平面向量公式

1、设 a= (x, y), b=(x' , y')。1、向量的加法向量的加法满足 平行四边形法则 和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' , y+y')。a+O=O+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I入a

2、l = I入I?丨al。当心0时，入&与a同方向；当入v 0时，入&与a反方向；当入=0时，入a=0方向任意。当a=0时，对于任意实数 入，都有 入a=0注：按定义知，如果 入a=0那么 入=0或a=0。实数入叫做向量a的系数，乘数向量 入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当I XI > 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X> 0)或反方向(入v 0) 上伸长为原来 的I XI倍；当I X I v 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X> 0)或反方向(XV 0) 上缩短为原来 的I X I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(X a)

3、?b= X (a?b)=(a? X b)向量对于数的 分配律(第一分配律)：(X +)a= X a+ a.数对于向量的分配律(第二分配律)：X (a+b)= X a+ Xb数乘向量的消去律： 如果实数 入工且X a=XI那么a=b。 如果aO且 X a=(j,那么X =性 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b> 并规定 0w a,b> <n定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b>若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos a, b>若 a、b 共线，则 a?b

4、=+- I a II b I。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y。向量的数量积的运算律a?b=b?a（交换律）；（入a）?b=入（a关于数乘法的结合律）;（a+b）?c=a?c+b?c（分配律）；向量的数量积的性质a?a=|a的平方。a 丄 b =a?b=03|a?b| w向量的数量积与实数运算的主要不同点1、 向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c丰a?（b?例如：（a?b）A2丰aA2?bA22、向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c （a艺0推不出b=c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、 由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。4、向

5、量的向量积定义：两个向量 a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a>b。若a、b不共线，则a>b的模是：la>bI=|a|?|b|?sina,b>ab的方向是：垂直于 a和b,且a、b和a>b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a=0。向量的向量积性质：I a©I是以a和b为边的平行四边形面积。a >=0。a II b = > axb=0o向量的向量积运算律a>b=-b 冶；（入）x b= （a>b） =ax （入 b;（a+b） xc=a xc+b xc.注：向量没有除法，向量AB/向量CD'是没有意义的。向量的

6、三角形不等式1、I I a I -I bI I w I a+b I w I a I + I b I ；当且仅当a、b反向时，左边取等号；当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、I I a I -I bI I w I a-b I w I a I + I b I 。当且仅当a、b同向时，左边取等号；当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点定比分点公式 （向量P1P=X?量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 人使向 量P1P=X?向量PP2,入叫做点P分有向线段 P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1） , P2（x2,y2） , P（x,y），则有0P=（0P1+入OP2）（1+入；（定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+。入（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=X 0A +卩OBJ且入+卩=1则A、B、C三点共线三角形重心判断式在厶ABC中，若 GA +GB +GC=O,贝U G ABC的重心 编辑本段向量共线的重要条件若b0则a/b的重要条件是存在唯一实数入，使a=ba/