RLC电路频率特性的实验研究

1、 学号20100601050105 密级 兰州城市学院本科毕业论文RLC电路频率特性的实验研究 学 院 名 称：培黎工程技术学院 专 业 名 称：物理学 学 生 姓 名：关进京 指 导 教 师：赵 磊 讲师 二一四年五月 BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYExperimental study of the frequency characteristics of the RLC circuitCollege ：School of Bailie Engineering & TechnologySubject ：p

2、hysicsName ：Guan JinjingDirected by ：Zhao Lei lecture May 2014郑 重 声 明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名： 日期： 摘 要RLC电路是一种由电阻(R)、电感(L)、电容(C)组成的电路结构。由于R、L、C对电路中激励有不同的响应，使得初学者对其基本规律难以掌握。

3、本文先从理论方面对RLC电路的基本规律做了归纳和推导，重点对RLC中谐振特性做出了说明，使初学者对其规律有全面认识；接着用实验的方法，探究了RLC谐振电路的特性，重点对于谐振中的品质因数(Q)值进行了细致研究，电路品质因数Q 值的物理意义在于揭示了电路谐振程度的强弱，体现电路对信号源频率的选择性以及电路中无功功率对有功功率的比例。充分理解谐振和品质因数的物理含义对掌握和应用其原理起到事半功倍的效果，为初学者和电工学实验的顺利进行提供有力借鉴。关键词：RLC电路；谐振；品质因数QABSTRACTRLC circuit is composed of resistance (R), inductor

4、 (L) and capacitance (C). Because of R, L, Cs different responses to excitation, it becomes hard for beginners to grasp the basic law. This paper started from the conclusion and derivation of the basic law of RLC circuit theoretically, and focused on the description of the RLC resonant characteristi

5、cs, to make beginners have a comprehensive understanding. With experimental methods, this paper explored the characteristics of the RLC resonant circuit, especially studied the quality factor (Q) value in resonance carefully. The physical significance of the Q value is it reveals the strength of the

6、 degree of resonant circuit and shows the selectivity of the circuit to signal source frequency, also the active power to the reactive power ratio. To grasp and apply the principles of the quality factor of resonance, it will get twice the result with half the effort through fully understand the phy

7、sical meaning of that. This paper provided strong references for beginners and the smooth progress of the electrotechnics experiment.Key words: RLC circuit；resonance；Quality factor;目 录第1章 绪论1.1 研究背景11.2 研究意义2第2章RLC电路频率的稳态和暂态特性2.1 RLC电路的稳态特性32.1.1 RLC串联电路的稳态特性32.1.2 RLC并联电路的稳态特性72.2 RLC电路的暂态特性72.2.1

8、串联电路的暂态特性82.2.2 并联电路的暂态特性9第3章RLC谐振电路中品质因数Q研究3.1 RLC串联谐振电路中的品质因数113.1.1.RLC串联电路中Q的原始定义113.1.2串联谐振电路的品质因数两个意义123.2 RLC并联谐振电路中的品质因数143.2.1.并联电路中的原始定义143.2.2并联谐振电路的品质因数意义16第4章 测量品质因数Q的实验4.1 实验仪器 184.2 谐振电路中对于Q值测量过程184.2.1串联电路中对于Q值测量过程184.2.2并联电路中对于Q值测量过程194.3 实验分析204.3.1串联电路实验计算204.3.2并联电路实验计算23结论参考文献.2

9、6致谢.27IV第1章 绪论1.1 研究背景RLC电路是一种由电阻(R)、电感(L)、电容(C)组成的电路结构。其中电阻是一种用一定材料制成的、有一定结构形式、能在电路中起限制电流通过作用的二端电子元件，其具有分压、限流作用。理想的电阻器是线性的，即通过电阻器的瞬时电流与外加瞬时电压成正比；电感（电感线圈）是用绝缘导线绕制而成的电磁感应元件，也是电子电路中常用的元器件之一。电感是用漆包线、纱包线或塑皮线等在绝缘骨架或磁芯、铁芯上绕制成的一组串联的同轴线匝，它在电路中用字母“L”表示，主要作用是对交流信号进行隔离、滤波或与电容器、电阻器等组成谐振电路。电感不像电阻那样是线性元件，电感属于非线性元

