高中复习双曲线

1、高中复习双曲线1. 双曲线的定义平面内与定点Fi、2的距离的差的绝对值等于常数 （小于FF2）的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2双曲线的标准方程和几何性质标准方程2 2X ya 詁=1(a>0, b>0)22y Xg-芦 1(a>0, b>0)图形性质范围X a 或 x ay a 或 y a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原占八、顶点A( a, O) , A( a, O)A(0 , a) , A(0 , a)渐近线丄b y = X a丄ay=±bX离心率e = c, e (1 , +

2、),其中 C=Ja2+ b2a实虚轴线段A叫做双曲线的实轴，它的长I AA = 2a;线段BB2叫做双曲线的 虚轴，它的长|BR| 2b； a叫做双曲线的实半轴长， b叫做双曲线的虚 半轴长通径2b2过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为aa、b、C的关系2 2 2C a + b (c>a>O, c>b>O)小题能否全取1.（教材习题改编）若双曲线方程为X2 2y2= 1,则它的左焦点的坐标为（）26A -#, 0B. -f, 0D.( - 3, 0)解析：选C 双曲线方程可化为2y 彳X - T = 1,21a =1, b =C = a + b左焦点坐标为 一-26, 0

3、.2.（教材习题改编）若双曲线2X 22-y = 1的一个焦点为（2,0）,则它的离心率为（）aa2553b2解析：选C依题意得2+1 = 4, a = 3,册222故"a2=3= 33.设Fi， F2是双曲线2L= 1的两个焦点，P是双曲线上的一点， 且3| PF = 4| PFd ,则厶PFF2的面积等于（B. 8 3D. 48A. 4 2C. 24解析：选C 由P是双曲线上的一点和 3PF = 4PF可知，IPFl - | PFa| = 2,解得IPFl1=8,IPFJ = 6.又I F1F2 = 2c = 10,所以 PFF2为直角三角形，所以 PFF2的面积S=×

4、6×8=24.入94 .双曲线二一y = 1（ a > 0）的离心率为2 ,则该双曲线的渐近线方程为解析：由题意知 卑严= 寸1 + 1 2 = 2,解得a=33,故该双曲线的渐近线方程是 yx± y = 0,即 y=± . 3x.答案：y =±3x5.已知F（0 ,- 5） , F2（0,5）,一曲线上任意一点 M满足|MF| - | MFl = 8 ,若该曲线的一条渐近线的斜率为 k,该曲线的离心率为 e,则k e=.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支,C 54C= 5,a= 4, / b= 3,e=a=4,Ikl

5、= 3|k| 4 55e= 一 X 二e 3 45答案：531.区分双曲线与椭圆中 a、b、C的关系，在椭圆中 a2= b2+ c2,而在双曲线中 c2= a2 + b2双曲线的离心率 e> 1;椭圆的离心率 e (0,1).2 渐近线与离心率：右一y-2= 1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 b=: a=C &2日=.je 1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.注意当a>b>0时，双曲线的离心率满足 1<e< .2；当a = b>0时，e= 2(亦称为等轴双曲线)；当 b>a>0 时，e&g

6、t; 2.3直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有个交占I八、双曲线的定义及标准方程典题导入例1（1）（2012 湖南高考）已知双曲线 C：2 2X y2 2= 1的焦距为10,点P(2,1)在C的a b渐近线上，则C的方程为（2 2X yA. = 12052 2X yB = 15202 2X yC = 180 202 2X yD = 120 80（2 012 辽宁高考）已知双曲线X2 y2= 1,点F, F2为其两个焦点，点 P为双曲线上一点，若PF丄PR,贝U | PF| +

7、| P冋的值为.2 2自主解答笃y2= 1a b的焦距为10,. C= 5= I a + b.又双曲线渐近线方程为y=±bx,且P(2,1)在渐近线上，2b= 1,即a= 2b.aa由解得a= 2 5, b=5.不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF PF2,所以(2 .2)2= I PFI2+ | PRI2,又因为 | PF| | PF| = 2,所以(| PF| | P冋)2= 4,可得 2| PF| PFF = 4,则(I PFl + IP印 2 =IPFI2 + PF22 + 2| PF PF = 12,所以 IPFl + IPEl = 23. 答案(I)A (2)23由题悟法

8、1 应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点 (焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.2. 双曲线方程的求法(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mX+ ny2= 1(mO).2 2 2 2(2) 与双曲线-2 y2 = 1有共同渐近线的双曲线方程可设为2 y2= ( 0).a ba b(3) 若已知渐近线方程为 mx÷ ny= 0,则双曲线方程可设为 nix2 n2y2= ( 0).以题试法2 21. （2012 大连模拟）设P是双曲

