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文档简介

1、定积分典型例题例 1 求 lim 'cn23 市 3 n3).n-丿n若对题目中被积函分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.数难以想到,可采取如下方法:先对区间0, 1 n等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.解 将区间0, 1 n等分,则每个小区间长为 歆=1 ,然后把- 1f (x) =x 3a,且 0(x 3a)dx = 0 f (t)dt =a .=-的一个因子-乘nn n nn入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即lim 二诉+|+n3) = lim 丄(輕+輕+|+禹=卡&血.n丿 nn ;: n , n , nn 0

2、42 I2例 20 J2x x dx=.2盯解法1由定积分的几何意义知,0 J2xx2dx等于上半圆周(x-1)2+y2=1 ( y启0)与x轴所围成的图形的面积.故x - x2dx = =221 2x2 x丄1 1 -x242例18计算x | dx .分析解2|0A252被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分.2 0 2x|dx =-x)dx0xdx =-注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如3 J_dx -32,则是错误的.错误的原因则是由于被积函数丄在X=0处间断且在被2xx 6x积区间内无界2 9例 19 计算 0 maxx ,xdx

3、.分析被积函数在积分区间上实际是分段函数f(x“ X2lx2 2 1 2 2maxx , xdx = xdx + x dx1 :x 乞20 ExE1231717=十一=1例 20 设 f(x)是连续函数,且f(x) =x+3 f (t)dt,贝U f(x) =b分析本题只需要注意到定积分.f(x)dx是常数(a, b为常数).a1 1解 因f (x)连续,f(x)必可积,从而 f(t)dt是常数,记.0f(t)dt = a,则所以_ 1211小x 3axo =a,即卩 3a = a ,2 213从而a ,所以 f(x) =x 一4 43x20 x 孑1x例 21 设 f (x) = 2,, F

4、(x) = f f (t)dt , 0 兰 x 兰2,求 F (x),并讨论 F (x)5 -2x, 1兰x兰2的连续性.分析 由于f(x)是分段函数,故对F(x)也要分段讨论.解 (1 )求F(x)的表达式.F(x)的定义域为0,2 当0,1时,0, x 0,1,因此XX 23x3F(x) = f(t)dt=J03tdt=t 0=x 当 x (1,2时,0, x =0,1U1,x,因此,则12x3 12x2F(x)=03t2dt 二(5-2t)dt=t30 5t-t21x=_3 5x-x2,故'3lx3,0 兰XV1F(x)=23 5x - x , 1 _ x _ 2(2) F(x)

5、在0,1)及(1,2上连续,在x=1处,由于2lim F (x)=啊(3 亠 5x x ) =1 , lim F (x)3lim_x =1,F(1) =1 .因此,F(x)在x =1处连续,从而F (x)在0,2上连xu2例22计算三dx 分析由于积分区间关于原点对称,因此首先应考虑被积函数的奇偶性.2x211-x2是偶函数,而2 21 2x x1 2x1 xdx =dxdx11 -x211 -x2*11 -x2仁2是奇函数有dx =0 ,于是1 2x2 x _ 1 x2_ 32(1一一1-2)1 i ,丄2dx=42dx=4 02 dx=40dx 41 1 -x2011 -x2x由定积分的几

6、何意义可知f由x2dx =上,故°4-11 o1dx =4 dx -431二 4 _ 丄3dx例23计算e1 一 d x In x(1 _ln x)分析 被积函数中含有-及In x,考虑凑微分.x3e41 e" x Inx(1 In x) e In x(1In x)dx3田 d (In x)3e4e In x 1 -(、In x)2d(l nx)2dGlnx)2 2 1F -8° 厂4.3= 2arcsin( . In x)e:=e"62426解法1才 sinx dx.0 1 si nx4:sin x(1sin x) , _ ;01-sin 2x *04

7、 d cosx0 cos2 x1=0 tanx_x0=2 亠、2cosxa dxx +10令 x = asint ,计算4 sindx =)1 sin xn420 (sec x -1)dx计算0=,其中a 0 .2X则a dx5 x 亠a2 x22 (sin t cost) (cost -sint) dt1212sin t cost汁.妙沁水sint costIt In | sint cost | g =4注如果先计算不定积分dxF,再利用牛顿 莱布尼兹公式求解,则比较复J x + Ja2 -X2杂,由此可看出定积分与不定积分的差别之一.例27计算:5edx .)e +3分析 被积函数中含有根

