姜启源数学建模第一章

1、1.1 1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 1.4 数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法和步骤1.5 1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 1.6 数学建模能力的培养数学建模能力的培养数数学学模模型型编编2/601玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型实物模型实物模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型3/6012021-12-11玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中

2、的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型4/6012021-12-11玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型5/6012021-12-11模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定

3、目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征.1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型6/601你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速为答：船速为20km/h. .甲乙两地相距甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需

4、50h，问船的速度是多少，问船的速度是多少?x=20y =5求解求解7/601航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）作出简化假设（船速、水速为常数） 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速）分别表示船速和水速） 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）时间）列出数学式子（二元一次方程） 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5） 回答原问题（船速回答原问题（船速为为20km/h）8/601数学模型数学模型 (Mathematica

5、l Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学表述数学表述. .建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模9/6011.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展. 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空

6、前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地数学建模仍然大有用武之地. 在高新技术领域在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具数学建模几乎是必不可少的工具. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.10/601“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术技术”. 数学数学“由研究到工业领域的由研究到工业领域的技术转化技术转

7、化，对加强，对加强经济竞争力具有重要意义经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模计算和建模重新成为中心课题，它们是数学重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径科学技术转化的主要途径” .数学建模的重要意义数学建模的重要意义11/601数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼12/6011.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四

8、只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面. 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地只脚同时着地.13/601模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性.xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置.

9、四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数.四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性14/601用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任

10、意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地15/601模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法3）由）由 f, g 的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数据连续函数的基本性质的基本性质, 必存在必存在 0 ( 0 0 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)0.2）令）令 h( )= f( )g( ), 则则 h(0)0 和和 h( /2)

11、0)，总剂量，总剂量1100 mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.2. 血液系统中药物的排除率与血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物时血液中无药物.3. 氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000 ml. 胃肠道中药量胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量血液系统中药量y(t)，时间，时间t以以孩子误服药的时刻为起点（孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 25/601模型建立模型建立x(t)下降速度与下降速度与x(t)成正比成正

12、比(比例系数比例系数), 总剂量总剂量1100mg药药物在物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度，由排除而减少的速度与与y(t) 成正比成正比(比例系数比例系数) , t=0时血液中无药物时血液中无药物.d,(0)0dyxyytd,(0)1100dxxxt 26/601模型模型求解求解 d,(0)1100dxxxt 药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5 h ( )1100etx t(ln

13、2)/50.1386(1/h)51100e1100/22/ )0()5(xxddyxyt1100 ety 0)0(y药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6 h 1100( )(ee)tty t只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除2/)6(,)(ayay()( )ety taddyyt (ln2)/60.1155(1/h)27/6010.1386( )1100etx t0.11550.1386( )6600(ee)tty t0510152025020040060080010001200t(h)x,y(mg)x(t)y(t)血液总量血液总量2000ml血药浓度血药浓度200g/ml结果及分

14、析结果及分析 胃肠道药量胃肠道药量血液系统药量血液系统药量血药浓度血药浓度100g/mly(t) =200mg严重中毒严重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约约3h3h后将致命！后将致命！y(2)=236.5 28/601施救方案施救方案 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率增至原来的增至原来的2倍倍. d,2,1100e,(2)236.5dtzxztxzt孩子到达医院孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作就开始施救，血液中药量记作z(t) 0.138

15、60.2310( )1650e1609.5e,2ttz tt=0.1386 (不变)， =0.11552=0.2310 29/601施救方案施救方案 0510152025020040060080010001200t(h)x,y,z(mg)x(t)y(t)z(t)t=5.26z=318 施救后血液中药量施救后血液中药量z (t)显著低于显著低于y(t). z (t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平. 要使要使z (t)在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少应为至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，若采用体外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693，血液中药量下降更

16、快；临床上是否需要采取这种办血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定. 30/601 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律.将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究实例研究 (Case Studies)来

17、学习来学习. .以下建模主要指机理分析以下建模主要指机理分析. .二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法和步骤31/601 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的“问题问题”32/601模模型型假假设设针对问题特点和建模目

18、的针对问题特点和建模目的作出作出合理合理的、的、简化简化的假设的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥发挥想像力想像力使用使用类比法类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤33/601模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析.模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检

19、验模型的合理性、适用性.模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤34/601数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对回实际对象象.用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答

20、.实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践35/6011.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点36/601数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态、人口、交通、经济、生态、数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、初等数学、微分方程、规划、统计、表现特性表现特性描述、优化、预报、决策、描述、优化、预报、决策、