10、件，所以它两端的电压和通过它的电流不能直接用线性式子表示，电感电压与电流同频率，而且电压相位越前电流相位；电容是1746年荷兰物理学家马森布洛克发明的“莱顿瓶”。那个“瓶子”就是一个电容。电容器，顾名思义，是“装电的容器”，是一种容纳电荷的器件。电容器是电子设备中大量使用的电子元件之一，广泛应用于电路中的隔直通交，耦合，旁路，滤波，调谐回路，能量转换，控制等方面。在电路中任何两个彼此绝缘且相隔很近的导体（包括导线）间都构成一个电容器。在直流电路中，电容器是相当于断路的；在交流电路中，因为电流的方向是随时间成一定的函数关系变化的，而电容器充放电的过程是有时间的，这个时候，在极板间形成变化的电场，

11、而这个电场也是随时间变化的函数。电容两端的电压不能突变，有一个充电的过程，电容也不像电阻那样是线性元件，它也属于非线性元件，所以它两端的电压和通过它的电流不能直接用线性式子表示，电感电压与电流同频率，电压相位滞后于电流相位。电阻、电感、电容元件由于功能不同，他们可以单独出现在电路中，也可以相互配合出现在电路中，以达到设计电路的目的。在日常生活中，R、L、C常出现在以下几种典型电路中：1.一般滤波电路。即：滤去整流输出电压中的纹波，一般由电抗元件组成，如在负载电阻两端并联C，或与负载串联L，以及由C，L组成而成的各种复式滤波电路；2.多相电源供电电路，如电脑主板上的CPU供电；3.RTC实时时钟

12、电路，可用于延时；4.自激电路，如PC电源上220 V交流电转化为直流电就通过此电路产生激励脉冲，控制输出电压等等。类似的电路非常多，电路的功能也千变万化，但其原理归根到底是元件R、L、C对电路中激励有不同的响应。为了更好的了解和掌握RLC电路的基本规律，在教育部规定的电工学实验中，特将RLC电路相关内容作为其中最主要的三个基本实验。1.2 研究意义RLC电路的基本原理非常重要，他不仅是电工学教学中的一个重点内容，更是电工学实验中必做的三个基本实验。但是很多初学者对其规律却难以掌握，一方面是因为C和L是非线性元件，元件两端的电压与电流的相位不同；另一方面是初学者重理论计算而轻视实验探究。本文先

13、从理论方面对RLC基本规律做了推导，重点对RLC中谐振特性做出了说明，并实验对其进行验证，重点对于谐振中的品质因数(Q)值进行了理论的推导和实验探究，其目的是为了探究谐振频率对Q值的影响。值得应用在广播中显得十分重要，利用代表声音信号的电流来调制负载电波的振幅（或频率），并以被调制的无线电波为载体，将声音信号发送出去，在接收端通过调谐，将一定频率的广播信号接收下来，然后经过检波，将代表声音信号的电流还原出来，进而变成声音传播出去。不仅如此，品质因数是表示线圈质量的一个重要参数，值的大小，表明电感线圈损耗的大小，其值越大，线圈的损耗越小；反之，其损耗越大。文中对Q值的探究为初学者和电工学实验的顺

14、利进行提供有力借鉴。第2章RLC电路频率的稳态和暂态特性2.1 RLC电路的稳态特性在RLC电路上加一个正弦电压时，电路中各元件上的电压会随着输入频率的改变而改变，回路电流和电源电压之间的相位差也会随之改变。前者是幅频特性，后者是相频特性，这就是对RLC电路稳态的研究。2.1.1.RLC串联电路的稳态特性1、RC串联电路的稳态特性在如图2.1所示电路中，由于交流电路中的电压和电流不仅大小变化而且还有相位差别，因此常用复数及其几何表示矢量法研究由复电压()与复电流()之比得到的阻抗也是复数，即复阻抗(Z)。CR图2.1 RC串联电路示意图RC电路的复阻抗为 (2.1)其中阻抗幅值 (2.2)由于

