协整与误差修正模型

1、.第六讲协整与误差修正模型一、非平稳过程与单位根检验二、长期均衡关系与协整三、误差修正模型可编辑.一、非平稳过程与单位根检验1 、非平稳过程1）随机游走过程（random walk）。yt = yt-1 + ut,utIID(0,2)10y=y(-1)+u50-5-1020406080100120140160180200差分平稳过程（difference- stationary process） 。可编辑.2）有漂移项的非平稳过程（non-stationaryprocesswithdrift）或随机趋势非平稳过程（ stochastic trend process）。yt =+yt -1+ut

2、 ,utIID(0,2)迭代变换： yt =+ (+yt -2+ ut-1 ) + ut = = y0+t=tt +uit +uii 1i110020800-2060-4040-6020-80400450500550600650700750800100200300400500600700800差分平稳过程可编辑.3）趋势平稳过程（trend-stationary process）或退势平稳过程。yt =+t + ut ,utIID(0,2 )25201510505101520253035404550趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程：yt =+ ut - ut -1 。所以应该用退势的方法获

3、得平稳过程。yt -t =+ u t。可编辑.4）确定性趋势非平稳过程（ non-stationary process with deterministictrend）yt =+t + yt -1 + ut,utIID(0,2 )1801601401201008060400450500550600650700750800确定性趋势非平稳过程的差分过程是退势平稳过程，yt =+t +ut 。确定性趋势非平稳过程的退势过程是非平稳过程，yt -t =+ yt-1+可编辑.ut 。只有既差分又退势才能得到平稳过程，yt -t =+ ut 。5）单位根过程前述的差分平稳过程可改写为：（1-L ）yt=

4、 m + ut滞后算子多项式1-L=0 的根 L=1 称为“单位根”。含有单位根的随机过程称为单位根过程。如果一个序列在成为平稳序列之前必须经过d 次差分，则该序列被称为d阶单整，记为I（d) 。可编辑.2.单位根检验1） DF （ ADF ）检验法（ Dickey-Fuller,1979）观察如下模型：yt=yt -1 + ut ,ut IID(0,2 )(1.a)yt=+yt -1 +ut ,utIID(0,2 )(2.a)yt=+t+yt-1+u t,utIID(0,2 )(3a)若 /<1, 则 yt 平稳；若 /=1, 则 yt 一阶单整；若 / 1,则 yt 发散。可编辑.假

5、设 H0：=1 ，yt 非平稳； H 1 ：<1 。 yt 平稳检验统计量 DF = ( ?1)s( ?)当 DF 临界值时，不拒绝原假设，yt 非平稳。前述三个方程可改写为：yt =yt -1 + ut ,utIID(0,2 )(1.b)yt =+yt-1 + ut, utIID(0,2)（2.b)yt =+t +yt -1+ ut ,utIID(0,（ 3.b)其中=-1 。于是 H0：= 0，yt 非平稳； H 1 ：< 0 。 yt 平稳检验统计量DF =?s( ?)。s( ) =可编辑.其中? 和 ? 分别表示和的 OLS 估计量。注意：检验顺序（ 3.b) 、（ 2.b

6、) 、 (1.b)2） ADF 检验（增项或扩展的DF ）如果被检验的真实过程是一个AR(p)过程，而检验式是AR(1) 形式，那么由于对 yt 形式的设定错误，检验式对应的误差项必然表现为自相关。当误差项具有相关性时，回归参数的检验统计量不再服从DF 分布。假定 yt 是 AR(p) 过程： yt =1 yt -1+2 yt-2 + +p yt- p+ u t检验式应写为： yt =yt-1p 1yt j + utyt =yt-1 +jj 1可编辑.p 1yt j + u tjj 1ppj= 1, 2,1。其中=-1=(i )-1 ，j* = -i ,i 1i j 1p如果= 0成立，则 y

7、t 含有单位根。称此检验为ADF 检验。在 ADF 检验式中也可以加入漂移项和时间趋势项 t 。yt =yt-1+p 1+ut对于式：jyt jj 1H 0 ： yt 是一个非平稳过程，H 1 ： yt 是一个均值非零的平稳过程。yt =yt-1+p 1+t + ut对于式：jyt jj 1可编辑.H 0 ： yt 是一个非平稳过程，H 1 ： yt 是一个确定性趋势平稳过程。注意： 差分滞后项yt- j 个数的选择非常重要。滞后项个数太少，会导致当原假设为真时，拒绝原假设的概率变大。当滞后项个数太多时，又会导致检验功效降低（当备择假设为真时，检出的概率变低）。3） PP 检验（ Philli

8、ps-Perron,1988）用非参数方法检验AR （1）的平稳性。对于方程：yt =+yt -1 + ut 构造一个具有体分布的检验统计量tp,p 。H 0 ：= 0 ，yt 非平稳； H 1 ：< 0 。 yt 平稳可编辑.使用 PP 检验必须定义截断滞后因子的滞后阶数q 。4） KPSS 检验（ Kwiatkowski- Phillips-Schmidt-Shin,1992）用从待检验序列yt 中剔出截距项和趋势项的序列et 构造 LM 统计量。H 0 ： yt 是一个平稳过程，H 1 ： yt 是一个非平稳过程5） ERS 检验（ Elliot-Rothenberg-Stock

9、Point Optimal， 1996 ）在待检验序列yt 的拟差分序列回归基础上构造的统计量进行检验。H 0 ： yt 有一个单位根，H 1： yt 是一个平稳过程。6） NP 检验（ Ng-Perron， 2001 ）可编辑.基于被检验序列yt 的广义最小二乘退势序列yt d 构造了四个检验统计量检验序列的平稳性。二、长期均衡关系与协整1 、长期均衡经济理论指出 ，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。可编辑.假设 X 与 Y 间的长期“均衡

