反证法证明题(简单)

1、.反证法证明题例 1.已知A ，B ，C 为 ABC内角.求证：A ，B ，C 中至少有一个不小于60 o.证明：假设ABC 的三个内角A，B ，C 都小于60 o，即A60 o ，B60 o ，C60 o ，所以ABC180O ，与三角形内角和等于180 o 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例 2.已知 a0 ，证明 x 的方程 axb 有且只有一个根 .证明：由于 a0 ，因此方程 axbb 至少有一个根 x.a假设方程 axb 至少存在两个根，不妨设两根分别为x1 , x2且 x1x2，则 ax1b,ax2b ，所以 ax1ax2 ，所以 a(x1 x2 )0 .因为 x1x2 ，

2、所以 x1x20，所以 a0 ，与已知 a0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例 3.已知 a3b32, 求证 a b 2 .证明：假设 ab2，则有 a2b ，所以 a3(2b)3即 a3812b6b2b3，所以 a3812b6b2b36(b1)22 .可编辑.因为 6(b1)222所以 a3b32 ，与已知 a3b32 矛盾 .所以假设不成立，所求证结论成立.例 4.设 an是公比为的等比数列，Sn 为它的前 n 项和 .求证：Sn 不是等比数列 .证明：假设是S等比数列，则S22S1 S3，n即 a12 (1 q)2a1 a1 (1 q q2 ) .因为等比数列a10 ，所以 (1

3、q)21qq2即 q0 ，与等比数列 q0 矛盾，所以假设不成立，所求证结论成立.例 5.证明2 是无理数 .证明：假设 2是有理数，则存在互为质数的整数mm ， n 使得 2.n所以 m2n 即 m22n2 ，所以 m2 为偶数，所以m 为偶数 .所以设 m2k(kN * ) ，从而有 4k 22n2 即 n22k 2 .所以 n2 也为偶数，所以n 为偶数 .与 m ， n 互为质数矛盾 .所以假设不成立，所求证2 是无理数成立 .例 6.已知直线 a,b 和平面，如果 a, b，且 a / /b ，求证 a / / 。证明：因为 a / /b , 所以经过直线a , b确定一个平面。因为

4、 a，而 a，可编辑.所以与是两个不同的平面因为 b，且 b，所以Ib .下面用反证法证明直线a 与平面没有公共点假设直线 a 与平面有公共点 P ，则 PIb ，即点 P 是直线 a 与 b 的公共点，这与 a / /b 矛盾所以a / /.例 7 已知 0 < a, b, c < 2 ，求证： (2a)c， (2b )a，(2c)b 不可能同时大于 1证明：假设 (2a) c， (2b )a，(2c)b 都大于 1 ，即 (2a)c>1 , (2b)a>1 , (2c)b>1 ，则 (2a)c(2b )a(2c)b>1又因为设 0 < a, b ,

5、 c < 2， (2( 2a)a,a) a21同理 (2b ) b 1,(2c) c 1,所以 (2a) c(2b )a (2c)b 1此与矛盾 .所以假设不成立，所求证结论成立.1y 1x例 8 若 x, y > 0 ，且 x + y >2 ，则和中至少有一个小于 2xy1 y1x证明：假设 2 ， 2 ，xy因为 x, y > 0 ，所以1 y2x,1x 2 y ，可得 x + y 2 与 x + y >2 矛盾 .所以假设不成立，所求证结论成立.可编辑.例 9 设 0 < a, b , c < 1，求证：(1a)b , (1b )c, (1c)a

6、,不可能同时大于14111证明：假设设 (1,(1b )c >,a)b >, (1c)a >444则三式相乘： ab < (1a)b ?(1b )c?(11c)a <64(1a)21又0 < a, b , c < 10 (1 a)aa24同理： (1b)b1(1c)c1,441以上三式相乘：(1a)a?(1b )b ?(1与矛盾c)c64所以原式成立例 10.设二次函数f ( x)x 2pxq ，求证： f (1) , f (2) , f (3)中至少有一个不小于1.12证明：假设f (1) , f (2) , f(3) 都小于，2则 f (1)2 f ( 2)f (3)2.（ 1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有f (1)2 f (