15、电阻和频率无关，电阻两端电压与电流同相位，若用矢量法求解则应以电流为参考矢量，作、及其合成的总电压的矢量图，如图2.2所示IOU图2.2 RC串联电路总电压矢量图则其总电压为 (2.3)U落后于I的相位为 (2.4)R两端电压为 (2.5)C两端的电压为 (2.6)2、RL串联电路的稳态特性 图2.3 RL串联电路示意图RL电路如图2.3所示，RL串联电路复阻抗为 (2.7)其中阻抗幅值 (2.8)作、及其合成的总电压的矢量图，如图2.4所示图2.4 RL串联电路总电压矢量图从矢量图中可以看出，总电压U超前于I，相位差为 (2.9)R两端电压为 (2.10)L两端的电压为 (2.11)3、RL

16、C串联电路的稳态特性图2.5 RLC串联电路示意图在如图2.5所示电路中，电路的总阻抗，电压、和I之间有以下关系： (2.12) (2.13) (2.14) 其中为角频率，可见以上参数均与有关，它们与频率的关系称为频响特性，见图2.6、图2.7、图2.8。图2.6 串联电路的阻抗特性示意图图2.7 串联电路的幅频特性示意图 图2.8 串联电路的相频特性示意图由图2.6可知，在频率处阻抗Z最小，且整个电路呈现纯电阻性，而电流i达到最大值，我们称为RLC串联电路的谐振频率（为谐振角频率）。从图2.7还可知，在的频率范围内值较大，我们称为通频带。由(2.13)式可得 (2.15)2.1.2.RLC并

17、联电路的稳态特性图2.9 稳态过程并联电路在图2.9所示的电路中有 (2.16) (2.17)可以求得并联谐振角频率 (2.18)可见并联谐振频率与串联谐振频率不相等。图2.10给出了并联电路的阻抗、相位差和电压随频率的变化关系。图2.10并联电路的阻抗特性、幅频特性、相频特性2.2 RLC电路的暂态特性电路在电源接通或断开短暂时间内，电路中电流或电压的变化过程称为暂态过程。2.2.1 串联电路的暂态特性1、串联电路放电过程串联电路如图2. 11所示，当开关S打到1时，电容充电至U0，然后把开关S打到2，电容在闭合的RLC电路中放电，后者电路方程是： (2.19)图2.11 RLC串联暂态过程

18、电路图其中，为电容上的电压，为通过回路的电流。又有，将其代入(2.19)式，得 (2.20)根据起始条件时，且解方程，有三种情况：(1) R2<，即阻尼较小情况，方程(2.20)的解为UC = U0 cos(wt +) (2.21)其中时间常数 =2L/R，为初相位。衰减振动的角频率w = (2.22)(2) R2 > ，相应电路为过阻尼状态，其解为UC = U0Sh(t +) (2.23)式中 =，这时电路将因阻尼过大不产生振荡，而是慢慢放电，最后UC =0。这是过阻尼状态，而 =。(3) R2=，对应于临界阻尼状态，它是过阻尼到阻尼振动之间的过度分界。用示波器显示RLC串联电路

19、瞬态过程，可以用方波替代时通时断的直流电源，这时电源电压为 (2.24)对于方程(2.24)式，等式右边为0和等式右边为常数U0，其解是等同。因此，在一个方波周期内，可以从示波器屏幕上观察到两个衰减振荡波形。2、串联电路充电过程充电过程的电路方程为 (2.25)初始条件为时，和充电过程相似也有三种状态，即当 (2.26)以上三式分别表示串联电路放电过程中的阻尼、过阻尼和临界阻尼状态。2.2.2 并联电路的暂态特性如图2.12所示图2.12 RLC并联暂态过程电路图电源作用于R、L、C三个组件上，经历暂态过程，RLC电路满足二阶齐次方程： (2.27)式中 (2.28) (2.29)方程（2.2