10、关系”由式： Yt01 Xtt描述式中 :mt 是随机扰动项。该均衡关系意味着: 给定 X 的一个值， Y相应的均衡值也随之确定为a0 +a 1X。在时期 t ，假设 X 有一个变化量DX t，如果变量 X 与 Y 在时期 t 与 t-1 末期仍满足它们间的长期均衡关系，则Y 的相应变化量由式给出:Yt1X t vt式中， v t =m t -m t-1一个重要的假设就是:随机扰动项m t 必须是平稳序列。可编辑.2 、协整如果序列 X 1t ,X2t ,Xkt 都是 d 阶单整，存在向量a=(a 1,a2,ak)，使得Z t = aX T I(d-b)其中， b>0 ，X=(X 1t

11、,X2t ,Xk)T，则认为序列 X 1t ,X2t ,Xk 是 (d,b) 阶协整，记为 X t CI(d,b) ， a 为协整向量（ cointegrated vector）。可编辑.由此可见 :如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整；三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。从协整的定义可以看出：（ d,d ）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d ）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。尽管这两时间序

12、列是非稳定的，但可以用经典的回归分析方法建立回归模可编辑.型。检验变量之间的协整关系，在建立计量经济学模型中是非常重要的。从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固的，其统计性质是优良的。3 、协整检验一是基于回归模型残差的协整检验；二是基于回归系数的协整检验。变量间的Engle-Granger检验（ Engle-Granger，1987 ）。基于回归模型残差的协整检验，也称为EG 检验，步骤如下：可编辑.第一步， 若序列 Yt 和 X1t ，Xk 均为一阶单整， 用 OLS 方法估计方程：Yt = a0 +a 1X 1t + +a kXkt +m t并计算估计模型的残差e

13、t ，第二步，检验残差序列是否平稳（通常用ADF 检验）。若残差序列平稳，则可以确定变量之间存在协整关系；否则，变量之间不存在协整关系需要注意是 ，这里的 DF 或 ADF 检验是针对协整回归计算出的误差项et ，而非真正的非均衡误差m t 进行的。可编辑.而 OLS 法采用了残差最小平方和原理，因此估计量d 是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对 et 平稳性检验的DF 与 ADF 临界值应该比正常的DF 与 ADF 临界值还要小。三、误差修正模型1、误差修正模型误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM ）是一种具有特定形式的计量经济学模

14、型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、 Srba和 Yeo 于 1978 年提出的，称为DHSY 模型。可编辑.下面通过一个具体的模型来说明它的结构：假设两变量X 与 Y 的长期均衡关系为:Yt =a 0 +a 1 Xt +m t由于现实经济中X 与 Y 很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X 与 Y 间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1) 阶分布滞后形式Yt01 X t2 X t 1Yt 1t由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS 法。对上述 模型适当变形得：Yt01 X t( 12 ) X t 1 (1)Yt 1t1Xt(1) Y012 Xt 1tt 1

15、11可编辑.简记：Yt1 X t(Yt 1 0 1 X t 1 ) t该式称为一阶误差修正模型 (first-order error correction model)。 式中括号内的项就是 t-1期的非均衡误差项。 表明 Y 的变化决定于 X的变化以及前一时期的非均衡程度。因此，Y 的值已对前期的非均衡程度作出了修正。一阶误差修正模型式可以写成：Yt1X tecmt其中 :ecm 表示误差修正项，l 是短期调整系数，其修正作用如下：(1) 若(t-1) 时刻 Y 大于其长期均衡解 a0 +a 1 X，ecm 为正，则 (-lecm) 为负，使得 DY t 减少；(2) 若(t-1) 时刻 Y

16、 小于其长期均衡解 a0+a 1 X ， ecm 为负，则 (-lecm) 为正，可编辑.使得 DY t 增大。更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。对误差修正模型，Engle与 Granger1987 年提出了著名的Grange表述定理：如果变量X 与 Y 是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。2、误差修正模型的建立1 ） Engle-Granger两步法由协整与误差修正模型的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G 两步法：第一步， 进行协整回归 （OLS 法），检验变量间的协整关系，估计协整向量；可编辑.第二步， 若协整性存在， 则以第一步求到的残差

17、作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS 法估计相应参数。需要注意的是 ：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。另外 ，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。2）直接估计法可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS 法估计模型。但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。可编辑.Yt1X t(Yt 101 X t 1 )t如对双变量误差修正模型：可打开非均衡误差项的括号直接估计下式：Yt01XtYt 11X t 1t这时短期弹性与长期弹

18、性可一并获得。需注意的是， 用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。例：以中国国民核算中的人均居民消费支出经过居民消费价格指数缩减得到中国人均 居民实际消费支出时间序列（ CP）；以支出法 GDP 对居民消费价格指数缩减近似地代表国民收入时间序列 (GDP) 时间段为 19782000 。建立中国可编辑.居民消费的长期均衡模型与误差修正模型。ln Ct0.0470.923ln GDPt（ 0.30 ） (57.48)R2=0.994DW=0.744ln Ct0.1520.698ln GDPt0.622 ln Ct 1 0.361ln GDPt 1T=(1.63)(6.62 ）（ 4.92 ）（ -2.17 ）R2=0.994DW=1.92LM(1)=0.00LM(2)=2.31可编辑.ln Ct0.686ln G