9、线X6 2O= 1上一点，Fi, F2分别是双曲线左右两个焦点，若 | PFl = 9,则 IPFl =()A. 1B. 17C. 1 或 17D以上答案均不对解析：选B由双曲线定义|PFI | PF = 8,又： | PF| = 9, | PF| = 1 或 17,但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c a= 6 4 = 2> 1, | PF| = 17.双曲线的几何性质典题导入2 2X V例2 （2012 浙江高考）如图，Fi, F2分别是双曲线 C: 2= 1（ a, b> 0）的左、右 a b焦点，B是虚轴的端点，直线 FiB与C的两条渐近线分别交于P, Q两点，线段PQ的垂

10、直平分线与X轴交于点M若IMFI =F1F2 ,则C的离心率是（）b¥C. 2D. 3自主解答设双曲线的焦点坐标为F( C, 0) , F2( c, 0). B(0 , b) , FiB所在的直线为一 c+ b= 1.双曲线渐近线为by=± ax，by= ax, 由X y一+ = 1,C bacC abec aby 一 ax, 由X y c+ b 1,aca+ Cbca+ C PQ的中点坐标为2a C-2,C abc22 2C a由a2+ b2 = C2得，PQ的中点坐标可化为2Cb .直线FIB的斜率为k= C,2PQ的垂直平分线为y-2a CX b2令y = 0,得2a

11、cX = -br + C,0 , | F2M2a Cb2.由 IMFl =| F1F2 得2 2a C a C牙=-22= 2c, e=y.b C a0 o 2 o 223即 3a = 2c , e = 2,答案B 若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与X轴的夹角为 ,且匸V V3”，求双曲线的离心率的取值范围.b厂解：根据题意知va< 3,即 1 V e2 Iv 3.所以 2Vev2.即离心率的取值范围为（2, 2）.由题悟法一ba1.已知渐近线方程 y= m求离心率时，若焦点位置不确定时，m= （ m> 0）或m=ab故离心率有两种可能.2解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注

12、意数形结合思想的应用.以题试法2. (1)(20122 2福建咼考）已知双曲线x2 y = 1的右焦点为（3,0）,则该双曲线的离心率a 5等于()3 '14 A- 14B座B. 43C34d4解析：选C2C 3由题意知C= 3,故a + 5 = 9,解得a = 2,故该双曲线的离心率e=2 22= 8x有一个公共的X V(2012 大同模拟)已知双曲线2= 1(a>0, b>0)与抛物线ya b焦点F,且两曲线的一个交点为 P,若IPF = 5,则双曲线的渐近线方程为A.y =±B. y=± .'3Xc.D y=±¥解析：选

13、B设点Rmn),依题意得，点F(2,0),由点P在抛物线2y = 8x 上，且 | PFla2+ b2= 4,924尹 b2 = 1,由此解得a2= 1, b2m+ 2= 5,2=5得n2= 8m由此解得m= 3, n = 24.于是有=3,该双曲线的渐近线方程为y =± £x =± ：3x.直线与双曲线的位置关系典题导入2 2X V例3(2012 南昌模拟)已知双曲线 孑一b2= 1(b>a>0), O为坐标原点，离心率e= 2,点M ：5,：3)在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若直线I与双曲线交于UUUUUIn11P, Q两点，且OP OQ

14、 = 0.求PO+ OQ2的值自主解答 e= 2,. C = 2a, b2= c2- a2= 3a2,2 2双曲线方程为-2 2= 1,即32 y2 = 3aa3a'点 M .,'5, .：3)在双曲线上， 15 3 = 3a2. a2= 4.2 2所求双曲线的方程为X y2= 1.2 2 设直线 OP的方程为y= kx(k 0),联立4 务=1 ,得212 k + 1-3 k2-X = 3，12k23 k2,则OC的方程为y = 1x,同理有| OQ2 =1121 + F13 k2212 k + 13k2 116.11 3 k2+ 3k2 12 + 2k2| OP2+ | O

15、Q2= -12 k2+ 1= 12 k2+ 1由题悟法1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程利用根与系数的关系，整体代入.2与中点有关的问题常用点差法.注意根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系.以题试法2 23. (2012 长春模拟)F , F2分别为双曲线2 y2 = 1(a> 0, b> 0)的左，右焦点，过点UlUUuuuurF2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M满足I MF1 , I = 3| MF2, | ,则此双曲线的渐近线方程为UUULrUUU

16、U解析：由双曲线的性质可得 I MF2 , I = b则I MF1 , I = 3b.在厶yUUUrUUIra、仇MFo中，I OM , I = a, I OF1 , I = c, CoS FIoM=-，由余弦定理可2>1 C知，又C = a + b,所以a = 2b ,即乂2故此2acCa 2双曲线的渐近线方程为答案：y =± 221. （2013 唐山模拟）已知双曲线的渐近线为y =±3x,焦点坐标为(4,0) , (4,0)则双曲线方程为（2 2X yA = 14122 2X yB- = 1242 2X yC.248 =12 2X yD = 1824解析：选由题