20、8）解得一般形式为 (2.30)式（2.31）中、为待定常数，由电路初始条件决定： (2.31)当时电路为过阻尼状态；当时为欠阻尼状态，此时电路作阻尼振荡，阻尼振荡园频率；当时为临界阻尼状态。第3章RLC谐振电路中品质因数Q研究力学实验中，有简谐振动。同样，在电学实验中，由正弦波电源与电感、电容和电阻组成的串联电路，也会产生类似现象。当正弦波电源输出频率达到某一频率时，电路的电流达到最大值，即产生谐振现象。在研究过程中主要是对影响品质因数Q因素的讨论。3.1 RLC串联谐振电路中的品质因数3.1.1.RLC串联电路中Q的原始定义串联电路如图3.1所示.图3.1 RLC串联谐振电路图设通过该电路

21、的电流为 (3.1)则电容两端的电压为 (3.2)一个周期内电阻消耗的能量为 (3.3)电感组件储存的能量为 (3.4)电容组件储存的能量为 (3.5)电路中储存的总能量为 (3.6)当串联电路中电容值等于电感，此时电路中阻值上电压最大，因此发生串联谐振。当电路发生谐振是即 (3.7)所以 (3.8)将(2.25)，(2.30)带入(2.23)得到RLC串联电路的品质因数为 (3.9)3.1.2串联谐振电路的品质因数两个意义谐振时，即纯电感的电压与理想电容两端的电压相等，并且 (3.10)其中为电感的内阻将式(2.29)代入上式，得 (3.11)又由式(2.31)得 (3.12) 则 (3.1

22、3) 当时，和都远远大于信号源输出电压，这种现象称为RLC电路串联电路的电压谐振。第一意义为：电压谐振时，纯电感和理想电容器两端电压均为信号源电压的倍。如果取横坐标为，纵坐标为可得如下图所示电流频率特性曲线。图3.2 电流频率特性曲线示意图为了描述曲线的尖锐程度，常常考察由极大值下降到时的带宽与谐振频率的关系。对应此带宽边界的两个频率和均应满足 (3.14)由此可以得出 (3.15) (3.16)由以上两式可以得到 (3.17)最后得出 (3.18)显然越小，曲线越尖锐。第二意义是：它标志曲线的尖锐程度，即电路对频率的选择性，称为通频带宽度。3.2 RLC并联谐振电路中的品质因数3.2.1.并

23、联电路中的原始定义并联电路如图所示U 图3.3 RLC并联谐振电路示意图该并联电路谐振时： (3.19)由上式可得 (3.20)当时，即时，此时设电源电压为 (3.21)RL支路的复阻抗为， (3.22)由于，所以，RL支路电流为 (3.23)一个周期内电路中电阻消耗的能量为 (3.24)电路中储存的总能量为 (3.25)谐振时，即所以 (3.26)将式(3.24)、(3.26)带入得RLC并联电路的品质因数为 (3.27)RLC并联电路的谐振频率又可表示为 (3.28)由以上推导可知RLC串联电路的品质因数与RLC并联电路的品质因数虽然在形式上是相同的，但它们的谐振特性并不相同。如RLC串联

24、电路谐振时，阻抗最小，即：，则电路中电流达到最大；而RLC并联电路谐振时，阻抗最大，即：，则电路两端电压达到最大。3.2.2并联谐振电路的品质因数意义在并联谐振电路中令与分别表示角频率与频率，电感两端的阻抗为，则 (3.29) (3.30)当时，RLC并联电路的谐振频率与RLC串联电路谐振频率近似相等。式(3.29)可改写成为 (3.31)式中 为由原始定义求得的并联电路的品质因数。如果作出并联电路的阻抗值角频率（即）曲线，如下图所示，但不难看出它与谐振曲线非常相似，但存在相异之处。图3.4 并联电路阻抗角频率图中为阻抗最大（）时的角频率，根据求极值的方法可以得到 (3.32)利用幂级数展开上