8、式,不易直接求原函数,考虑作适当变换去掉根式.解 设 u = ex -1 , x =1 n(u2 1), dx =严 du,则 u +1Hdx=0 ex 30 u2 42udu2uU2 42d2。2u 44u2 4du例 29 计算 Jxsin xdx .分析 被积函数中出现幕函数与三角函数乘积的情形,通常采用分部积分法.解 3 xsin xdx =7T:xd(-cosx) =x (-cosx): - 3(-cosx)dx(1)42 0 1 _x2TLJ3兀cos xdx =6 0 26例30计算"(3 _x)Un(1 x)2 dx .分析被积函数中出现对数函数的情形,可考虑采用分部

9、积分法.1 dx (3 x) (1 x)1I n(1 x) 111110 rdx= oln(1 x)d( ) =In(1 x)o - 00 (3-x) 03 -x 3 -x0丄1门2丄0(二)dx24 0 1 x 3 -x11In 2 ln3 .2 4例31计算n2 ex sin xdx .分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法._JT解 由于 o2 ex sin xdx = o2sin xdex =ex sin x2 - o2ex cosxdxn tl二 e2 - °2 ex cos xdx ,(1)而JIJUJI JUo2 ex cosxdx2

10、cosxdex =excosxgo2 ex (-sin x)dx2 ex sin xdx -1 ,(2)0将(2)式代入(1)式可得_JT JTo2 ex sin xdx =e2 - : exsin xdx -1,故更1 Ho2 exsin xdx(e2 1).1例 32 计算 q xarcsinxdx.1-2分析 被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形,通常用分部积分法.1xarcsinxdx 二1x x11 xarcs in xd( ) =arcs in x0d (arcs inx)0 0 *, 2二 1 1 X dx .令 x =sint,贝U(2)将(2)式代入(1)£

11、SIn dsintJ1 _sin2tn si n21costdt cost= .:si n2tdt022式中得sin 2t 2二04 J4JIxarcsinxdx 二8例33设f (x)在0,二上具有二阶连续导数, f (二)=3且 0 f (x) f (x)cos xdx = 2 ,71分析被积函数中含有抽象函数的导数形式,可考虑用分部积分法求解.解 由于 貞 f (x) + f "(x)cosxdx = 0十(x)d sinx +/cosxdf "(x)= If (x)sin x 0 - 0 f (x)sin xdx f (x)cosx0,亠 i0 f (x)sin x

12、d冷=-f (二)-f (0) =2 .故 f (0) - _2 _ f (二)-_2 _3 - _5 .ji例35 (00研) 设函数f(x)在0,二上连续,且0 f (x) dx = 0 ,0 f (x)cos xdx = 0 .试证在(0,二)内至少存在两个不同的点,'2使得f( j = f( 2) =0 .x分析本题有两种证法:一是运用罗尔定理,需要构造函数F(x) = f(t)dt,找出F(x)的三个零点,由已知条件易知F(0)=F(二)=0, x=0 , x二二为F(x)的两个零点,第三个零点的存在性是本题的难点.另一种方法是利用函数的单调性,用反证法证明f(x)在(0,二

13、)之间存在两个零点.x证法 1 令 F(x) f(t)dt,0 乞x :,则有 F(0) =0, F (二)=0 .又.«7T兀亓 兀0 f(x)cosxdx= 0 cosxdF(x) =cosxF(X)。0 F (x)sin xdx二 o F(x)sin xdx =0 ,由积分中值定理知,必有(0,二),使得F(x)sinxdx=F(:)sin 二(兀 一0).故 F ( )sin =0 .又当-三(0,二),sin 北 0 ,故必有 F( )=0 .于是在区间0,:二上对F(x)分别应用罗尔定理,知至少存在"(0上),冷丘(5 ,使得F ( J =F ( 2)=0,即

14、f( J = f( ;) =0 例36计算0 x +4x +3分析 该积分是无穷限的的反常积分,用定义来计算.)dx:2dx =lim t 2 dx =liml 七(丄'x 4x 3 t0 x 4x 32 0 x 1_ r 1x1#_1n t1.1.=lim In0 _ lim (InIn )t r:2x3 j :2 t33_ I n32 例37计算/2dx2-(x -1) . x -2x例38乂dx(x -1)2 x2 -2x址dx,x -12 2(x -1) (x -1) -1= secv-2 see n tan v 3 secStai 二计算宀:一 CM i -3cos rd v