17、意可设双曲线方程为2X -2 a2yb2 = 1(a > 0, b> 0),由已知条件可得C= 4,b= 3,2 I 2 ,2 a + b = 4 ,解得a2= 4,b2= 12,2 2故双曲线方程为4y=1.2.若双曲线过点（m n）（ m> n>0）,且渐近线方程为 y =± X,则双曲线的焦点（）A.在X轴上B.在y轴上C.在X轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上解析：选A / m> n> O,=点（m n）在第一象限且在直线 y= X的下方，故焦点在 X轴上.23.（2012 华南师大附中模拟）已知m是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线2

18、21C 5+ yn=1的离心率为（）Af 或 FC. ；'5D.2m+ n= 4c, m- n= 2a, 2m= 9, a=4,解得 或：5解析：选Dm= 16,m=±4,故该曲线为椭圆或双曲线.当rn= 4时，e=£=萼尹= -23.当 m= 4 时,4.（2012 浙江高考）如图，中心均为原点 O的双曲线与椭圆有公 共焦点，M N是双曲线的两顶点.若 MQ N将椭圆长轴四等分，则 双曲线与椭圆的离心率的比值是 （）A. 3B. 2C. ,'3D. -'2解析：选B设焦点为F（ ± c, 0）,双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率 e1

19、 = C,a椭圆的离心率e2= 21所以 2=2.5. (2013哈尔滨模拟）已知2 2X VP是双曲线 孑一合=1（a>0 , b>0）上的点，F1 , F2是其焦点，双曲线的离心率是4,且PFr ,UUUrPF2 , = 0,若 PFF2的面积为9,则a+ b的值为（）A. 5B.解析：选CD.UULrIUUr由 PF1, PF2,8UUUrUUUr=0 得 PF1 ,丄 PF2,设 |UULrUUUrPF1 , | = m | PF2 , | = n,不妨设m> n,则a= 4,. b= 3,= a+ b =C = 5,7.6. （2012 浙江模拟）平面内有一固定线段

20、 AB IAB = 4,动点P满足IPA PB = 3,O为AB中点，则|OP的最小值为（）A. 3B. 23c2D. 1解析：选C依题意得，动点P位于以点A，B为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上,结合图形可知,该曲线上与点 O距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP的最小值等2 2西城模拟）若双曲线X Ky = 1的一个焦点是（3,0）,则实数K = 解析：T双曲线X2 Ky2= 1的一个焦点是7. (2012(3,0),1 + 1 = 32= 9,可得 k= 1.K8& (2012天津高考）已知双曲线 C2X-2 a2 2 2yX yb = 1(a>0, b>0)与

21、双曲线 C2： - 16= 1且 C的右焦点为f（Q5 ,2 2解析：双曲线X- yy = 1的渐近线为416相同的渐近线,0),则 a=b厂y =±2 x,贝U = 2,即卩 b= 2a,又因为 C =5,a+ b2= c2,所以 a= 1, b= 2.答案：122 2Va9. （2012 济南模拟）过双曲线 扌一含=1（a>0, b>0）的左焦点F作圆2+ y2=的切线，切点为E延长FE交双曲线右支于点 P,若E为PF的中点，则双曲线的离心率为解析：设双曲线的右焦点为 F'.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF'的中点，所以aEO/ PF',又

22、EOL PF,所以PF'丄PF,且| PF | = 2× = a,故| PF = 3a,根据勾股定理得| FF' | = 10a.所以双曲线的离心率为Ja=答案：讨010. （2012 宿州模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F1, F2在坐标轴上，离心率为.2,且过点（4 ,航）.点M3 , m）在双曲线上.（1）求双曲线方程；IUUUUlUIr求证：MF1 MF2 = 0.解：(1) V e= '2 ,可设双曲线方程为x2 y2 = ( 0).过点(4 , 10) , 16 10= ,即卩 = 6.2 2双曲线方程为X y = 1.6 6证明：由(1)可知，

23、双曲线中a= b= ：6, C = 2 .：3, F1( 2 ,3 0), F2(2 ：3, 0),kMF=m3+ 2 -'3，kMF=m3-2】3，kMF kMF=m9 12V点(3, m在双曲线上， 9m= 6, m= 3,故 kMF kMF= 1, MFMF.IUuIr UlUIr MFI MF2 = 0.11. (2012 广东名校质检)已知双曲线的方程是 16X2 9y2= 144.(1) 求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2) 设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且I PF P冋=32,求 FIPR 的大小.2 222X y解：(1)由 16x 9y=