25、式得 (3.33)比较式(3.31)和式(3.33)可知，当时，比更接近，当时，与的相对差异小于0.04%，因此常取与相等去理问题。第4章 测量品质因数Q的实验本实验以谐振电路中品质因数Q为研究对象，在RLC电路中首先在串联电路中以给定的两种阻值来绘制曲线来比较Q与阻值R的关系以及Q值的尖锐程度，接着在并联电路中以给定的Q值来测量感抗电压和容抗电压与电源电压的关系，也可以很好的得出谐振曲线越尖锐，电路的频率选择性就好。实验内容主要包括对串联电路中对于电流和频率的测量、并联电路中对于电流最小时对于值的计算和实验分析三个部分。4.1 实验仪器音频信号发生器、交流毫伏表、电阻箱、电感线圈、标准电容箱

26、、频率计、电压表。图4.1 RLC谐振电路实物图4.2 谐振电路中对于Q值测量过程4.2.1串联电路中对于Q值测量过程1、谐振法：根据如图所示的线路，调节信号源的输出电压值，保证在各种不同频率时都相等，然后测量两端的交流电压，当最大时，说明电路已处于谐振状态。用交流电压表分别测量和两端的电压，则值就可计算出来。如果各种频率输出信号幅度值都是1.00，那么测得的或值就是值的大小。2、频带宽度法：根据如图所示的线路，按照上述要求测量各种频率时两端的电压值，作出曲线，找出最大时的频率，即谐振频率，再要求时的频率和的值，根据式（3.18）计算出值的大小。3、以上两种方法得到的值是一样的。但是测量精确度

27、各不相同。电压谐振法宜用于高（即值较大的）电路，频带宽度法适用于低值电路。为了测到准确的值，要多次调到谐振，并用频率计仔细地测出每次的谐振频率，再取平均，最后得到比较可靠地谐振频率值。4.2.2并联电路中对于Q值测量过程1、RLC参数选定：L=0.1H，C=0.05F，R=5000。2、按图3.3接好线路，测量U和，为了使电路中I保持恒定，在电路中加入电阻，使上电压不随频率改变而改变。而为常数，并联电路的阻抗则是与频率有关的，其大小为，故只要测出U的大小即可算出。因为I为常数，所以和U成正比，当谐振时为极大，U也为极大。3、依次调节功率函数信号发生器的“频率调节”，每改变一次频率，同时调节信号

28、发生器的“幅度调节”，以便始终保证两端的电压=0.3V。然后测量并记录电容与电感并联两端的电压U。4、画出并联谐振的曲线。4.2.3实验数据时：，表4.1 时的串联谐振数据f（kHz）3.0183.2003.3993.6003.7993.9964.1504.3034.456VR（V）0.240.280.320.360.460.580.700.841.12f（kHz）4.6094.7464.8985.005.105.255.405.555.70VR（V）1.522.002.452.251.901.461.120.920.78f（kHz）5.856.006.216.406.606.807.00VR

29、（V）0.660.580.500.440.400.360.34时：，表4.2 时的串联谐振数据f（kHz）3.0043.1963.4083.6063.8034.0024.1524.3044.453VR（V）0.360.400.480.560.680.841.001.221.50f（kHz）4.6034.7074.8134.9025.005.105.205.305.40VR（V）1.952.252.602.702.652.352.001.751.56f（kHz）5.555.705.856.016.206.416.606.817.00VR（V）1.281.080.920.820.720.630.5

30、80.520.48，表4.3 时的并联谐振数据f(kHz)1.401.702.002.102.152.202.23U(V)0.07990.14550.35360.61380.90251.72323.2262.252.282.302.352.402.502.803.005.2662.9501.8841.03300.68150.42000.18940.13534.3 实验分析4.3.1串联电路实验计算分别计算出R=400、R=600时的对应电流：表4.4 时频率与电流关系f（kHz）3.0183.2003.3993.6003.7993.9964.1504.3034.456I（A）0.000210.

