《线性代数总复习J》ppt课件

1、线性代数总复习线性代数总复习第一章第一章 行列式行列式二阶行列式的计算方法二阶行列式的计算方法.2112221122211211aaaaaaaa 第一节第一节 n阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式的计算方法三阶行列式的计算方法沙路法沙路法323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD nnnn 212)1(21)1( 一些常用的行列式结果：一些常用的行列式结果：nnnnaaaaaa000222112111122nna aa nn

2、 2121 kkkkmmmmbbbb*aaaaDMMMMMM111111110 *1111mmmmaaaaMM .1111kkkkbbbbMM行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 性质性质1.1行列式的某一行列中一切元素的行列式的某一行列中一切元素的公因子可以提到行列式符号的外面公因子可以提到行列式符号的外面 性质性质1.2式为零。式为零。行列式的某一行列中的一切元素都行列式的某一行列中的一切元素都乘以同一数乘以同一数 k ，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.假设行列式中有一行假设行列式中有一行(列列)为零，那么行列为零，那么行列第二节第二节 行列式的性质行列

3、式的性质对换行列式的两行列对换行列式的两行列,行列式变号行列式变号. 性质性质1.3那么此行列式为零那么此行列式为零.假设行列式有两行列完全一样，假设行列式有两行列完全一样，比例，那么行列式为零比例，那么行列式为零 性质性质1.4假设行列式中有两行列对应成假设行列式中有两行列对应成假设行列式的某一行列的元素都是假设行列式的某一行列的元素都是那么那么D等于以下两个行列式之和：等于以下两个行列式之和：例如第例如第i 行的元素都是两数之和行的元素都是两数之和 性质性质1.5两数之和，两数之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM21221111211 nnnniniina

4、aabbbaaaDMMMMMM212111211 nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211 同一数然后加到另一行同一数然后加到另一行(列列)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列列 把行列式的某一行列的各元素乘以把行列式的某一行列的各元素乘以 性质性质1.6式不变式不变 (倍加运算倍加运算)计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开数余子式的乘积，即数余子式的乘积，即.ijijAaD

5、引理引理 一个一个n阶行列式，假设第阶行列式，假设第i 行一切元素除行一切元素除ija外都为零，外都为零，ija与它的代与它的代那么这个行列式等于那么这个行列式等于式某行式某行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元素的代数余子对应元素的代数余子行列式的某行行列式的某行(列列)的一切元素与其对应的一切元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。式乘积之和等于零。行列行列行列式按行列展开法那么是把高阶行列式按行列展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具要工具. ;,0,1jij

6、iDAankkjki当当当当 ;,0,1jijiDAankjkik当当当当第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算一、矩阵的概念一、矩阵的概念 由由 个数个数nm njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 称为称为m m行行n n列矩阵列矩阵, ,简称简称 矩阵矩阵. .nm 排成的排成的m行行n列的数表列的数表mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211 Anm 其中其中 个数称为矩阵个数称为矩阵A A的元素，数的元素，数ija称为矩阵称为矩阵A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素. 1. 矩阵的根本概念矩阵的根本概念 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘

7、矩阵与矩阵相乘 方阵的幂方阵的幂 转置矩阵转置矩阵 对称及反对陈矩阵对称及反对陈矩阵 方阵的行列式方阵的行列式 1. 矩阵的根本运算：矩阵的根本运算： 二、矩阵的运算二、矩阵的运算2. 矩阵的运算规律：矩阵的运算规律： ;1ABBA 交交换换律律： .2CBACBA 结合律：结合律：加法：加法： ;:1AA 结结合合律律 :2 分配律分配律 .BABA ;AAA 数乘：数乘： ;1BCACAB ,3ACABCBA ;CABAACB BABAAB 2其中其中 为数为数; 乘法：乘法：方阵的幂运算：方阵的幂运算：kllkAA )(2lklkAAA 1 留意：留意： .kkkBAAB ;1AATT

8、;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 转置运算：转置运算：由由n n阶方阵阶方阵A A的元素按原相对位置所构成的元素按原相对位置所构成或或A.det A称为方阵称为方阵A的行列式，记作的行列式，记作的行列式，的行列式，3. 方阵的行列式及其性质方阵的行列式及其性质AAT BAAB 方阵的行列式满足以下规律：方阵的行列式满足以下规律：2 23 3设设A、B为为n阶方阵，阶方阵， 为数为数 1 1;AAn . .列标列标三、逆矩阵三、逆矩阵1. 根本概念根本概念对于对于n n阶方阵阶方阵A A，假设存在一个，假设存在一个n n阶方阵阶方阵B B使得使得EBAAB 那么称那么称B B