24、 144 得9 16= 1,所以 a= 3, b= 4, C = 5,54所以焦点坐标R( 5,0) , F2(5,O),离心率e = 3 ,渐近线方程为y =± §x.(2)由双曲线的定义可知| PF| | PF| = 6,CoS F1PF>=| PF|2+ |PR|2 | F1F2|22| PFl PF| PFI | PF2 + 2|PF| PF| | F1F2|12.如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线 C2|PF| PF|36+ 64 10064则 FIPE= 90UJU UUUUJUUUU已知 PF 1 PF 2= 0 ,且 | PF 1| = 2| PF

25、2|.(1)求双曲线的离心率 e；UUU UUU 27(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P, P2两点，若OPi OP 2=-石，UUn UUU2 PPi+ PP 2 = 0.求双曲线C的方程.UUur UUInUUUrUUulUUUr解：(1)由PFi PF2= 0,得PF PF 2,即厶FPF为直角三角形设 PF 2= r,UUU22222| PF i| = 2r ,所以(2 r) + r = 4c , 2r r = 2a,即卩 5× (2 a) = 4c .所以 e= ' 5.br-2(2) = Je2- 1 = 2,可设 P(,2) , F2(X2,- 2

26、X2), F(x, y),UUU UUU27则 OP 1 OP 2= X1X2 4X1X2=：,4所以X1X2=4.UUU UUU由 2 PP 1+ PP 2 = 0,得X2 X = 2 X1 X ,2X2 y = 22X1 y2 2 卄2X1 + X22 2X1 X2一 八、X yr即X =, y =.又因为点P在双曲线2= 1上,33a b所以2X1 + X22X1 X29a9b22-=1.9又b2= 4a2,代入上式整理得X1X2= §a2.由得a = 2, b = 8.2 2故所求双曲线方程为x2"8=1.1. （2012 长春模拟）设e、e2分别为具有公共焦点 F

27、1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足UULrUUlrUUUIre1e2IPF1, + PF2，1TFIF2，1 ,则春2 的值为(B. 2C. ;'2D. 1解析：选 A 依题意，设 PF1 = m I PF| = n, | F1F2 = 2c,UUUrPF2 , I = IUuUlrUUlrUuUrF1F2 , I 得 I PF1 , + PF2 , I = I PF2 , PF1 , I = IUUurUUUrUULrUUUrUUurUUlr不妨设m>n.则由I PF1 , +UUlrUuUrUUlrPF1 , PF2, I ,即 I PF1 ,UU

28、Ur+ PF2 , 12T PF1 , PF2 , |2,所以 PF1 , PF?, = 0,所以UuLr222 、2cm + n= 4C.又 & =市,e2222c112 m+ n所以=+ 2 =n ne1e24c=2,所以e1e222I e1+ e211 1 2 2+2e2e12X2.已知双曲线-72a2yb2= 1(a> 1, b>0)的焦距为 2c,直线 I 过点(a, 0)和(0 , b),点(1,0)到直线I的距离与点(一1,0)到直线I的距离之和s 5c,则双曲线的离心率e的取值范围5解析：由题意知直线l的方程为a+ y= 1,即bx + ay ab= 0.由

29、点到直线的距离公式得,b a 1点(1,0)至煩线I的距离d1 =b a+12一2 ,同理得，点(一1,0)到直线I的距离d2 = 2一2-, a + b.a +b2ab2ab 丄S = d1+ d2= 22=.由a + b Cs 4c,得 2cb 4c,即5C 55a c2 a22c2.所以 5 e2- 12e2,l卩 4e4 25e2+ 250,解得- e2 5.4由于e> 1,所以e的取值范围为答案:3.设A, B分别为双曲线2 2X y _2 I 2 = a b1(a> 0, b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为 4 .3,焦点到渐近线的距离为.3.(1) 求双曲线

30、的方程；3(2) 已知直线y=亍X 2与双曲线的右支交于 MN两点，且在双曲线的右支上存在点D,UUIUUUIrUUU使OM , + ON , = t OD ,求t的值及点D的坐标.解：(1)由题意知a= 2 .3,故一条渐近线为 y=Fb3X,即 bx 2 3y = 0 ,则2 22X y得b 答案：ab=-= 3,故双曲线的方程为12扌=1.(2)设 M, y), N2, y2), D(XO, y。),则 x + X2 = tx o, y + y2 = ty o,将直线方程代入双曲线方程得X2 16 3x + 84= 0,则 X+ X2= 16 3, y + y2 = 12 ,XO 4 3Xo = 4 3,yo = 3,yo=,2 2xo yo=1123,故t = 4,点D的坐标为(43, 3).X22UUIlr1.(2012 岳阳模拟)直线X = 2与双曲线c：2 y2= 1的渐近线交于E1,E2两点，记OE1,IUIHUuU=e1, OE2 , = e2,任取双曲线 C上的点P