正弦函数余弦函数图像教案及反思

1、学习必备欢迎下载正弦函数、余弦函数的图象教材分析三角函数是基本初等函数之一， 是描述周期现象的重要数学模型， 是函数大家庭的一员。除了基本初等函数的共性外，三角函数也有其个性的特征，如图像、周期性、单调性等，所以本节内容有着承上启下的作用；另外，学习完三角函数的定义之后，必然要研究其性质，而研究函数的性质最常用、最形象直观的方法就是作出其图像，再通过图像研究其性质。由于正弦线、余弦线已经从“形 ”的角度描述了三角函数 ,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然 ,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到 “

2、五点法 ”画正弦函数、余弦函数的简图 .教学目标1.通过简谐振动实验演示,让学生对函数图像有一些直观的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识 ,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习 ,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换 ,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法 ,体会用 “五点法 ”作图给我们学习带来的好处 ,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习 ,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究

3、的学习方法带来的成功愉悦 . 渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系 ,树立科学的辩证唯物主义观 .重点难点教学重点 :正弦函数、余弦函数的图象 .教学难点 :将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系 .教学用具：多媒体教学、几何画板软件、 ppt 控件教学过程导入新课1.(复习导入 ) 首先复习相关准备知识：三角函数、三角函数线。遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状 ,看看有什么特殊点 ,并借助图象研究它的性质 ,如 : 值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与

4、y=cosx 的图象是怎样的呢 ?回忆我们是如何画出它们图象的(列表描点法 :列表、描点、连线 )?2.(物理实验导入 )视频观看 “简谐运动 ”实验 .得到一条曲线 ,它就是简谐运动的图象 .物理中把简谐运动的图象叫做 “正弦曲线 ”或 “余弦曲线 ”有.了上述实验 ,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确 .下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.推进新课新知探究提出问题问题 :作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到

5、任意角的三角函数值并用线段长 (或用有向线段数值 )表示 x 角的三角函数值 ?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢 ?简单地说 ,就是如何得到 y=sinx,x 0,2 的精确图象呢 ?问题 :如何得到y=sinx,x R 时的图象 ?对问题 ,第一步 ,可以想象把单位圆圆周剪开并12 等分 ,再把 x 轴上从 0 到 2这一段分学习必备欢迎下载成 12 等份 .由于单位圆周长是2,这样就解决了横坐标问题 .过 O1 上的各分点作 x 轴的垂线 ,就可以得到对应于 0、 、4、 、 、2等角的正弦线 ,这样就解决了纵坐标问题 (相632当于 “列表 ”)第.二步 ,把角 x的正弦线向右

6、平移 ,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合 ,这就得到了函数对 (x,y)( 相当于 “描点 ”)第.三步 ,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数 y=sinx 在 0,2 上的一段光滑曲线(相当于 “连线 ”)如.图 1 所示 (这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点 ,教师要和学生共同探讨.图 1对 问 题 , 因 为 终 边 相 同 的 角 有 相 同 的 三 角 函 数 值 , 所 以 函 数 y=sinx 在x 2k ,2(k+1) ,kZ且 k0上的图象与函数 y=sinx 在 x0,

7、2 上的图象的形状完全一致 , 只是位置不同 .于是我们只要将函数 y=sinx,x 0,2 的图象向左、 右平行移动 (每次 2个单位长度 ),就可以得到正弦函数 y=sinx,x R 的图象 .(这一过程用课件处理 ,让同学们仔细观察整个图的形成过程 ,感知周期性 )图 2操作结果 、总结提炼 :利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x 0,2 的图象 .左、右平移 ,每次 2个长度单位即可.提出问题如何画出余弦函数y=cosx,x R 的图象 ?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?意图 :如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已

8、学的知识,教师引导学生观察诱导公式 ,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做 ,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同, 感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果 :把正弦函数y=sinx,x R 的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3.2学习必备欢迎下载图 3正弦函数 y=sinx,x R 的图象和余弦函数y=cosx,x R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题 :以上方法作图,虽然精确 , 但不太实用 ,自

9、然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法 .你认为哪些点是关键性的点?问题 :你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在 0,2 上的图象吗 ?活动 :对问题 ,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在 0,2 上有五个点起关键作用 ,只要描出这五个点后 ,函数 y=sinx 在 0,2 上的图象的形状就基本上确定了 .这五点如下 :3(0,0),(,1),( ,0),( ,-1),(2 ,0).22因此 ,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来 ,就可快速得到函数的简图 . 这种近似的 “五点 ( 画图 ) 法 ”是非常实用的 ,要求熟

10、练掌握.对问题 ,引导学生通过类比,很容易确定在0,2 上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在0,2 上的图象 .讨论结果 :略 .关键点也有五个 ,它们是 :(0,1),(,0),(3-,1),( ,0),(2 ,1).22学生练习巩固： 1。用五点法作出函数y=sinx 在 0,2 上的图象；2.用五点法作出函数y=cosx在 0,2 上的图象应用示例例 1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x 0,2 ;(2)y=-cosx,x 0,2 .解 :(1) 按五个关键点列表 :x03222sinx010-101+sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4

11、).图 4(2) 按五个关键点列表:3x0222学习必备欢迎下载cosx10-101-cosx-1010-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5).图 5课堂小结以提问的方式 ,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善 .1.怎样利用 “周而复始 ”的特点 ,把区间 0,2 上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到. “五点法 ”作图是比较方便、 实用的方法 ,应熟练掌握 .数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业1. 活页练习课时作业六2 课本 p34 练习 1.23.课后请同学们利用三角函数线（把单位圆8 等分）来作出正弦函数图象？（思考为什么要进行 8 等分）教学反思：这节课从整体上看，比较圆满完成了既定的教学目标：正弦函数、余弦函数的图像，以及掌握五点法， 利用五点法作出函数的图像，注意函数之间的内在联系。学生掌握了三角函数的定义之后， 自然而然就会去研究函数的性质，而研究函数的性质一般从函数的图像入手，本节课学生的动手操作要求较高，需要学生在练习本上画图；这