9、是是A A的逆矩阵，并称矩阵的逆矩阵，并称矩阵A A是可逆矩阵或满秩是可逆矩阵或满秩.1 A矩阵，或非奇特矩阵矩阵，或非奇特矩阵, ,记为记为阐明阐明 假设假设A A是可逆矩阵，那么是可逆矩阵，那么A A的逆矩阵是独一的逆矩阵是独一的的. .11AA 写写成成不不能能将将 留意留意各元素各元素aij aij 的代数余子式的代数余子式Aij Aij 构成如下构成如下n n阶方阵阶方阵 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵A A的伴随矩阵的伴随矩阵. .,)(nnijaA 设有设有n阶方阵阶方阵A由行列式由行列式 中中 *A留意留意: :伴随阵伴随阵与原矩阵与原

10、矩阵A A元素位置的对应关系元素位置的对应关系. .EAAAAA 设设A为为n阶方阵，阶方阵，A*为其伴随矩阵，那么为其伴随矩阵，那么2. 根本定理根本定理,11 AAA且且.的伴随阵的伴随阵是是其中其中AA 设设A为为n阶方阵，那么阶方阵，那么,0 AA可逆可逆或或若若(EAB 设设A、B 都是都是n阶方阵，阶方阵，.1 AB则则, )EBA AA且且可可逆逆则则数数可可逆逆若若, 0,2 且且也也可可逆逆则则为为同同阶阶可可逆逆矩矩阵阵若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且也也可可逆逆则则可可逆逆若若3. 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 .,4AAA

11、AT 且且也也可可逆逆则则可可逆逆若若TT1 1 .,511 AAA则则有有可可逆逆若若 .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A 利用定义普通适用于证明题利用定义普通适用于证明题 (3)待定系数法待定系数法 (4) 初等变换法初等变换法:步骤如下步骤如下 ;21AAA 利用公式利用公式4. 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法);()1(EAM构造矩阵构造矩阵1,)()2( AEEAEA对应部分即为对应部分即为右边右边后后单位矩阵单位矩阵化为化为将将施行初等行变换施行初等行变换对对M.21tAAAA tAOAOAA21设方阵设方阵分块对角矩阵的性质分块对角矩阵的性质那么那么 1. 可可逆

12、逆，且且即即矩矩阵阵则则如如果果AAtiAi, 0, 2 , 10 .21 tAAAAoo1 1 1 1 2. ktkkkAOAOAA21. 3 四、分块矩阵四、分块矩阵 nn 0000002211特殊地，假设特殊地，假设 是对角矩阵是对角矩阵当且仅当当且仅当nn ,2211都不为零时，都不为零时， 是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且 11221111000000nn knnkkk 0000002211则则矩阵的初等变换包括矩阵的初等变换包括3 3种：对换变换、数乘变换种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，且其逆变换是同一类型的

13、初等变换且其逆变换是同一类型的初等变换. . .列标列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵nmrOOOE 设设A是一个是一个 非零矩阵，那么非零矩阵，那么A一定一定nm 可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最简形，再进展初等列变换化为如下规范形：简形，再进展初等列变换化为如下规范形：其中其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.留意：初等变换不改动矩阵的可逆性。留意：初等变换不改动矩阵的可逆性。 对于任何一个非零矩阵对于任何一个非零矩阵,都可以先进展初等行变换

14、化都可以先进展初等行变换化为行阶梯形及行最简形为行阶梯形及行最简形,再进展初等列变换化为规范形再进展初等列变换化为规范形.A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵.nm 设设A是一个是一个 矩阵，对矩阵，对A 施行一次施行一次初等行变换，相当于在初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在ECCACRRRts 2121121121)()( tsCCCERRRA1112111121 CCCRRRtsn阶方阵阶方阵A可逆的充要条件是存在有限可逆的充要条件是存在有限.,2121llPPP

15、APPP 使得使得个初等矩阵个初等矩阵六、矩阵的秩六、矩阵的秩求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻觅矩阵中非零子式的利用定义：寻觅矩阵中非零子式的最高阶数最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩中非零行的行数就是矩阵的秩对于对于n阶方阵阶方阵A，假设，假设A的秩等于的秩等于n，那么称，那么称A为满秩矩阵，否那么称为降秩矩阵为满秩矩阵，否那么称为降秩矩阵. ;)(nAR ;0 AA为可逆矩阵为可逆矩阵.对于对于n阶方阵阶方阵A，以下命题等价：，以下命题等价：(1)