15、 -14 dx2 (x2)(4=x)分析 该积分为无界函数的反常积分,且有两个瑕点,于是由定义,当且仅当-一dx和=m【arcsin( x3)a=?- 一dx均收敛时,原反常积分才是收敛的.(x -2)(4 -x)n (x2)(4x)解由于dx.(x -2)(4 -x)3dx(x -2)(4 -x)d(x - 3)订1 -(x - 3)dx43 . (x -2)(4 -x)呵b dx-3d(x -3)2b=lim .(x-2)(4 -x) b 4-3 ,1 (x-3)b 兀=limarcsin( x-3)b =b 412所以4 dx2 (x -2)(4 -x)ji , ji=_十=兀2 2例3

16、9计算氐 dx',x(x 1)5分析 此题为混合型反常积分,积分上限为::,下限0为被积函数的瑕点.解令.X =t,则有dx0 x(x 1)5:2tdt5t(t21尸乂 dt5,1尸(t* 2再令t =ta nv,于是可得乂 dt5(t2 1)22 d tan v0m(tan2 v -1)22sec2 d v0 sec5-2 cos3 rd v =:(1sin2 r)cos rdr例40计算 2解由于jio (x-)(1 -sin2 ”dsin r=sin 日 sinx 旬严=31x2 .4dx 1 x1 1 x2-21 x4dx 二x21丄x dx 二丄2x1d(x )X21 2 ,

17、2 (x-丄)x1当x 、0 一时,可令t =x,则当x = -.2时,x当x =1时,t = 0 ;故有1 1x221x40dx =d(x -丄)X22 (x丄)2X1 d(x-丄)dt2 t2注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分,如例32、例37、例39;而有些非反-2-2 t2二:2'+ 1(二arcta n)2 2常积分通过换元却会变成反常积分,如例40,因此在对积分换元时一定要注意此类情形.分析若选x为积分变量,需将图形分割成三部分去求,y3-L z 221io 12 34 xG图5- 1J3例41求由曲线y x, y=3x, y =2, y=1所围成的2图形的面积.如图

18、5-1所示,此做法留给读者去完成.下面选取以y为积分变量.解选取y为积分变量,其变化范围为y 1,2,则面积元 素为dA = |2y |dy = (2y £ y)dy .3 3于是所求面积为例42 抛物线两部分面积之比.解抛物线y221_5A = 1 (2y 3 y)dy _ 22 2 2y =2x把圆x y =8分成两部分,求这2 2=2x与圆x y =8的交点分别为(2, -2),如图所示5- 2所示,抛物线将圆分成两个部分 记它们的面积分别为S , Sa,则有(2,2)与A , A2,2 2 y2孑s _ L(J8 -y -号)dy _8 jcos24V,46-34=32 _3

19、二 2§忑 6一4 9二-23例43求心形线 P =1+cos日与圆P =3cosT所围公共 部分的面积.分析 心形线=1 cosv与圆=3cosv的图形如图5-3所示由图形的对称性,只需计算上半部分的面积即可.解 求得心形线 =1亠cost与圆=3cosv的交点为,由图形的对称性得心形线=1 COST与(厂)=(3,圆T =3cosr所围公共部分的面积为:.1亠"15A_2一 (1 +cos0)2d8 + J;(3cos&)2d0 _-n23 24例44求曲线y =1 nx在区间(2,6)内的一条切线,使得该切线与直线x =2 , x =6和曲线y = In x所

20、围成平面图形的面积最小(如图5- 4所示).分析要求平面图形的面积的最小值,必须先求岀面积的表达式.解设所求切线与曲线y =ln x相切于点(c,ln e),则切线方1程为y-l nc(x-c).又切线与直线x=2 , x=6和曲线cy =1 nx所围成的平面图形的面积为A= hxc) +1 ncI n xdx = 4(41)+41 n c+46ln 6 + 2ln 2 .2 cc由于dAdc叮=4c c疋(4-0,dAdAdAdA令 一 =0,解得驻点c=4 .当c -.4时 一 ::0,而当c 4时一 .0 .故当c=4时, dcdcdc极小值.由于驻点唯一.故当c=4时,A取得最小值.此时切线方程为:1 yx -1 I n 4 .4deA取得y * 厂' X2 *y 丄)2 _a2(0心ox2图5-5图5 6例45 求圆域x2,(y_b)2 _a2 (其中b a )绕x轴旋转而 成的立体的体积.解 如图5-5所示,

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