21、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续37/6011.6 数学建模能力的培养数学建模能力的培养数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人做过的模型学习、分析、评价、改进别人做过的模型. . 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目. .38/601参加参加全国大学生数学建模竞赛全国大学生

22、数学建模竞赛的意义和作用的意义和作用 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月)2010年年33省省/市市/区区(含港澳含港澳)的的1197校校17317队队39/601内容内容 赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题. 答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文.形式形式 3名大

23、学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛. 可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论件、互联网等），但不得与队外任何人讨论.宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性结果的正确性，表述的清晰性.全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 http:/40/601竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实赛题紧密结合科

24、技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力际的学风和实践能力. 解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力能力. 没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神挥聪明才智和创造精神. 综合运用学过的数学知识和计算机技术综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的选择合适的数学软件数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力通过数学建模分析、解决实际问题的能力. 41/601 三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时

25、间内获取与赛题有关知识的能力时间内获取与赛题有关知识的能力. 分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力同学的团队精神和组织协调能力. 完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力技论文，培养同学的文字表达能力.竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神和自律精神.42/601 多位中国科学院和中国工程院院士以及教育界的多位中国科学院和中国

26、工程院院士以及教育界的专家参加数学建模竞赛举办的活动，为竞赛题词专家参加数学建模竞赛举办的活动，为竞赛题词, ,对这项活动给予热情关心和高度评价对这项活动给予热情关心和高度评价. .43/601竞赛长期以来受到媒体关注与支持竞赛长期以来受到媒体关注与支持44/6012021-12-111. 1. 某甲早某甲早8 8：0000从山下旅店出发，沿一条路径上山从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午，下午5 5：0000到达山顶旅店。次日早到达山顶旅店。次日早8 8：0000从山顶旅从山顶旅店出发，沿同一条路径下山，下午店出发，沿同一条路径下山，下午5 5：0000到达山下到达山下旅店。某乙说，甲必在两

27、天中的同一时刻经过路径旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？中的同一地点。为什么？可以假设路况和天气同样，此人身体情况同样，可以假设路况和天气同样，此人身体情况同样，上下山所走路径相同。那么就是路上休息时间和上下山所走路径相同。那么就是路上休息时间和赶路时间的不同。赶路时间的不同。可以假设两个同样的他，同一天可以假设两个同样的他，同一天8:008:00分别从山上分别从山上和山下出发，和山下出发，5:005:00同时到达山上和山下，则必会同时到达山上和山下，则必会相遇，即甲必在两天中的同一时刻经过路径中的相遇，即甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。同一地点。

28、45/6012021-12-112. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮争夺赛中的每两只球队中的胜利着及轮空着将进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛。如果是N只球队比赛呢假设一支队伍长胜，则每次都由他来淘汰其他队假设一支队伍长胜，则每次都由他来淘汰其他队伍，则赛伍，则赛3636场即可结束比赛。场即可结束比赛。N N只球队就是只球队就是N-1.N-1.或者说比赛是淘汰制，每打一场，淘汰一支队伍或者说比赛是淘汰制，每打一场，淘汰一支队伍，3737支队队伍，只有一个冠军，所以要赛支队队伍，只有一个冠军，所以要赛3636场即场即可结束比赛。可结束比赛。N N只球队就是只球队就是N-1N-1。46

29、/6012021-12-113.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙站的电车经过丙站的时刻表是怎样安排的。在丙站，往甲站方向的列车是在丙站，往甲站方向的列车是0909分分,19,19分分,.59,.59分到。往乙站方向的列车是分到。往乙站方向的列车是0000分分,10,10分分.50.50分分到。到。甲甲乙乙丙丙47/6012021-12-114. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市

30、车站，他妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班并于5：30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟。问他步行了多长时间？原来从车站出发为原来从车站出发为6:00,6:00,到家为到家为6:00+x,6:00+x,设步行时间为设步行时间为y,y,则从车站出发为则从车站出发为5:30,5:30,到家为到家为5:30+y+x-0:05,5:30+y+x-0:05,因后者因后者比前者早比前者早1010分钟到家分钟到家, ,即后者加即后者加0:100:10等于前者等于前者; ;车接人的出发时间是不变的，故提前车接人的出发时间是不变的，故提前1010分钟到家意味着分钟到家意味着单程比原来少走单程比原来少走5 5分钟，设原来从车站接到人后返家车行分钟，设原来从车站接到人后返家车行用时为用时为x,x,则半路接到人后返家车行用时为则半路接到人后返家车行用时为x-0:05x-0:05；综合上述综合上述, ,根据等式根