16、 A为满秩矩阵；为满秩矩阵；(2)(3)(4)第三章 线性方程组( )nAR=( )nAR有无穷多解有无穷多解. .b bAx = =非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx ;有有唯唯一一解解bAx BRAR (1)无解无解(2)并且通解中有并且通解中有n-r个自在未知量个自在未知量. 其中其中 bABM ( )( )BRAR=有解有解:非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的详细解法：的详细解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 以及以及n之间的大小关系，从而判别之间的大小关系，从而判别方程组解的情况：无解，独一解，无穷解

17、。方程组解的情况：无解，独一解，无穷解。 BRAR、 (2)在判别有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施在判别有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进展求解。假设方程组有无穷多对应的线性方程组进展求解。假设方程组有无穷多个解，需写出通解方式。个解，需写出通解方式。bxAnn 0 A当当m = n m = n 时，时，n n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有独一解的充分必要条件是系数矩阵有独一解的充分必要条件是系数矩阵A A的行列式的行列式( )nAR=( )nAR齐次线性方程组齐次线性方程组 一

18、定有解：一定有解：0 Ax(1)(2)并且通解中有并且通解中有n-r个自在未知量个自在未知量. 0 Ax0 Ax只需零解只需零解有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的详细解法：的详细解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 与与n之间的大小关系，从而判别方程组解之间的大小关系，从而判别方程组解的情况：独一解零解，无穷解非零解。的情况：独一解零解，无穷解非零解。 AR (2) 继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进展求解。行最简形

19、，并写出最简形对应的线性方程组进展求解。假设方程组有无穷多个解，需写出通解方式。假设方程组有无穷多个解，需写出通解方式。;0 A当当m = n m = n 时，时，(1)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)只需零解只需零解(2)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)有非零解有非零解.0 A当当m n m n 时，时， 即方程个数小于未知量个数时，即方程个数小于未知量个数时，齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)必有非零解必有非零解. )(nmAR 第四章第四章 向量组的线性向量组的线性 相关性相关性设设n维向量维向量,s21,skkk21sskkk2211假设存在一组数假设存在一组数使得使得

20、s,21那么称向量那么称向量是向量组是向量组的线性组合或称向的线性组合或称向s,21可由向量组可由向量组线性表示线性表示. 量量第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性表示一、线性表示s,21向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示 .BRAR的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵sA,21的秩等的秩等Bs,21于矩阵于矩阵的秩，即的秩，即 阐明：判别某个向量能否可由某向量组线性表阐明：判别某个向量能否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组能否有解，从而示，可归结为非齐次线性方程组能否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩能否相取决于该方程组系数矩阵和增

21、广矩阵的秩能否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来处理阵为阶梯形矩阵来处理. 02211sskkk,s21对于对于n维向量组维向量组假设存在一组假设存在一组使使得得,skkk21不全为零的数不全为零的数021skkks,21s,21那么称向量那么称向量组组线性相关线性相关. 假设上式只需当假设上式只需当时才成立时才成立,那么称向量那么称向量组组线性无关线性无关. 二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关.)(sAR 条条件件是是线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组s ,21的秩小于的秩小于矩阵矩阵条件是它所构成的

22、条件是它所构成的),(21s A ;)(sAR, s 即即向向量量个个数数必必要要向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分 于是判别某向量组的线性相关性，可归结为齐次线于是判别某向量组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组能否有非零解，从而取决于方程组系数矩性方程组能否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来处理矩阵为阶梯形矩阵来处理. nA,21的充分必要条件是它所构成的矩阵的充分必要条件是它所构成的矩阵;0A的行列式等于零，即的行列式等于零，即向量组线性无关的充分必向量组线性无关的充分必,ns

23、n,21假设假设 那么那么n 个个n 维维向量向量线性相关线性相关. 0A要条件是要条件是,ns 即向量组中向量个数大于向量维数时，即向量组中向量个数大于向量维数时，假设假设向量组必线性相关向量组必线性相关. ,21sA 事事实实上上，记记 ，因因为为snAR .,21线性相关线性相关故故s Bs,:21 221sAs,: (1) 向量组向量组线性相关线性相关(A)中至少有一个向量能由其他中至少有一个向量能由其他线性相关，那么向量线性相关，那么向量的充分必要条件是：的充分必要条件是： sA,:21线性无关，而向量组线性无关，而向量组(2)设向量组设向量组向量线性表示向量线性表示.一定可由向一定

