b?7=0 上取一点到原点距离最小， 由垂线段最短”得，直线 OM 垂直直线 4a+4b?7=0, 由点到直线的距离公式得： MN 的最小值为： L7 ? . 8 5 欲登上 7 阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有 _ 种上楼梯的方法 【答案】21 【解析】【详解】 本题采用分步计数原理 第一类：0 次一步跨上 2 阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨 7 次楼梯，只有 1 种上楼梯 的方法； 第二类，1 次一步跨上 2 阶楼梯，5 次每步跨上一阶楼梯， 跨 6 次楼梯， 有

5、种方法; 第三类：2 次一步跨上 2 阶楼梯，3 次每步跨上一阶楼梯，跨 5 次楼梯，有代=却种方 法； 第四类：3 次一步跨上 2 阶楼梯，1 次每步跨上一阶楼梯， 跨 4 次楼梯，有:=几种方法; 共计 21 种上楼梯的方法 6已知棱长曲的正方体川呵-片网卫 1 内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线呵为轴， 则该圆柱体积的最大值为 _ 【答案】H 【解析】【详解】 由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况由图形的对称性可知，圆柱 的上底面必与过 A 点的三个面相切，且切点分别在 卜坷、AC、川片上.设线段$旳上的切 点为 E,圆柱上底面中心为半径 1/?=片.由b他代 7尺心彳輕0=血

6、,则圆 I H 柱的高为 3-2/lOj =3-2阳,y 二叶 2 .翻门，由导数法或均值不等式得痕=2 . 7 若实数 x、y、z 满足 H + / + 此丰勿-她，则陷叶+叫丽= _ . 【答案】 【解析】【详解】 由柯西不等式得| J：、二，由已知得“ = ；：； （X + 2y）Z =4 + 2疔,所以有 5（3-z2）=!C4 + 2 幻,化简得z3 + lfe + 1 b0)的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点 当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60 an + i 所以 和厂+ 3 -ck - ? -X 舟=* = - - -4疋 + 3 - 知

7、4Jt2 + 3 所以的取值范围是1 . 【答案】曲线f（Q =申与曲线9W = inx有两条公切线. 【解析】【详解】 曲线金）二 X 与曲线如=曲有两条公切线. 消元整理得 e，_1 - + a = o，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数 * 童 1 SW = /nA 切于点(b,lnb), 则直线 i 的方程既可写为 y - x-u), fl! 1 . 曲=1 曲一1 1 y - lnb =-(x-b) 1 y = -x + lnb - 1 y-e x + e - ae ，又可写为 b ，b 理由如下：设两曲线的公切线为 即 i，与曲线 kw = 1切于点 因为所以 所以 |t |

8、-ck i 1 3ck 4 k2 + 3 4Jtz + J Uk2 + 3 (2ck3)2 + (3tA)2 _ 9Jt* + 9c2k (ck2)2 F 沪 12 判断曲线0=严 与曲线讥巧网的公切线的条数，并说明理由 ，与曲线 因为直线 I为公切线，所以有 n_1-uea_1 = fnh-L 当-1）时，尬町0,憎盘）=1-堆 乳仗）vu ,讯=1-戈云1为减函数. 另外当 x）时，尬（工）o,僭 数卜;:农:在 R 上连续，所以函数 叭八！ 一： E - A 有两个零点，分别位于区间 和区间 内 所以方程 捫1+a = 0 有两个不同的根，即两曲线有两条公切线 13 .已知三棱锥 S-A

9、BC 中侧棱 SA、SB SC 互相垂直，M是底面三角形 ABC 内一动点 直线 MS与SA SB SC 所成的角分别是 眉.密. （1）证明:匸.克.丁不可能是锐角三角形的三个内角； （2）设 3如 3 旳 皿丫 Coccos fi-coy ，证明：$王 3. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】【详解】 （1）以线段 MS 为体对角线构造长方体， 则恰好为长方体的体对角线与从一个 顶点出发的三条棱所成的角，因此 咖 5+ 5 鬥+ = 1. 因为 cos2a + cos2 + cus2y = 1 - cus2y, 2 cos(a + /?) x cos (a - /?) =-cos

10、y 0 故 所以 下面证明-I . 要证二 沈匚只需证仔丫 CJ52（U! + /?）| 0 e ，又函 因为 （2）因为 cos(a + 阳一 cosy = cos2(a + /?) + cosZa + cos2) =+ “ + cos (a + - /? = 2cos(a + (i)*cos(x-cosfi 0 所以：匚 B ，故#一 .“|不可能是锐角三角形的三个内角 S = 3 = + + Ti 9 7 cos a cus P cas y 所以. 14 .如图，设 ABC 的外接圆为 0, 的角平分线与 BC 交于点 D, M 为 BC 的中 点若 ADM 的外接圆 O ?分别于 AB、AC 交于 P、Q, N 为 PQ 的中点，证明：MN/AD 【答案】见解析 【解析】【详解】 如图 设 AB=c, BC=a, AC=b. BD BM 白 =costal - r cosp cosy i 、 _ 、 _ cosy coscosy cosacosy coscrcosp 1 1 x 1 + cos fiQ = CPBQ- AB= BD