31、000250.000280.000320.000410.000510.000620.000740.00099f（kHz）4.6094.7464.8985.005.105.255.405.555.70I（A）0.001340.001770.002170.001990.001680.001290.000990.000810.00069f（kHz）5.856.006.216.406.606.807.00I（A）0.000580.000510.000440.000390.000350.000320.0003表4.5 时频率与电流关系f（kHz）3.0043.1963.4083.6063.8034.00

32、24.1524.3044.453I（A）0.000210.000240.000280.000330.00040.000490.000590.000720.00088f（kHz）4.6034.7074.8134.9025.005.105.205.305.40I（A）0.001150.001330.001530.001590.001560.001390.001180.001030.00092f（kHz）5.555.705.856.016.206.416.606.817.00I（A）0.000750.000640.000540.000480.000420.000370.000340.000310.0

33、0028根据以上关系在同一坐标系中绘制电流-频率图象：I=0.00112AI=0.00153A图4.1 串联电路频率-电流图R=400时从表中得到Imax=0.00217A，于是，在相应的I-f曲线中作直线I=0.00153A，读出两个交点的横坐标为4.673kHz、5.154kHz。于是通频带宽度：读出谐振频率为=4.903kHz，理论值，比较得到相对误差Q的计算：(1)(2)(3)R=600时从表中得到Imax=0.00159A，于是，在相应的I-f曲线中作直线I=0.00112A，读出两个交点的横坐标为4.581kHz、5.235kHz。于是通频带宽度：读出谐振频率为=4.924kHz，

34、理论值，比较得到相对误差Q的计算：(1)(2)(3)由以上计算所得三个值可以得出：值越大，通频带宽度越小，谐振曲线也越尖锐；反之亦然.这表明电路的选频性能越强。串联回路当处于谐振状态时，电路呈纯电阻性，端口电压和电流同相位， 感抗与容抗相等。如果外加信号源频率与电感、电容值满足上述条件，电路就可以产生串联谐振了。由于串联谐振时电路的阻抗最小，因此电路中的电流与非谐振时相比为最大， 电感和电容上获得的电压值亦最大，且比端口处信号 源的电压要大倍，故也称之为电压谐振。从能量转换角度来看，此时的电容和电感虽然都在做激烈运动，但它们并不从端口电源吸取任何能量，电源提供的能量只给电阻部分消耗；电路中大部

35、分能量将以电场能和磁场能 的形式在电容和电感中进行互补性交换，不会损耗掉，也不与电源做能量交换，其所体现的功率为无功功率。4.3.2并联电路实验计算根据表4.3中的数据画出曲线图4.2 串联谐振电压频率图当时谐振品质因数的理论值就为阻抗值就为在具有R、L、C元件的正弦交流电路中，无论时呈电感性还是呈电容性的电路，其输入电压和电流往往是不同相的，即电路中的感抗与容抗的作用是部分地相互抵消。如果调节电路的参数，使得电路中的电感L和电容C的作用完全抵消，整个电路呈现电阻的性质，这时电压与电流同相位，电路的这种现象称为谐振。产生谐振现象的电路称为谐振电路，电路谐振时呈现电阻性的特性。值可由测得的谐振曲线可见品质因数越大，谐振特性曲线越尖锐，电路的频率选择性就越好。结 论本论文主要是对电路频率特性的实验研究，对其中暂态、稳态、谐振特性的做了简单理论介绍，实验中主要是验证了谐振电路中对于影响品质因数因素以及对于值大小对频率的选择。在理论部分根据串联谐振和并联电路品质因数的基本定义，得到两种谐振电路值的表达式都为。两者的值在表达形式上虽然都是一样的，但它们各自包含的物理意义却有所不同：串联电路在谐振时，加在电