24、可由向量组量组(A)线性表示，且表示式是独一的线性表示，且表示式是独一的. 三、相关定理三、相关定理设有向量组设有向量组 ,s:21Arjjj,21而而是是(A)的部分向量组的部分向量组 ,假设假设(1) rjjj,21线性无关；线性无关；(2) 对于向量组对于向量组 (A) 中的任何一个向量中的任何一个向量 ,k都有都有 kjjjr,21线性相关，那么称线性相关，那么称 rjjj,21为向量为向量组组(A)的一个极大线性无关组，简称极大无关组的一个极大线性无关组，简称极大无关组. 留意：在条件留意：在条件(1)下，下，(2)和下述条件等价：和下述条件等价： )(2对于向量组对于向量组 (A)

25、 中的任何一个向量中的任何一个向量 ,k都可由都可由rjjj,21线性表出线性表出.第三节第三节 极大线性无关组极大线性无关组向量组向量组 s,:21A的极大性无关组的极大性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记为所含向量的个数，称为向量组的秩，记为 s,21Rn阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 A的行的行(列列)向量组线性无关向量组线性无关.向量组秩的求法：经过求向量组构成的矩阵的秩来向量组秩的求法：经过求向量组构成的矩阵的秩来求该向量组的秩及其极大线性无关组求该向量组的秩及其极大线性无关组. 第四节第四节 线性方程组解的构造线性方程组解的构造一、齐次线性方程组解的构

26、造一、齐次线性方程组解的构造 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4.1)假设假设n元齐次线性方程组元齐次线性方程组4.1的系数的系数矩阵矩阵A的秩的秩 , nrAR那么方程组那么方程组4.1的根底的根底. rn(证明略证明略)解系一定存在，且根底解系含的解向量的个数为解系一定存在，且根底解系含的解向量的个数为 齐次线性方程组根底解系的求法齐次线性方程组根底解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA1对系数矩阵对系数矩阵 进展初等变换，将其化为进展初等变换，将其化为 最简形最简形A nrn ,rrrrnrn

27、,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121MMMM2得出得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个根底解系含有个根底解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量 rAR rn ,bbr 0011111MM ,bbr 0102122MM .bb,rn ,rrn ,rn 1001MM 故故, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxxMMMM得得为齐次线性方程组的一个根底解系为齐次线性方程组的一个根底解系. .齐次线性方程组的通解为齐次线性方程组的通解为1122sn rk k k 二、非齐次线性方程组解的构造二、非齐次线性方

28、程组解的构造mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121114.5 性质性质4.4导出组导出组 (4.1)的解的解. 为为(4.5)的解，那么的解，那么 21xx，设设21 是其是其 性质性质4.5的解，那么的解，那么 设设 为为(4.5)的解，的解，x x 是其导出组是其导出组 (4.1) 也是也是(4.5)的解的解. 设设 *是非齐次方程组是非齐次方程组(4.5)的一个取定的解的一个取定的解(称为特解称为特解)， 是其导出组是其导出组4.1的通解，那么方程组的通解，那么方程组 (4.5)的通解为的通解为x*阐明：此定理阐明阐明：此定理阐

29、明非齐次方程组的通解非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解齐次方程组的通解 +非齐次方程组的特解非齐次方程组的特解 第五章第五章特征值、特征向量特征值、特征向量及矩阵的对角化及矩阵的对角化 一、一、 向量的内积向量的内积设有设有n 维向量维向量 ,nnyyyyxxxxMM2121 1122,Tnnx yx yx yx yxy令令 ., yxyx的的与与为为向向量量称称内积内积,22221nxxxxxx令令 . xnx或或的的维维向向量量为为称称长度长度范数范数.,0, yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交 .,1 AAAEAAn TT正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即阶矩阵满足阶矩阵满足

30、如果如果 向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交矩阵矩阵A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A 的列的列(行行)求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ;det. 1EAA 的特征多项式的特征多项式计算计算 ;,0det. 221的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AEA n .xEA iii的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值 ,0,. 3二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量 ).(,212121证证明明略略线线性性无无关关则则为为所所对对应应的的特特征征向向量量依依次次与与之之的的互互异异特特征征值值为为设设mmmnnxxxxxxA 留意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的留意：属于不同特征值的特征向量是线性无关的矩阵特征值与特征向量的性质：矩阵特征值与特征向量的性质：;)1(